[PDF] Cosinus dun angle aigu - Cours

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Remarque préliminaire :

Considérons quatre nombres a , b , c et d non nuls .

Nous savons que :

bc ad alors , d c b a Si== ( et réciproquement ) (1) Divisons les deux membres de cette dernière égalité par cd.

Nous avons :

cd bc cd ad alors , bc ad Si==

En simplifiant , nous obtenons :

d b c a alors , bc ad Si== (2) Les deux affirmations (1) et (2) permettent donc d"écrire : d b c a alors , d c b a Si==

En regardant cette dernière écriture, nous constatons que les nombres b et c ont été intervertis ( tout

en conservant une égalité ) En opérant de la même manière, nous pourrions démontrer que : alors , d c b a Si= ad = bc ou d b c a= ou a c b d= ou c b ad= ou d bc a= ou ...

Remarque ( peu rigoureuse )

Lorsque deux fractions sont égales, nous pouvons " passer » le numérateur de l"une dans l"autre membre

en le " plaçant » au dénominateur. De même pour les dénominateurs qui seront placés dans l"autre

membre au numérateur.

Introduction :

Considérons deux droites sécantes en O ( deux demi-droites sont suffisantes )

THEME :

COSINUS

D"UN ANGLE Aigu

Ces deux droites définissent un angle. Considérons deux droites perpendiculaires à l"un des côtés de cet angle.

Dans les triangles OAB et OMN,

Le point B est sur [ON). Le point A est sur [ON).

Les droites (AB) et (MN) sont parallèles ( Deux droites perpendiculaires à une même troisième

sont parallèles )

Donc d"après le théorème de Thalès :

MN

AB ON

OB OM

OA ==

Considérons les rapports : ON

OB OM

OA= D"après la remarque préliminaire, nous pouvons écrire : ON

OM OB

OA = Nous constatons que, quelles que soient les positions des points A et B ( ou M et N ) le rapport OB OA reste constant. ... OQOP ODOC ONOM OBOA====

Ces rapports sont égaux. La valeur commune ne dépend que de la position relative des droites, c"est à

dire de l"angle que forment ces droites.

Cette valeur qui dépend de l"angle

BOAˆsera appelée le cosinus de l"angle BOAˆet sera notée cos BOAˆ .

Définition et remarques :

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Ce triangle possède deux angles aigus

BCA et CBAˆˆ

( que nous pouvons également appeler C et B ˆˆ)

Choisissons un de ces angles.

Choix de l"angle : Angle CBAˆ

Le côté [BC] , côté opposé à l"angle droit s"appelle l"hypoténuse.

Pour l"angle

CBAˆ, le côté [AB] s"appelle le côté adjacent.

Choix de l"angle : Angle BCAˆ

Le côté [BC] , côté opposé à l"angle droit s"appelle toujours l"hypoténuse.

Pour l"angle

BCAˆ, le côté [AC] s"appelle le côté adjacent.

Remarque : Dans un triangle rectangle , l"hypoténuse est le côté opposé à l"angle droit. Il est

indépendant du choix de l"angle aigu . ( C"est également le côté le plus long du triangle rectangle )

Par contre , le côté adjacent n"est défini qu"après avoir choisi un angle aigu de ce triangle rectangle .

Définition : Cosinus d"un angle

Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A , le cosinus de l"angle aigu CBAˆ( noté cos CBAˆ) est défini par le rapport du côté adjacent par l"hypoténuse , c"est à dire : BC

AB CBA cos=ˆ

Remarque : Le cosinus d"un angle n"est défini ainsi que dans un triangle rectangle.

Remarque : La définition précédente du cosinus d"un angle fait intervenir les différents sommets du

triangle rectangle. Si le triangle étudié est le triangle MNP rectangle en N, comment retrouver la

formule définissant le cosinus de l"angle

NPMˆ par exemple ?

Il est préférable d"apprendre la définition du cosinus sous la forme

Définition : Cosinus d"un angle

Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A , le cosinus de l"angle aigu

CBAˆ( noté cos CBAˆ) est défini par

hypoténuse adjacent côté CBA cos=ˆ ( = BC AB ) Dans l"exemple précédent, nous cherchons à calculer, dans le triangle MNP rectangle en N , le cosinus de l"angle

NPMˆ. Nous avons :

MP NP hypoténuseadjacent côté NPM cos==ˆ

A ne pas écrire , dans la

rédaction.

