[PDF] Méthodes numériques pour les EDP instationnaires : Différences

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M´ethodes num´eriques pour les EDP instationnaires : Diff´erences

Finies et Volumes Finis

Notes pour le cours de base M2-Math´ematiques de la mod´elisation (2014)

B. Despr´es

15 juillet 2014

2

Table des mati`eres1 Introduction5

2 Cadre fonctionnel et mod`eles7

2.1 Cadre fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Espaces de LebesgueLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 In´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 8

2.1.3 Fonctions `a variation born´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Quelques mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 9

2.2.2 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 14

2.2.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 15

2.2.4 Syst`emes de Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 15

2.2.5 Termes sources ou de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 16

3 Quelques principes de construction17

3.1 Approximation num´erique en dimensiond= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Equation du transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 18

3.1.2 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 24

3.2 Approximation num´erique en dimensiond≥2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 M´ethodes de Diff´erences Finies . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2 M´ethode de Volumes Finis pour l"´equation d"advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.3 M´ethode de Volumes Finis pour l"´equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.4 M´ethodes de Volumes Finis pour les syst`emes de Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Analyse num´erique des m´ethodes de Diff´erences finies37

4.1 Consistance, stabilit´e et th´eor`eme de Lax . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1 Consistance pour le cas stationnaire . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.2 Cas instationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 38

4.1.3 Sch´ema de Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 42

4.1.4 Sch´ema semi-discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 42

4.1.5 Un principe de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 43

4.1.6 Caract´erisation spectrale de la stabilit´e . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.7 Sch´ema de splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 46

4.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 47

4.2.1 Sch´ema d´ecentr´e en dimension un . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.2 Donn´ee moins r´eguli`ere et ordre de convergence fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.3 Maillage non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 50

4.2.4 Sch´emas de diff´erences finis explicites et `a un pas . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.5 Construction des sch´emas semi-lagrangiens/sch´emas de Strang . . . . . . . . . . . . . . . 57

3

4TABLE DES MATI`ERES

5 Analyse num´erique des m´ethodes de Volumes finis67

5.1 Equation d"advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.1 Analyse de la condition de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.2 Consistence des sch´emas de Volumes Finis pour l"advection . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2 Convergence dansL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2.1 Premi`ere ´etape : estimation en temps dansLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.2 Deuxi`eme ´etape : estimation en espace dansL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3 Convergence dansL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3.1 Cas des fonctions indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3.2 Donn´ees g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 78

5.4 Convergence du sch´ema de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.5 Quelques r´esultats d"approximation . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Sch´emas non lin´eaires85

6.1 La m´ethode Muscl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 86

6.2 La m´ethode par intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3 Convergence pour des donn´ees BV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 90

Chapitre 1IntroductionOn peut consid´erer que les m´ethodes num´eriques pour les ´equations aux d´eriv´ees partielles (EDP) d"´evolution

s"appuient sur deux piliers. Le premier pilier en est l"analyse fonctionnelle et la th´eorie des espaces fonctionnels,

le second pilier s"appuie sur les mod`eles d"EDP et leurs liens avec la mod´elisation des ph´enom`enes r´eels. Cette

discipline est li´ee de tr`es pr`es ´egalement au d´eveloppement des moyens de calculs informatiques. Pour autant

la construction et l"analyse num´erique de m´ethodes num´eriques efficaces pour les EDP d"´evolution s"appuient

sur des r`egles propres qui forment l"objet de ces notes pourlecours de base du M2-Math´ematiques de la

mod´elisation 1.

Un probl`eme mod`ele central dans ces notes est issu de la mod´elisation des ph´enom`enes r´eels et de la pratique

de l"art de l"ing´enieur. Il est de type transport-diffusionet s"´ecrit tu+a· ?u-Δu= 0.

