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Master MAP M1 Math APPLIQUEE UE2 EDP2 2010/20111

COURS METHODES D'APPROXIMATION

DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

PAR DIFFERENCES FINIES ET VOLUMES FINIS

DAVEAU CHRISTIAN

100.20.40.60.810

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Temps t= 0.44118

LDG uex

00.20.40.60.810

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Temps t= 0.5

LDG uex

1. Universite de Cergy-Pontoise, Departement de mathematique, 95302, Cergy-Pontoise, cedex France.

2

Table des matieres

1 Introduction5

1.1 Denition d'une equation aux derivees partielles (e.d.p) . . . . . . . . 5

1.2 Exemples et classication si l'ordre est2. . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Approximation de problemes elliptiques par la methode des dier-

ences nies7

2.1 Introduction du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 En une dimension d'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Etude de l'existence et unicite de la solution . . . . . . . . . . 7

2.2.2 Approximation par la methode des dierences nies (DF) . . . 10

2.2.3 Etude mathematique de la methode des DF : stabilite au sens

de la normel1, consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 En deux dimension d'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Approximation de problemes hyperboliques par la methode des

dierences nies19

3.1 Equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.2 Resolution de l'equation de transport a coecients constants . 20

3.1.3 Approximation par DF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 D'autres schemas explicites, schema saute-mouton . . . . . . . . . . . 22

3.2.1 Notion de CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.1 Formule de d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.2 C^one de dependance et propagation a vitesse nie . . . . . . . 26

3.3.3 Regularite du probleme de Cauchyf= 0 . . . . . . . . . . . . 26

3.3.4 Regularite de la solution avec un terme source . . . . . . . . . 27

3.3.5 Conservation de l'energie-Unicite . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.6 Approximation par DF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4TABLE DES MATIERES

4 Approximation d'un probleme parabolique par la methode des dierences

nies33

4.1 Probleme modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Schema de Crank et Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Etablissement du schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.2 Etude theorique du schema de Crank et Nicholson : stabilite,

consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Approximation d'un probleme elliptique par la methode des vol-

umes nis37

5.1 Probleme modele, maillage volumes nis . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Schema volumes nis et notion de Flux numerique . . . . . . . . . . . 37

5.3 Analyse mathematique du schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.5 Annexe I : Memento Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.6 Annexe II : une petite bibliotheque en scilab . . . . . . . . . . . . . . 43

Chapitre 1

Introduction

1.1 Denition d'une equation aux derivees partielles (e.d.p)

C'est une equation dont l'inconnue est une fonction et portant sur les derivees partielles de cette fonction : { l'inconnue :u:Rn!R { l'equationF(x;u(x);Du(x);:::Dpu(x)) = 08x2Rn(ou ) avec F:RnRRn2::Rnp!Rest donnee.ps'appelle l'ordre de cette edp.

1.2 Exemples et classication si l'ordre est2.

Les edp sont des transcriptions mathematiques de phenomenes intervenant en physique, chimie, nance, biologie....

On distingue trois grandes categories d'edp :

1. les edp de type elliptique dont le prototype est l'equation de Poisson

u(x) =nX i=1@ 2u @x

2i(x) =f(x)8x2

Rn:

2. les edp de type parabolique dont le prototype est l'equation de la chaleur :

@T @t (x;t)T(x;t) = 08x2

Rn;8t >0; >0:

Il s'agit d'un probleme d'evolution car la variable t du temps intervient.

3. les edp de type hyperbolique dont les prototypes sont

{ l'equation de transport : @u @t (x;t) +a@u @x (x;t) = 08x2

Rn;8t >0; a2R

6Introduction

{ l'equation des ondes : 2u @t

2(x;t)@2u

@x

2(x;t) = 08x2

Rn;8t >0:

Si on considere une edp d'ordre2 a coecients constants du type a @2u @x

2(x;t) +b@2u

@xy (x;t) +c@2u @y

2(x;t) +d@u

@x (x;t) +e@u @y (x;t) +f u= 0 aveca;b;c;d;e;fdes reels donnes alors si la forme quadratique q(x;y) =ax2+bxy+cy2+dx+ey+f { est une ellipse l'edp est dite elliptique, { est une hyperbole l'edp est dite hyperbolique, { est une parabole l'edp est dite parabolique.

Chapitre 2

Approximation de problemes

elliptiques par la methode des dierences nies

2.1 Introduction du modele

Le probleme modele est le suivant : soit

un domaine borne deRnetfune fonction aussi reguliere que necessaire de a valeurs dansR. Nous cherchonsu solution de l'equation de Poisson : u(x) =nX i=1@ 2u @x

2i(x) =f(x)8x2

Rn: Il faut preciser les conditions aux limites : nous prenons des conditions homogenes de Dirichlet u(x) = 08x2@ ou@ designe la frontiere de l'ouvert

2.2 En une dimension d'espace

2.2.1 Etude de l'existence et unicite de la solution

Le probleme devient

u00(x) =f(x);0< x <1; u(0) =u(1) = 0:(1) ouf2C0([0;1]) est donnee. Proposition 2.2.18f2C0([0;1]),9!u2C2([0;1])(solution classique) donnee par u(x) =Z 1 0

G(x;y)f(y)dy8x2[0;1] (2)

8Approximation de problemes elliptiques par la methode des dierences nies

ouGs'appelle la fonction de Green du probleme et est denie par

G(x;y) =y(1x)si0yx;

x(1y)sixy1:

Preuve :

1) Existence : on peut proceder de 2 facons; soit on integre deux fois l'equation (1),

soit on montre directement que l'expression (2) est solution de (1).