Remarque : Le cosinus d"un angle n"est défini, avec cette définition, que pour les angles aigus du triangle

rectangle. En aucun cas, on ne définira le cosinus de l"angle droit de ce triangle. Remarque : Soit ABC un triangle rectangle en A. Exprimons cos CBAˆ et cos BCAˆ.

Nous avons

BC AB hypoténuseadjacent côté CBA cos==ˆ et BC AC hypoténuseadjacent côté BCA cos==ˆ

Remarque

: Dans une écriture fractionnaire, si le numérateur est inférieur au dénominateur, alors cette

écriture fractionnaire est inférieure à 1. Inversement, si le numérateur est supérieur au dénominateur,

alors cette écriture fractionnaire est supérieure à 1.

Dans un triangle rectangle, le côté dont la mesure est la plus grande est l"hypoténuse. Donc le côté

adjacent est inférieur, en longueur, à l"hypoténuse. Comme le cosinus d"un angle est défini par le rapport hypoténuse adjacent côté, le cosinus d"un angle est inférieur à 1.

Remarque : L"écriture BC

AB cos= n"a aucun sens .

Calcul du cosinus à l"aide d"une calculatrice :

# Avant d"utiliser sa machine pour calculer le cosinus d"un angle , il faut s"assurer que la machine est

en mode degré. Un caractère D ou les trois lettres DEG doivent apparaître dans la fenêtre d"affichage. Sinon, suivant le type de la machine, changer le mode ou utiliser la touche I # Calcul de cos 30° : Selon la machine utilisé ( logique directe ou non ) , taper

30cou c(30=

Nous obtenons : َÂwxoaeúØ3ïٟïçß¹Þ÷çç:½Ÿµv

EI Q BT /R49 20.1103 Tf

0.999415 0 0 1 235.2 316.64 Tm

AB cos=

Cosinus de quel angle ?

Donc, une valeur approchée de cos 30° à 10 -3 près est 0,866 . # Calcul de cos 45° : En tapant 45c ou c(45= , nous obtenons dans la fenêtre d"affichage : # Calcul de cos 60° : En tapant 60c ou c(60= , nous obtenons dans la fenêtre d"affichage : # Calcul de cos 27° : En tapant 27c ou c(27= , nous obtenons dans la fenêtre d"affichage :

Remarque : Nous constatons, dans ces quatre exemples que le cosinus est un nombre positif inférieur à

1. Nous pouvons également déterminer la valeur de l"angle dont le cosinus est connu. Par exemple, quel est l"angle dont le cosinus est 0,5 ? D"après les calculs précédents ( 3

ème calcul ), nous

constatons que cet angle a pour mesure 60°. # Quel angle a pour cosinus 0,54 ? cos ? = 0,54 Pour déterminer cet angle, nous utiliserons la touche U. Cette touche est très souvent associée à c et est située au dessus c. Pour utiliser cette nouvelle fonction, il est nécessaire de taper sur une des touches _ou ` ou $ avant d"appuyer sur c ( voir le mode d"emploi de votre calculatrice )

En tapant donc 0,54_c ou _c(0,54= , nous obtenons

Soit, au dixième de degré près , 57,3° # Quel angle a pour cosinus 1,32 ? cos ? = 1,32 En utilisant la calculatrice, nous nous apercevons en tapant :

1,32_c ou _c(1,32=

0,707106

0,8660254

0,5

0.8910065

sin-1 cos-1 tan-1 S c t

57,316361

que, dans la fenêtre d"affichage, apparaît le mot

Cette réponse est normale, puisque nous avons démontré précédemment que le cosinus d"un angle était

nécessairement inférieur à 1. Il n"existe donc pas d"angle dont le cosinus soit égal à 1,32

Remarque : Calculons et disposons dans un tableau les différentes valeurs du cosinus pour des angles

compris entre 0° et 90° ( angles à valeurs entières ) Angle Cosinus Angle Cosinus Angle Cosinus Angle Cosinus

