[PDF] Analyse numérique La méthode des différences finies

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UNIVERSITÉ DEPAU

MASTER1 MMS

Analyse numérique

La méthode des différences finies

SÉBASTIENTORDEUX ETVICTORPÉRON

2020/2021

Table des matières

I La méthode des différences finies5

1 Discrétisation des équations différentielles ordinaires d"évolution6

1.1 Position du problème et réduction d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Théorème d"existence et unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Les schémas à un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4 Etude dea-stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5 Stabilité d"un schéma numérique (cas général) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6 Consistance d"un schéma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.7 Convergence d"un schéma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 La méthode des différences finies pour les problèmes aux limites statiques15

2.1 Différences finies en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2 Quelques exemples de différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.1 Différence finie décentrée à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.2 Différences finies décentrées à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.3 Différence finie centrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.4 Le schéma à trois points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3 Discrétisation des problèmes de type elliptique en dimension 1 . . . . . . . . .

18

2.3.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3.2 Discrétisation de l"équation principale . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3.3 Discrétisation des condition aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3.4 Formulation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3.5 Méthode du point fantôme ou virtuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4 Discrétisation des problèmes de type elliptique en dimension 2 . . . . . . . . .

23

2.4.1 Définition du problème continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.4.2 Différences finies en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4.3 Approximation de l"équation principale . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4.4 Approximation des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4.5 Formulation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4.6 Un exemple de problème à discrétiser, formulation non éliminée . . . .

30

2.4.7 Technique du point virtuel ou fantôme . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4.8 Un exemple de formulation éliminée avec points virtuels . . . . . . . .

34

3 Discrétisation des problèmes aux limites d"évolution39

3.1 Discrétisation de l"équation de réaction-advection-diffusion en dimension un

d"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2

3.1.1 Semi-discrétisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

3.1.2 Formulation éliminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.1.3 Discrétisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.2 Discrétisation de l"équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.2.1 Semi-discrétisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.2.2 Formulation éliminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2.3 Schéma à un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2.4 Schéma à deux pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.3 Analyse de stabilité de Von-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.3.1 La transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.3.2 Principe de l"analyse de Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.3.3 Discrétisation de l"équation de diffusion par le schéma d"Euler expli-

cite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.4 Application à l"équation de diffusion discrétisé par le schéma d"Euler

implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.5 Application à l"équation des ondes (schéma saute-mouton) . . . . . . .

49

3.3.6 Application à l"équation des ondes discrétisées par une méthode des

trapèzes implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3

Première partie

La méthode des différences finies

4

Chapitre 1

Discrétisation des équations différentielles ordinaires d"évolution

1.1 Position du problème et réduction d"ordre

Une équation différentielle ordinaire (EDO) est une équation différentielle ayant la forme

y (p)(t) =f(t,y(t),y′(t),,y(p-1)(t)).(1.1) avecy:R+!Rune fonction inconnue etf:R+Rp!R. On dit que (1.1) est une

EDO d"ordrep. Dans ce chapitre, nous nous intéressons plus précisément à la discrétisation des

problèmes de Cauchy qui sont des problèmes aux données initiales

8>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>:Cherchery:R+!Rde classeCptel que y (p)(t) =f(t,y(t),y′(t),,y(p-1)(t)),8t0, y(0) =α0, y ′(0) =α1, y (p-1)(t) =αp-1.(1.2) Ces problèmes de Cauchy d"ordrepmettant en jeu des fonctions à valeurs scalaires peuvent prendre la forme d"une EDO vectorielle d"ordre1. En effet, en notant

Y(t) = (y(t),y′(t),,y(p-1)(t))T(1.3)

nous avons Y ′(t) =2 6 6664y
′(t) y (2)(t) y (p-1)(t) y (p)(t)3 7

7775=2

6 6664y
′(t) y (2)(t) y (p-1)(t) f(t,y(t),y′(t),,y(p-1)(t))3 7

7775(1.4)

5 En notantα= (y(0),y′(0),,y(p-1)(0))TetF:R+Rp!Rpla fonction définie par F(t,2 6 6664u
0 u 1 u p-2 u p-13 7

7775) =2

6 6664u
1 u 2 u p-1 f(t,u0,u1,,up-1)3 7

7775,(1.5)

le problème (1.2) s"écrit 8>>< >:ChercherY:R+!Rpde classeC1tel que Y ′(t) =F(t,Y(t)),8t0,

Y(0) =α.(1.6)

Nous allons après avoir étudié l"existence et l"unicité des EDO vectorielles d"ordre 1, nous

allons présenter les schémas numériques à un pas, puis en effectuer l"analyse.

1.2 Théorème d"existence et unicité

Theoreme 1.1 (Cauchy-Lipschitz-Picard)

Siα2Rp,F:R+Rp!Rpest continue et

vérifie

9L >08t >0,8U,V2Rp,kF(t,U)F(t,V)k LkUVk(1.7)

alors le problème(1.6)admet une unique solution. Preuve.SoitL:C0([0,+1[,Rp)!C0([0,+1[,Rp)l"application définie par

LV(t) =α+Z

t 0

F(s,V(s))ds(1.8)

Remarquons queYest solution de (1.6) ssiYest point fixe deL. (i) Pour démontrer l" existenced"une solution de (1.6), nous allons démontrer, pour toutT0, l"existence et l"unicité d"un point fixe deLdans l"espace de Banach X

Tk=fV2C0([0,T],Rp) :kVkXTk<+1g(1.9)

avec kVkXTk= sup t∈[0,T]ke-ktV(t)k.(1.10) CommeTest borné, l"applicationLest continue surXTk. Montrons queLest contractante sur X

Tkpourk > L

ke-kt(LU(t) LV(t))k=ke-ktZ t 0quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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