Cependant on consid`erera le plus souvent s´epar´ement l"´equation de transport ou d"advection∂tu+a· ?u= 0,

qui est de type hyperbolique, et l"´equation de la chaleur∂tu-Δu= 0, qui est de type parabolique. Les ´equations

de convection-diffusion, non lin´eaires cette fois, sont aussi tr`es utilis´ees en traitement de l"image, par exemple

en suivant les mod`eles de Perona-Malik :∂tu=? ·(g?u) =gΔu+?g· ?uavecgune fonction non lin´eaire

compliqu´ee deu; pourg=uon retrouve une ´equation pour les ´ecoulements en milieux poreux. Nous ne

consid´ererons dans la suite que des ´equations `a coefficients constants et donn´es.

On s"appuiera sur les deux notions fondamentales que sont lastabilit´eet laconsistancepour construire et

justifier les m´ethodes de Diff´erences Finies et Volumes Finis qui seront ´etudi´ees dans ces notes. Les m´ethodes

d"El´ements Finis sont ´evoqu´ees rapidement au chapitre 3. Les m´ethodes de Diff´erences finies sont simples `a

construire et leur th´eorie sert de socle `a la plupart des m´ethodes num´eriques non stationnaires. Les m´ethodes

de Volumes Finis peuvent ˆetre vues comme des m´ethodes de Diff´erences Finies sur maillage tordu. Elles sont

´egalement simples de construction et sont `a la base de la plupart des codes industriels et de recherche de CFD

(Computational Fluid Dynamics).

Ce texte est r´edig´e avec deux niveaux de lecture. Tout ce qui concerne la construction des m´ethodes num´eriques

est en taille normale.Les parties en taille r´eduite apportent des d´etails compl´ementairespour justifier certains ´el´ements ou pour

mener `a bien les diverses preuves. Elles doivent ˆetre laiss´ees de cˆot´e en premi`ere lecture.

De mˆeme il est conseill´e de passer directement au deuxi`eme chapitre.

1. Il s"agit de la premi`ere version/´edition des ces notes, aussi des coquilles/erreurs peuvent subsister. Merci de les signaler par

mail `adespres@ann.jussieu.fr 5

6CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Chapitre 2Cadre fonctionnel et mod`elesPour toute m´ethode de discr´etisation num´erique d"une ´equation aux d´eriv´ees partielles, une question fonda-

mentale est de montrer la convergence de la solution num´erique vers la solution exacte, et mieux d"obtenir des

estimations quantitatives optimales pour l"erreur. Pour cela, nous aurons besoin d"un cadre fonctionnel.

Ce chapitre peut ˆetre laiss´e de cˆot´e en premi`ere lecture.

2.1 Cadre fonctionnel

On renvoie `a [6].

D´efinition 1(Espace de Banach).Un espace de Banach r´eelVest un espace vectoriel r´eel, muni d"une

normeu?→ ?u?d´efinie pour toutu?V, et complet pour cette norme. Les propri´et´es de la norme sont

-?u? ≥0pour toutu?V, -?u?= 0si et seulement siu= 0, -?λu?=|λ| ?u?pour toutλ?R,

L"espaceVest appel´e unespace de Hilbertdans le cas o`u la norme est associ´ee `a un produit scalaire

?u?=? (u,u)

avec (u,v)?R´etant le produit scalaire deuetv. Pour m´emoire, les propri´et´es d"un produit scalaire r´eel sont

- le produit scalaire est une forme bilin´eaire, - (u,u)≥0 pour toutu?V, - (u,u) = 0 si et seulement siu= 0, - (u,v) = (v,u) pour tousu,v?V.

2.1.1 Espaces de LebesgueLp

Soit Ω un ouvert r´egulier deRd, born´e ou non. D´efinition 2(Espaces de Lebesgue).Soitp?[1,∞].

Ω|u(x)|pdx <∞.

La norme dansLp(Ω)est

?u?Lp(Ω)=? |u(x)|pdx? 1 p.

- Pourp=∞, l"espaceL∞(Ω)est constitu´e des fonctions mesurables et born´ees. La norme dansL∞(Ω)

est ?u?L∞(Ω)= sup{λ;mes(|u(x)|> λ)?= 0}<∞. 7

8CHAPITRE 2. CADRE FONCTIONNEL ET MOD`ELES

- Les espaces de Lebesgue sont des espaces de Banach. Les d´eriv´ees partielles d"une fonction sont not´ees u

On renvoie `a [6] pour une d´efinition rigoureuse de la d´erivation au sens des distributions d"une fonction mesu-

rable.

