Résolution numérique déquations différentielles
6 mars 2018 Cela semble indiquer que la méthode d'Euler est une méthode d'ordre 1. ... 3 Et avec Python ? Il faut utiliser la fonction odeint de Python de la ...
Résolution numérique déquations différentielles
Ou bien définie par morceaux avec de telles fonctions. 2.2 Schéma d'intégration d'Euler explicite. Un schéma d'intégration est une méthode qui calcule
Méthode dEuler 1er ordre
d'une équation différentielle du 1er ordre de la forme: y (t) = f (t
Informatique en PCSI et MPSI Champollion 2013-2014 Méthodes d
19 févr. 2014 Implémentation de la méthode d'Euler en Python. A. Hassan@Champollion ... Équation différentielle autonome(stationnaire) : f ne dépend pas de t ...
Résolution numérique dune équation différentielle
Elle fournit un résultat visuellement un peu meilleur que la méthode d'Euler classique mais s'éloigne elle aussi de la solution exacte : page 2. Page 3. x4
Intégration numérique déquations différentielles
Intégration numérique d'équations différentielles – p. 6. Page 7. Stabilité. De l'autre côté la méthode d'Euler donne pour l'équation pour la dynamique de.
Physique-chimie
L'étude de la charge d'un condensateur permet de mettre en place une résolution d'équation différentielle fondée sur la méthode d'Euler et de comparer les
Méthode dEuler vectorielle
Écrire en Python la méthode d'Euler pour t ∈ [05]
Analyse numérique avec Python
22 mai 2014 parlent effectivement d'intégrer une équation différentielle plutôt que ... Programme Python pour la méthode d'Euler à deux fonctions inconnues :.
Résolution numérique déquations différentielles
6 ???. 2018 ?. C'est une équation différentielle d'ordre 1 mais elle n'est pas linéaire. ... Cela semble indiquer que la méthode d'Euler est une méthode ...
Informatique en PCSI et MPSI Champollion 2013-2014 Méthodes d
19 ????. 2014 ?. Résolution des équation différentielles ordinaires (EDO) ... Implémentation de la méthode d'Euler en. Python. Runge Kutta d'ordre 4.
Résolution numérique déquations différentielles
Ou bien définie par morceaux avec de telles fonctions. 2.2 Schéma d'intégration d'Euler explicite. Un schéma d'intégration est une méthode qui calcule
Analyse numérique avec Python
22 ??? 2014 ?. des équations différentielles) en ne cherchant surtout pas à comprendre les mathématiques ... Programme Python pour la méthode d'Euler :.
Informatique en CPGE (2018-2019) Résolution numérique d
26 mars 2019. S. B.. Présentation en Latex avec Beamer. Page 2. Méthode d'Euler. Exemples. Complément. Les équations différentielles permettent de modéliser
Résolution numérique dune équation différentielle
équation différentielle. Exercice 1. plt.plot(t x1
Méthode dEuler 1er ordre
Exemple d'équation différentielle non linéaire. Écrire en Python la méthode d'Euler sur [?22]
TP Informatique no 8/9 Équations différentielles
? Adapter la méthode d'Euler pour résoudre une équation du type Z/ = A ? Z. Il s'agit donc d'écrire en Python la fonction euler_ordre2(f y0
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Pour ? < 0 la méthode d'Euler est stable seulement pour ?t ?. 2.
