[PDF] Résolution numérique déquations différentielles

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Résolution numérique d"équations différentielles 1

I ntroductionOn s"intéresse à présent au problème de la résolution d"équations différentielles, c"est-à-

dire la détermination d"une fonction solution d"une équation faisant intervenir la fonction

et ses dérivées. Parfois, de telles équations peuvent être résolues analytiquement, mais

bien souvent, c"est une tâche impossible, et il faut se résoudre à chercher numériquement

une approximation de la solution, ce qui sera le but de ce chapitre. C"est un problème qui, lui aussi, trouve de nombreuses applications pratiques dans tous

les domaines des sciences, les systèmes dont l"évolution étant décrite par une ou plusieurs

équations différentielles étant monnaie courante.

Considérons par exemple le circuit électrique suivant (où le générateur est un générateur

de tension parfait), dans l"approximation des régimes quasi-stationnaires :E(t)U c(t)R C La loi des mailles permet de relier les différentes tensions dans le circuit :

E(t)AEUr(t)ÅUc(t)

Les caractéristiques des dipôles permettent de lier les tensionsUr(t) etUc(t) au courant

I(t) circulant dans le circuit :

U r(t)AER¢I(t) et I(t)AEC¢dUc(t)dt En éliminantI(t) etUr(t) de ce système de trois équations, on peut obtenir une équation différentielle sur la tension Uc(t) aux bornes du condensateur : dU cdtÅ1RC

Uc(t)AE1RC

E(t) Supposons E(t), R et C connus. On peut chercher à trouver l"évolution temporelle de la tension U c(t). Sa dérivée peut être isolée : dU cdtAE1RC

¡E(t)¡Uc(t)¢

Dès lors, pour toute valeur detetUc(t), on peut en déduire la valeur de la dérivée de Uc(t). Dans le plan (t,Uc), cela revient à dire que l"on connaît en tout pointMla tangente à la solutionUc(t) si elle passe par ce pointM. Par exemple, pour notre problème, en supposant E(t)AEE0AE3V pourt¸0, on a " champ de tangentes » de ce genre :U c(t)tdU c(t)dt(t)AEf(Uc(t),t)

Il existe une infinité de solutions à cette équation différentielle (une infinité de courbes

qui soient en tout points tangentes aux vecteurs tracés ci-dessus). Pour sélectionner celle qui correspond à l"évolution réelle deUc(t), il nous faut connaître un point par lequel passe la courbe, en général une " condition initiale ». On peut par exemple supposer que la tensionUc(t) aux bornes du condensateur en

tAE0 est égale àU0AE ¡1 V. Il ne reste alors qu"une seule et unique solution à l"équation

différentielle, représentée ci-dessous :U c(t)tdU c(t)dt(t)AEf(Uc(t),t) Bien évidemment, dans le cas présent, le fait queE(t) soit une constante permet de 25
résoudre analytiquement l"équation différentielle, dont la solution est U

c(t)AEE0Å(U0¡E0)e¡t/RCD"autres cas permettent une résolution analytique : lorsqueE(t) est une fonction affine,

polynomiale, sinusoïdale, etc1. Dans le cas général, toutefois, il n"existe pas de méthode

universelle pour obtenir une solution analytique (c"est encore plus vrai dans le cas où l"équation différentielle est non-linéaire).2P rinciped el "intégrationnumér ique 2.1

F ormalisationd upr oblème

Une méthode numérique ne pourra pas retourner une fonction car une fonction repré- sente possiblement une infinité de données (la valeur deUc(t) pour toutes les valeurs detqui nous intéressent), même si les fonctions courantes peuvent être définies avec beaucoup moins de données. Supposons que l"on cherche la fonctiony: [t0,t0ÅT]7!Rvérifiant, pour touttdans l"intervalle [t0,t0ÅT], une équation différentielle de la formey0(t)AEf(y(t),t) et pour laquelley(t0)AEy0. Une méthode numérique d"intégration fournira, pour un ensemble detkchoisi dans [t0,t0ÅT], un ensemble de valeursyktelles que lesyksoient aussi proches que possible desy(tk). Le résultat ne sera donc pas une fonction mais un ensemble de points (tk,yk), comme ci-dessous, aussi proches que possible de la fonction solution (traits pleins).y(t)tt 1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t 8t 9t On dit que l"on utilise unpas régulier(notéhdans la suite) lorsque l"intervalle [t0,t0ÅT]