D´efinition 3.L"ensemble des fonctions mesurables deLp(Ω)dont toutes les d´eriv´ees sont ´egalement dans

L W q,p(Ω)est ?u?Wq,p(Ω)=? k

2.1.2 In´egalit´es

Soient deux nombres positifsp?[1,∞] etq?[1,∞] (l"infini est autoris´e) tels que 1 p+1q= 1.

Nous dirons quepetqsontconjugu´es.

Lemme 1(In´egalit´e de H¨older).Soientu?Lp(Ω)etv?Lq(Ω)o`upetqsont des nombres conjugu´es. Alors

u(x)v(x)dx????

Dans le casp=q= 2, l"in´egalit´e de H¨older est identique `a l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Le casp=∞etq= 1 est imm´ediat.

2.1.3 Fonctions `a variation born´ee

Le cadre des fonctions `a variation born´ee permet de manipuler des fonctions discontinues, ce qui est tr`es utile pour l"analyse

num´erique des ´equations de transport. On renvoie `a [18, 19].

Pour un vecteur?= (?1,···,?d) on notera

?21+···?2d.

L"espace des fonctions `a d´eriv´ee born´ee, `a valeur vectorielle, `a support compact, et born´ees par 1, sera not´e

W

1,∞

b,0(Rd)d=?

W1,∞

0(Rd)?

D´efinition 4(Variation totale).Soitu?L1(Rd). Le nombre ´eventuellement infini |u|BV(Rd)= sup ??W1,∞ b,0(Rd)d? R du(x)? ·?(x)dx? sera appel´e la variation totale deu. La d´efinition est encore valable en rempla¸cantL1(Rd) parL1loc(Rd). Exemple 1(En dimension un d"espace).Soitu?W1,1(R). Alors |u|BV=?u??L1(R)=? R |u?(x)|dx. Cela vient de la formule d"int´egration par parties R u(x)??(x)dx=? R u?(x)?(x)dx. sup R u?(x)?(x)dx? R?? u?(x)??dx=?u??L1(R).

2.2. QUELQUES MOD`ELES9

Exemple 2(En dimension deux d"espace).Soit le carr´e unit´eC={x= (x1,x2),0< x1,x2<1} ?R2. La fonction indicatrice

deCest not´ee1Cavec1C(x) = 1six?C;1C(x) = 0dans le cas contraire.

Alors|1C|BV= 4.

En effet on a a pour tout??W1,∞

b,0(R2) R

21C(x)? ·?(x)dx=-?

x?C? ·?(x)dx=? La borne est atteinte pour une suite bien choisie de fonctions?n.

On remarque par ailleurs que la valeur 4 est la valeur du p´erim`etre ducarr´eC, ce que nous noterons

|C|=|1C|BV.

D´efinition 5(Espace BV).L"espace des fonctions deL1(Rd)`a variation totale born´ee est not´eBV(Rd). Une norme associ´ee est

?u?BV(Rd)=|u|BV(Rd)+?u?1.

On a l"inclusion

1denseW1,1(Rd)?BV(Rd).

L"exemple 1 montre l"inclusion en dimension un d"espace. La densit´e de l"inclusion sera montr´ee dans un cas particulier `a la section

5.3. L"inclusion est stricteW1,1(Rd)?= BV(Rd) comme cons´equence de la d´efinition et des exemples.

Soitu≥0 une fonction mesurable positive ou nulle. On d´efinit l"ensemble de niveau E x?Rd, u(x)> λ? ?Rd.

Le p´erim`etre deEλest

|Eλ|=??1Eλ??BV(Rd)= sup ??W1,∞ b,0(Rd)d? E

λ? ·?(x)dx?

o`u1Eλest la fonction indicatrice deEλ. Pour toute fonction positive ou nulle, on u(x) =? 0 1

Eλ(x)dλ p.p.