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L'étude de la charge d'un condensateur permet de mettre en place une résolution d'équation différentielle fondée sur la méthode d'Euler et de comparer les
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26 mar 2019 · Méthode d'Euler Exemples Complément Informatique en CPGE (2018-2019) Résolution numérique d'équations différentielles: méthode d'Euler
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L'implémentation de la méthode d'Euler explicite est des plus simple Elle prend trois arguments : la fonction f la valeur y0 de la fonction y à l'instant t0
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6 mar 2018 · Elles consistent en général à approximer la solution y en un certain nombre de points répartis sur [t0tf ] 1 La méthode d'Euler 1 1 Le
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Mettre en œuvre la méthode d'Euler explicite afin de résoudre une équation différentielle d'ordre 1 Utiliser la fonction odeint de la bibliothèque scipy
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Intégration des équations différentielles : méthode d'Euler Le système différentiel est défini dans une fonction python de la forme systeme(Yt)
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Méthode d'Euler On considère une équation différentielle d'ordre 1 avec condition initiale (problème de Cauchy): y' = F(y t) } y(to) = Vo
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La fonction odeint nous permet d'obtenir une résolution numérique de référence pour l'équation différentielle qui nous intéresse : def f(x t):
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Figure 2 – Méthode d'Euler explicite avec n = 4 puis avec n = 10 notablement atténuer la divergence de la solution numérique de la solution analytique
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19 fév 2014 · Champollion 2013-2014 Méthodes d'Analyse Numérique Implémentation et Application en Python Équations différentielles ordinaires
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Méthode d'EULER - HEUN - RK4 - Résolution numérique d'une équation différentielle d'ordre 1 on fait simplifié écriture dans python : y(tn) ? yn
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Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentInformatique en CPGE (2018-2019)
Résolution numérique d"équations
différentielles: méthode d"Euler S. B.Lycée des EK
26 mars 2019
S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentLes équations différentielles permettent de modéliser de nombreux phénomènes physiques. En général, on ne dispose pas de solutions analytiques : par exemple, l"équation00=k1sink20permet d"étudier le mouvement d"un
pendule amorti et il donc est intéressant de pouvoir visualiser une approximation de la solution.S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentS"il existe une unique solutiony, sur un intervalle[a;b], de l"équationy0(x) =f(x;y(x))avecy(a)fixé, il s"agit d"approcher yen un certain nombre de points répartis dans cet intervalle. En particulier, sin+1 points sont répartis régulièrement sur [a;b], on définit le pash=ban , soitxk=a+khpour k=0;1;2;:::;n. L"objectif est de calculer des approximations y kdes valeursy(xk).S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentOn utilise l"approximation
y(x+h)y(x)h 'y0(x)appliquée pour chaquexk, et on obtient y(xk+1)y(xk)'hy0(xk) =hf(xk;y(xk))'hf(xk;yk)Schéma :on calcule les approximations pour
k=0;1;2;:::;n1 par : x k+1=xk+hetyk+1=yk+hf(xk;yk) On initialise avecy0=y(x0) =y(a)(qui est la seule valeur exacte).S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentUne programmation de ce schéma consiste à construire deux listes, une pour la suite(xk)des abscisses et une pour la suite (yk)des ordonnées. On définit une fonctioneulerqui prend en arguments les valeurs extrêmes de l"intervalleaetb, la valeur initialey(0), le pash, la fonctionfet renvoie les listes des abscisses et des ordonnées.S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
Complémentdef euler(a, b, y0, h, f) :
y = y0 x = a liste_y = [y0] # la liste des valeurs renvoyées liste_x = [a] while x + h <= b : y += h * f(x, y) liste_y.append(y) x += h liste_x.append(x) return liste_x, liste_yS. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3On cherche une solution approchée de l"équation différentielle y0=2x+1, avecy(0) =2, sur l"intervalle[0;4]. La solution