est subdivisé ennintervalles égaux,tkÅ1¡tkAEhAET/n.1. Ou bien définie par morceaux avec de telles fonctions.2.2Sc hémad "intégrationd "Eulerex plicite

Unschéma d"intégrationest une méthode qui calcule, successivement, les différentsyk

à partir desyj(avecjÇk) et de la fonctionf.

Il existe de très nombreux schémas d"intégration, qui diffèrent les uns des autres de par

leur complexité, leur précision, leur stabilité numérique, etc. Le plus simple de tous ces

schémas d"intégration est le schéma dit d"Euler explicite. L"idée est simple. Connaissant on calculeykà partir deyk¡1via la relation suivante : y

Cela revient à considérer la tangente au point (tk¡1,yk¡1) obtenue grâce à la fonctionf,

et se diriger dans cette direction jusqu"à l"instanttk. Ainsi, on obtienty1à partir dey0de la sorte :y(t)tt 0t 1t 2t

3²²

On peut voir cette relation entreyketyk¡1comme liée au développement de Taylor de y(t) au premier ordre eny(tk) : On ne conserverait donc ici que les deux premiers termes du développement.

Si c"est bien l"idée sous-jacente au schéma d"intégration d"Euler explicite, il faut être très

prudent, caryketyk¡1ne correspondent pas exactement ày(tk) ety(tk¡1), ils n"en sont que des approximations. 26
Les différentsyksont ainsi calculés de proche en proche. Par exemple poury2ety3sur notre exemple :y(t)t t 1t 2t

3²²²²

2.3

E rreurde cons istanceÉvidemment, supposer que la fonction est un segment entretkettkÅ1dont la pente est

estimée au seul instanttkne peut pas donner une solution exacte. L"intégration numérique de notre équation différentielle en utilisant une subdivision régulière du temps de pas

0.5RC(8k,(tk¡tk¡1)AEhAE0.5RC) donne le résultat illustré à la page précédente : bien

qu"on ne soit pas trop loin de la solution, on s"en éloigne quand même quelque peu. On définitl"erreur de consistanceek, pour un schéma d"intégration et une équation

différentielle donnés, comme l"écart¯¯yk¡y(tk)¯¯en supposant queyk¡1était égal ày(tk¡1).

Une méthode de pas régulierhest dited"ordreplorsqueekAEO(hpÅ1) lorsquehtend vers 0.

Elle est diteconsistantelorsquenX

kAE1e k¡¡¡¡!n!10. On souhaite évidemment utiliser des schémas d"intégration consistants, et dans la mesure du possible avec un ordre le plus grand possible, afin d"éviter les imprécisions.

Attention, l"erreur commise à l"issue de l"intégration numérique sur [t0,t0ÅT] ne corres-

pond pas à la somme des erreurs de consistance. Lorsque l"on utilise un pashavec une méthode d"ordrep, on effectueT/hpas d"in- tégration, chacun ayant une erreur de consistance enO(hpÅ1). On s"attend donc à une erreur de l"ordre deT/h£O(hpÅ1)AEO(hp). Seulement, on s"écarte progressivement de la solution à chaque étape, et les erreurs commises peuvent être beaucoup plus grandes que les erreurs de consistanceek. Il n"est pas possible de montrer que l"erreur sur l"ensemble de l"intervalle est en O(hp) sans faire d"autres hypothèses sur la fonctionf. Dans le cas du schéma d"intégration d"Euler explicite, on a e kAE¯¯¯y(tk)¡³ SifestC1, alors le schéma régulier d"Euler implicite est consistant d"ordre 1. En effet,

l"erreur de consistanceekcorrespond très précisément au terme que l"on a négligé dans le

développement de Lagrange, O¡(tk¡tk¡1)2¢, ce qui en fait une méthode d"ordre 1. Pour prouver sa consistance, puisquefestC1, on peut en déduire queyestC2, et donc que, selon l"égalité de Taylor-Lagrange, pour tout intervalle [tk¡1,tk] il existe un