Lemme 2(Formule de la coaire : voir [18]).Soitu?BV(Rd)une fonction positive ou nulle,u≥0. Alors |u|BV(Rd)=? 0 |Eλ|dλ.(2.1)

2.2 Quelques mod`eles

Les mod`eles consid´er´es sont lin´eaires. Ils servent souvent de briques de base pour des mod`eles plus ´elabor´es.

2.2.1 Equation de transport

L"´equation du transport libre `a vitesse constante s"´ecrit en tout dimension tu+c.?u= 0, t >0,x?Rd.

1. Notons aussi queBV(R)?L∞(R) en dimension un d"espace. Une preuve rapide est la suivante. Soitu?BV(R) : on se

donne trois nombresx0?R,ε >0 etμ >0 et on consid`ere la fonction continue n´egative ou nulle

?(x) =-?

0 pourx0+ε+1

Ru(x)??(x)dx=1

x0+ε x

0u(x)dx-

x0+ε+1 x

0+εu(x)dx. Donc?x0+ε

x x0+ε+1μ x

0+εu(x)dx. Commeu?L1(R), on peut passer `a la limiteμ→0

pour le deuxi`eme terme qui tend vers z´ero : lim

μ=0+μ?

x0+ε+1 x

0+εu(x)dx= 0. Donc?x0+ε

x

10CHAPITRE 2. CADRE FONCTIONNEL ET MOD`ELES

La fonction (t,x)?→u(t,x) est l"inconnue :test la variable de temps, etx= (x1,···,xd)?Rdest la variable

d"espace. L"op´erateur gradient est d´efini par ?u=?∂ ∂x1u,···,∂∂xdu?

Le champx?→c(x)?Rdest donn´e. Il est appel´e champ de vitesse pour des raisons qui paraitront ´evidentes

dans la suite.

Dimensiond= 1

On consid`ere tout d"abord le cas en dimensiond= 1 pour une vitesse constante que l"on notea?R. Il s"agit

de l"´equation d"advection tu+a∂xu= 0, t >0, x?R.(2.2)

On supposera quea >0. L"autre casa <0 est sym´etrique et se d´eduit du casa >0. On munit l"´equation d"une

condition initiale `at= 0 u(0,x) =u0(x).(2.3) Lemme 3.L"unique solution de (2.2) avec la condition initiale (2.3)est u(t,x) =u0(x-at).(2.4)

D´emonstration.Cette propri´et´e peut se d´emontrer dans tout type d"espace fonctionnel. Par souci de simplicit´e

on consid`ere une donn´ee initiale r´eguli`ereu0?C1(R). Prenons la fonction d´efinie par (2.4). On a∂tu=

-au?0(x-at) et∂xu=u?0(x-at). Donc∂tu+a∂xu=-au?0+au?0= 0 ce qui montre que (2.4) est bien une

solution. t x=X2+at x

X1X2x=X1+at

Figure2.1 - La solution de l"´equation d"advection est constant lelong des droites caract´eristiquesx=X+at.

Montrons `a pr´esent l"unicit´e. Soientu1etu2deux solutions de classeC1(R) ´eventuellement diff´erentes, avec la

mˆeme donn´ee initiale u

1(0,x) =u2(0,x) =u0(x).

Soitx?→?0(x) une fonction d´erivable, positive ou nulle, `a support compact :?0(x) = 0 for|x| ≥A. On note

?(t,x) =?0(x-at) qui est solution de l"´equation d"advection. Posonsv= (u1-u2)2?≥0. On commence par

v´erifier quevest aussi solution de l"´equation d"advection tv+a∂xv= 2(u1-u2)?(∂t(u1-u2) +a∂x(u1-u2)) + (u1-u2)2(∂t?+a∂x?) = 0.

Par constructionvest `a support compact ce qui n"´etait pas n´ecessairement le cas deu1ni deu2. Donc

0 = R (∂tv+a∂xv)dx=? R tvdx+a? A+at -A+at∂ xvdx=d dt? R vdx.

2.2. QUELQUES MOD`ELES11

Orv(0,x) = 0. Donc?