exacte esty(x) =x2+x+2. Avec la méthode d"Euler, on calculeyk+1=yk+hf(xk;yk).S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3On obtient la figure suivante avec un pash=0:5 :S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3On cherche une solution approchée de l"équationy0=y, avec y(0) =1, sur l"intervalle[0;5]. La solution exacte esty(x) =ex. Avec la méthode d"Euler, on calculeyk+1=yk+hyk, soit y k+1= (1+h)yk. Avecy0=1, on obtientyk+1= (1+h)k+1.S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3La figure suivante est réalisée avec différentes valeurs du pas h.S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3Avec la méthode d"Euler, l"erreur a deux causes constatées sur les exemples précédents : des erreurs d"arrondi dans les opérations effectuées par l"ordinateur et une erreur dediscrétisation, (ek=yky(xk)), due au procédé de calcul.S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3Il est important que l"erreur de discrétisation diminue lorsque le pashdiminue. On dit que la méthode converge si, pour toutk, y ktend versy(xk)quandhtend vers 0. Dans ce cas il faudra comme souvent faire un compromis entre la précision de l"approximation et le temps de calcul.S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3Problème de stabilité : on résout l"équationy0=yavec y(0) =1 sur l"intervalle[0;30]. La solution exacte est y(x) =ex. Ici l"intervalle est "grand" et si le pas n"est pas assez petit, on a un problème de stabilité.S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3Instabilité pourh=2;5 :S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3Stabilité pourh=1;5 :S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentOn peut résoudre une équation différentielle de degré 2 ou plus en vectorisant l"équation.L"équationy00+y=0 est équivalente à
(y;y0)0= (y0;y) =F(y;y0), soit en posantY= (y;y0), on obtient l"équationY0=F(Y). (OuY0=F(x;Y)dans le cas général). La méthode d"Euler peut s"appliquer ici et pour la programmation,Ysera un objet de typetupleoulist.S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentMais les calculs se compliquent car par exemple : (3,4)+(2,5)=(3,4,2,5) (concaténation des deux couples) et non pas (5,9) comme on le souhaiterait. Il faudra donc en particulier détailler le calcul deY+hF(Y)dans la définition de la fonction euler.S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentOn commence par modifier la définition de la fonction f : def f(x, y) : # y est un couple return (y[1], -y[0])S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentPuis la définition de la fonctioneuler:def euler(a, b, y0, h, f) : x = a y = y0 liste_x = [a] liste_y = [y0] while x + h <= b : y = (y[0] + h * (f(x, y)[0]), y[1] + h * (f(x, y)[1])) liste_y.append(y) x += h liste_x.append(x) return liste_x, liste_yS. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentIl est aussi possible et plus simple d"utiliser un objet de type array, (tableau en français). Un objet de typearrayressemble à un objet de typelist, mais ici, tous les éléments doivent être du même type et le nombre d"éléments doit être connu à la création. Les objets de type arrayse trouvent dans une bibliothèque appelée "NumericalPython" (NumPy) élaborée pour un calcul numérique optimisé.S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentIl est alors plus simple de calculer avec des tableaux car les opérations mathématiques sont prédéfinies.Exemples d"utilisation :import numpy as np
a = np.array([3, 4]) # convertit une liste en tableau b = np.array([2, 5]) print(a + b) # affiche [5 9] print(3 * a) # affiche [9 12] print((a + b)[0]) # affiche 5S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentMaintenant, il n"est plus nécessaire de modifier la définition de la fonctioneuler.def euler(a, b, y0, h, f) : x = a y = y0 liste_x = [a] liste_y = [y0] while x + h <= b : y = y + h * (f(x, y) # calcul sur des tableaux liste_y.append(y) x += h liste_x.append(x) return liste_x, liste_yS. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentIl faut cependant modifier la définition de la fonctionfqui renvoie un objet de typearrayet l"appel de la fonctioneuler:def f(x, y) : return array((y[1], -y[0])) # y est un array (F(a,b)=(b,-a)) x, y = euler(a, b, array((0, 1)), h, f) #initialisation y(0)=0 et y"(0)=1S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentUtilisation de la bibliothèque Scipy. Exemple d"utilisation la fonctionodeintde scipy.integrate.from math import cos, sin, pi import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import scipy.integrate as integ def f(x, t) : # Attention à l"ordre : x"(t)=f(x(t), t) return 2 * (cos(t * x)) * x * (1-x/2) t = np.linspace(0, 15, num=300) sol = integ.odeint(f, 4, t) plt.grid() plt.plot(t, sol) plt.show()S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple du pendule pesant amorti :
def f(u, t) : return [u[1], 10 * sin(u[0]) - u[1]/4] t = np.linspace(0, 10, num=200) sol = integ.odeint(f, [pi/2, 0], t) plt.subplot(2, 1, 1) plt.grid() plt.plot(t, sol[ :,0]) # angle fonction de t plt.subplot(2, 1, 2) plt.grid() plt.plot(sol[ :,0], sol[ :,1]) # diagramme de phase plt.show()S. B.Présentation en Latex avec Beamer
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