On va montrer que (2) est solution de (1) :

du dx =d dx (Z 1 0

G(x;y)f(y)dy) =d

dx (Z x 0 y(1x)f(y)dy+Z 1 x x(1y)f(y)dy) = x(1x)f(x)Z x 0 yf(y)dyx(1x)f(x) +Z 1 x (1y)f(y)dy= Z 1 x f(y)dyZ 1 0 yf(y)dy:

Notons queu2C1([0;1]).

d 2u dx

2=f(x):

Doncu2C2([0;1]) et est solution de (1).

Remarque 2.2.1On aurait pu ^etre tenter d'ecrire

du dx =Z 1 0d dx

G(x;y)f(y)dy

mais ceci est faux carx!G(x;y)n'est pas derivable sur[0;1]pour touty2[0;1].

2) Unicite : le probleme etant lineaire, il sut de montrer que pourf= 0 la solution

de (1) est nulle : siu1etu2sont solutions alors d2 dx (u1u2)(x) = 0;(u1u2)(0) = (u1u2)(1) = 0: Pour montrer ce resultat il sut de montrer que toute solution de (1) s'ecrit sous la forme (2). En eet

8x2[0;1];Z

1 0

G(x;y)0dy= 0:

Soitusolution de (1) en integrant deux fois on a

u(x) =Z x 0 (Z s 0 f(y)dy)ds+ax+b avecaetba determiner avec les conditions aux limitesu(0) =u(1) = 0:On obtient b= 0 eta=R1 0(Rs

0f(y)dy)ds:

2.2 En une dimension d'espace9

D'ou8x2[0;1],

u(x) =xZ 1 0 (Z s 0 f(y)dy)dsZ x 0 (Z s 0 f(y)dy)ds (Fubini) =xZ 1 0 (Z 1 y f(y)ds)dyZ x 0 (Z x y f(y)ds)dy (on inverse l'ordre d'integration) =xZ 1 0 (1y)f(y)dyZ x 0 (xy)f(y)dy) Z 1 0 f(y)[x(1y)(xy)X[0;x](y)]dy ouX[0;x]est la fonction indicatrice de [0;x]. SoitG: [0;1]2!Rdenie par

G(x;y) =x(1y)(xy)X[0;x](y)8(x;y)2[0;1]2

siy2[0;x],G(x;y) =x(1y)(xy) =y(1x) et siy2[x;1],G(x;y) =x(1y): Ce qui termine la demonstration de la proposition. Theoreme 2.2.1L'applicationT:C0([0;1])!C2([0;1]),f7!usolution de(1) est continue. Preuve :Test lineaire (exo) il sut donc de montrer que ouCest une constante independante def. On rappelle que jjujjC0([0;1])=supx2[0;1]ju(x)j etjjujjC2([0;1])=jjujjC0([0;1])+jju0jjC0([0;1])+jju00jjC0([0;1]):Soitf2C0([0;1]) etu solution de (1), d'apres la proposition precedente u(x) =Z 1 0

G(x;y)f(y)dy;

u

0(x) =Z

1 x f(y)dyZ 1 0 yf(y)dy et u

00(x) =f(x):

8(x;y)2[0;1]2;jG(x;y)j 1

donc jjujjC2([0;1])4jjfjjC0([0;1]): La deuxieme propriete importante est le principe du maximum.

10 Approximation de problemes elliptiques par la methode des dierences nies

Proposition 2.2.2Soitf2C0([0;1]), etu2C2([0;1])la solution de(1). Alors f0impliqueu0: Preuve; supposons quef(x)0 pour toutx2[0;1], commeG(x;y)0 pour tout (x;y)2[0;1]2alorsuest l'integrale d'une fonction positive et est donc positive. La derniere propriete est une propriete de delocalisation du support : Proposition 2.2.3Soitf2C0([0;1])telle quef0etsupp(f)[x0;x0+]avec x

02[0;1]et >0, on considere la solutionude(1)alors

8x2]0;1[; u(x)>0:

Preuve : il sut de remarquer queG(x;y)>0 pour tout (x;y)2]0;1[2. Donc u(x) =Z 1 0

G(x;y)f(y)dy=Z

x0+ x

0G(x;y)f(y)dy >08x2[0;1]:

Bilan : on retiendra qu'une equation elliptique

{ est regularisante : si les donneesf2C0alors la solutionu2C2 { a une solution qui depend de maniere continue des donnees { a une solution positive si les donnees sont positive { a en general une solution non nulle sur tout l'interieur du domaine m^eme si les donnees ne sont non nulles que sur un domaine tres petit. Si les donnees ne sont pas reguliere,f =2C0([0;1]), il faudra denir en quel sens l'equation est veriee et etudier l'existence et l'unicite de solutions. Pour etendre les resultats, on utilisera la theorie des distributions et on cherchera la solution dans un espace de Sobolev.

2.2.2 Approximation par la methode des dierences nies (DF)

Nous introduisons un maillage de [0;1] : pourNxe, on introduit un pas de discretisationh= 1=(N+ 1) et nous posonsxj=jh;avecj= 0;:::;N+ 1 les

N+ 2 points du maillage.

Le but de la methode numerique consiste a calculer des valeurs les plus exactes possibles deu(xi) pouri= 1;N. La premiere etape consiste a trouver une formule qui permet d'approcher la deriveeu00en chacun des pointsxja l'aide des valeurs (u(xj))j=1;N. Pour cela, on utilise des developpements de Taylor deu: u(x+h) =u(x) +hu0(x) +h2 2 u00(x) +h3 6 u(3)(x) +h4 24
quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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