Rv(T,x)dx= 0 pour toutT >0. Commev≥0, il s"ensuit quev≡0. Le support dev pouvant ˆetre aussi grand que souhait´ee, cela montre queu1=u1. Soit un champ de vitesse de transportx?→c(x)?Retuune solution de l"´equation du transport tu+c(x)∂xu= 0, u(x,0) =u0(x). Nous construisons les courbes caract´eristiques ?y?(t;X) =c(y(t;X)), y(0;X) =X.

On utilise souvent des notations simplifi´ees. Par exemple en notant les courbes caract´eristiquesx(t) `a la place

dex=y(t;X).

Proposition 1.SupposonscLipschitzienne et born´ee. Alors il existe une et une seule solution de l"´equation

des courbes caract´eristiques (x?R,t≥0). D´emonstration.C"est une cons´equence du th´eor`eme de Cauchy-Lipshitz. Proposition 2.Sous les mˆemes hypoth`eses, une solution de l"´equation dutransport est u(x,t) =u0(X), x=y(t;X). D´emonstration.On au(x,t) =u(y(t;X),t). D´erivant par rapport `at,X´etant fixe, on obtient 0 = d dtu0(X) =ddtu(y(t;X),t) =y?(t;X)∂xu(y(t;X),t) +∂tu(y(t;X),t) =∂tu(y(t;X),t) +c(y(t;X))∂xu(y(t;X),t). Cela est vrai pour tout (t,X), c"est vrai pour toutx=y(t;X) et toutt. La preuve est termin´ee.

Dimensiond≥2en domaine born´e

Nous nous concentrons `a pr´esent sur les conditions au bordqu"il faut consid´erer en domaine born´e, car cela

constituera un bon point de d´epart pour la construction de sch´emas num´eriques pour cette ´equation.

Soit Ω?Rdun ouvert born´e r´egulier. On note le champ de vitessex?→a(x). On supposera quea?C1(

Ω) est

`a divergence nulle ?.a= 0. De ce fait l"´equation admet une formulation conservative tu+? ·(au) =∂tu+a· ?u+ (? ·a)u= 0. Le bord de Ω est s´epar´e en deux parties Γ = Γ -?Γ+avec Nous consid´erons le probl`eme avec condition initiale et condition au bord tu+a· ?u= 0,x?Ω, t >0, u(0,x) =u0(x),x?Ω, u(t,x) =u-(t,x),x?Γ-.(2.5) On note imm´ediatement qu"il n"y a pas de condition sur le bord Γ+.

12CHAPITRE 2. CADRE FONCTIONNEL ET MOD`ELES

n a n nn

Figure2.2 - Sur cet exemple le champ de vitesseaest orient´e en diagonale : la partie Γ+du bord surlign´ee

en gras est constitu´e des parties du bord en haut et `a droite; la partie Γ-du bord correspond aux parties du

bord en bas et `a gauche.

Lemme 4.Soient deux fonctionsu1etu2solutions r´eguli`eres de (2.5). Supposons queu1ontu2ont la mˆeme

condition initiale, et ont la mˆeme condition sur le bordΓ-. Alorsu1=u2. D´emonstration.La diff´erencee=u1-u2est solution de te+a· ?e= 0,x?Ω, t >0, e(0,x) = 0,x?Ω, e(t,x) = 0,x?Γ-.

PosonsE(t) =1

2?e(t)?22. Alors

E ?(t) =? e∂ tedx=-? ea·?edx=-? ae2 2? dx=-? -a·ne22dσ-? +a·ne22dσ=-?

Notons que l"on a utilis´e quee= 0 on Γ-. OrE(0) = 0 doncE(t) = 0 pour tout tempst >0. Cela montre que

u 1=u2.

Il est important de bien comprendre pourquoi le bord Γ+ne joue finalement aucun rˆole dans la preuve d"unicit´e.

Courbes caract´eristiques "en avant" dans un domaine born´e

A pr´esent nous construisons la solution `a partir des courbes caract´eristiquest?→y(t,X) d´efinies par

d dty(t,X) =a(X) avec la donn´ee initialey(0,x) =X.

Ces courbes sont correctement construites dans le cadre du th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz poura?C1(

Soit une fonctionuconstante le long des caract´eristiques u(y(X),t) =u0(X).