¿k2[tk¡1,tk] vérifiant

oùhAETn

AEtk¡tk¡1

Autrement dit, l"erreur de consistance vérifieekAE¯¯¯y00(¿k)2

¯¯¯£h22

yétantC2, notons M2un majorant dejy00jsur l"intervalle [t0,t0ÅT]. On a alors

¯Xek¯¯ÉXjekjÉXM2£h22

AEn£M2£h22

AEM2T22n¡¡¡¡!n!10

Le schéma d"intégration d"Euler implicite est donc bien consistant. En diminuant le pas h(en augmentant le nombre de subdivisions), on tend donc à s"approcher de la solution comme on peut le voir ci-dessous :y(t)tt 1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t 8t 9t 27

2.4I mplémentationL"implémentation de la méthode d"Euler explicite est des plus simple. Elle prend trois

arguments : la fonctionf, la valeury0de la fonctionyà l"instantt0et la liste destk(pour

0ÉkÇn) pour lesquels on cherche lesyk.

Elle retourne une liste desyk(toujours pour 0ÉkÇn), lesquels sont calculés de proche en proche grâce à la relation y

On a donc :defEulerExplicite(f, y0, listeT) :

listeY [ y0 ] forkinrange(1,len (listeT)) : pas listeT[k] listeT[k 1 yk listeY[k 1 f( listeY[k 1 ], listeT[k 1 pas listeY append (yk) returnlisteY

EulerExplicite:R, C, Eo= 1.0e3 ,1.0e-6 ,3.0

deff(y, t) : return(Eo-y)/ (R *C) N 10 pas 5 R C N listeT 0.0 i pasforiinrange(N+1) ] y0 1.0 listeY

EulerExplicite(f, y0, listeT) On peut ensuite afficher le résultat grâce à la commandeploten écrivant par exemplefrommatplotlib.pyplotimportplot,show

plot (listeT, listeY,?ro?) show ()2 . Onauraitpuégalementutilisernumpy.linspace(0.0,5.0 *R*C, N+1)pourconstruirelalistedesinstants tk.2.5M éthodede R unge-Kuttapoint m ilieu

Le schéma d"intégration numérique d"Euler explicite est le seul qui soit à connaître. C"est

aussi, malheureusement, un des plus inefficaces, exigeant des pas très petits pour que le résultat soit de bonne qualité. De la même façon qu"il existe de nombreuses méthodes pour estimer numériquement

l"intégrale d"une fonction, il existe de très nombreux schémas d"intégration. Le schéma

d"intégration d"Euler explicite s"apparente à la méthode des rectangles gauches : la valeur de la fonctionfentk¡1est utilisée pour tout l"intervalle [tk¡1,tk]. Nous avions vu que la méthode du point milieu donnait une meilleure estimation de l"intervalle, pour un même pas. On souhaiterait donc estimer la valeur de la pente, pour le calcul deykà partir deyk¡1, non pas entk¡1, mais entk,mAE(tk¡1Åtk)/2. Seul ennui, on ne sait pas par où passe la fonctionyà l"instanttk,m!

On va donc travailler en deux temps :

on estime unyk,mcorrespondant à un instanttk,mAE(tk¡1Åtk)/2, à partir deyk¡1 grâce au schéma d"intégration d"Euler explicite; onse sertde lapentef(yk,m,tk,m) pour calculeryk, enrepartantdu point(tk¡1,yk¡1). Un schéma valant mieux qu"un discours, on construit par exempley1à partir dey0, puis y2à partir dey1, de la sorte3:y(t)t t 1,mt 1t 2,mt

2²²²

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