Elle v´erifie

d dtu=∂tu+ddty(t,X).?u=∂tu+a.?u= 0.

Pour unxdonn´e et untdonn´e, on peut ainsi d´eterminer la valeur deu(t,x) une fois que le pied de la caract´eristiqueXa ´et´e d´efini

en r´esolvant l"´equation y(t,X) =x.(2.6)

Il s"ensuit qu"il est n´ecessaire d"inverser l"´equation (2.6) pour obtenirle point de d´epartX?Ω?Γ-de la caract´eristique qui arrive

en (t,x)?R+×Ω. Pour rendre la discussion l´eg`erement plus simple, on peut construire lescaract´eristiques "en arri`ere".

2.2. QUELQUES MOD`ELES13

X1?Γ-x

2?Γ+

Figure2.3 - La fonctionuest constante le long des caract´eristiques dont le point ded´epart est not´e sous la

forme de cercle noir : le pointX1?Γ-est un point de d´epart; le pointx2?Γ+n"est pas un point de d´epart.

Courbes caract´eristiques "en arri`ere" dans un domaine born´e

Les courbes caract´eristiques en arri`ere sont construites `a partir de la position au temps final

d dtX(t,x) =-a(X) pourt >0,avecX(0,x) =x?Ω.

Bien sˆurX(t,x) est aussi le point de d´epart de la caract´eristique en avant discut´ee pr´ec´edemment. Nous d´efinissons le temps (de

sortie)

T(x) = inf(t) tel queX(t,x)?∂Ω.

SiX(t,x)?Ω pour toutt >0, on poseraT(x) = +∞. Par d´efinitionT(x)>0 pour toutx?Ω. La construction de la solutionuau point (t,x) s"appuie sur deux cas.

Premier cas :t < T(x).On pose

u(t,x) =u0(X(t,x)).(2.7) u(t,x) =u-(t-T(x),X(T(x),x)).(2.8) Par construction la fonctionu(2.7-2.8) satisfait la condition initiale u(0,x) =u0(x),?x?Ω,(c"est `a dire (2.7) `at= 0), et la condition au bord u(t,x) =u-(t,x),?x?Γ-,?c"est `a dire (2.8) pourx?Γ-?.

Il reste `a v´erifier queuest bien solution, et en quel sens, de l"´equation de transport. On a un premier r´esultat, qui est partiel

cependant car il y une restriction sur le temps.

Lemme 5.Supposons queu0?C1(Ω). Soit un point de l"espace temps(t,x)tel quet < T(x). Alors a fonctionu(2.9) est

localementC1et est solution de tu+a.?u= 0?x?Ω?t < T(x).

D´emonstration.On a par construction

X(t-h,X(h,x)) =X(t,x) pour de petitsh >0,

donc u(t-h,X(t-hX(h,x)) =u(t,x) pour de petitsh >0.(2.9)

La transformation (t,x)?→X(t,x) estC1localement autour de (t,x) dans le cast < T(x). Par d´erivation de (2.9) on obtient

d dhu(t-h,X(t-hX(h,x)) = 0, ou encore -∂tu-d dhX(t-hX(h,x)· ?u= 0.

Par ailleurs

d dhX(t-hX(h,x) =a(X(t-hX(h,x)), donc pourh= 0 on obtient-∂tu-a.?u= 0.

La restriction est pourt≥T(x), qui peut faire apparaitre des pertes dans le caract`ere r´egulier dela solution. Par exemple le temps

de sortiex?→T(x) peut mˆeme ne pas ˆetre continu, comme dans l"exemple d ela figure 2.4.

De mani`ere g´en´erale il est possible de consid´erer que la fonction d´efinie par formulationLagrangienne(2.9) est une solution

g´en´eralis´ee de la formulationEul´eriennede l"´equation du transport. On pourra consulter [2].

14CHAPITRE 2. CADRE FONCTIONNEL ET MOD`ELES

x2 x 1aX 2 X 1 X 0 x 0Ω

Figure2.4 - La vitesseaest verticale et constante. La fonctionx?→X(T(x),x)) n"est pas continue au point

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