0 1 23 0,92050485 46 0,69465837 69 0,35836795

1 0,99984770 24 0,91354546 47 0,68199836 70 0,34202014

2 0,99939083 25 0,90630779 48 0,66913061 71 0,32556815

3 0,99862953 26 0,89879405 49 0,65605903 72 0,30901699

4 0,99756405 27 0,89100652 50 0,64278761 73 0,29237170

5 0,99619470 28 0,88294759 51 0,62932039 74 0,27563736

6 0,99452190 29 0,87461971 52 0,61566148 75 0,25881905

7 0,99254615 30 0,86602540 53 0,60181502 76 0,24192190

8 0,99026807 31 0,85716730 54 0,58778525 77 0,22495105

9 0,98768834 32 0,84804810 55 0,57357644 78 0,20791169

10 0,98480775 33 0,83867057 56 0,55919290 79 0,19080900

11 0,98162718 34 0,82903757 57 0,54463904 80 0,17364818

12 0,97814760 35 0,81915204 58 0,52991926 81 0,15643447

13 0,97437006 36 0,80901699 59 0,51503807 82 0,13917310

14 0,97029573 37 0,79863551 60 0,5 83 0,12186934

15 0,96592583 38 0,78801075 61 0,48480962 84 0,10452846

16 0,96126170 39 0,77714596 62 0,46947156 85 0,08715574

17 0,95630476 40 0,76604444 63 0,45399050 86 0,06975647

18 0,95105652 41 0,75470958 64 0,43837115 87 0,05233596

19 0,94551858 42 0,74314483 65 0,42261826 88 0,03489950

20 0,93969262 43 0,73135370 66 0,40673664 89 0,01745241

21 0,93358043 44 0,71933980 67 0,39073113 90 0

22 0,92718385 45 0,70710678 68 0,37460659

Nous constatons, que la calculatrice a donné des valeurs pour cos O° et cos 90°, valeurs impossibles à

définir avec la définition proposée ci dessus ( un triangle rectangle ne peut pas avoir, en plus de son

angle droit, un angle nul ou un autre angle droit ! )

Considérons un repère. Sur l"axe des abscisses, graduons de 0° à 90° et sur l"axe des ordonnées

graduons de 0 à 1. Plaçons alors, dans ce repère, tous les points dont l"abscisse est une valeur de l"angle

( lignes colorées du tableau ) et pour ordonnée la valeur correspondante au cosinus de cet angle.

ERROR

Par exemple, plaçons le point de coordonnées ( 0 ; 1 ), le point de coordonnées ( 1 ; 0,99984770 ) , le

point de coordonnées ( 2 ; 0,99939083 ) , jusqu"au point de coordonnées ( 90 ; 0 )

Nous obtenons donc le dessin ci-dessous :

Nous constatons que les différentes valeurs du cosinus ne sont pas disposées n"importe comment. Si

l"angle est petit, le cosinus est proche de la valeur 1 et si l"angle croit ( du verbe croître : grandir,

augmenter ), le cosinus décroît ( du verbe décroître : diminuer progressivement ) et devient de plus en

plus petit. Nous reviendrons, dans un complément, sur ce graphique . Utilisation du cosinus - Exemples et rédaction :

Exemple 1 :

Soit EFG un triangle rectangle en E tel que GF= 6 (cm) et

35 GFEˆ

Quel est, au dixième de centimètre, la longueur EF ? Dans le triangle EFG, le côté [FG] s"appelle l"hypoténuse.

Pour l"angle

GFEˆ, le côté [EF] s"appelle le côté adjacent. Le cosinus de cet angle

GFEˆ permet de lier la mesure du côté

adjacent et la mesure de l"hypoténuse.

Ecrivons donc ce rapport.

Croître : Grandir, se développer, pousser.

Le peuplier croît plus vite que le chêne.

Augmenter en nombre, en importance, en durée.

Les jours croissent.

Décroître : Diminuer progressivement.

Les adjectifs associés à ces verbes sont croissant et décroissant. Ces mots ont déjà été utilisés dans certains exercices où il était demandé de ranger par ordre croissant ( du plus petit au plus grand ) ou par ordre décroissant (du plus grand au plus petit ) une série de nombres. EI Q EI Q EI Q BT /R11 11.0255 Tf

0.999445 0 0 1 28.32 547.28 Tm

Exemple 2 :

Soit MNP un triangle rectangle en M tel que MN= 4 (cm) et

42 P NMˆ

Quel est, au centième de centimètre, la longueur NP ?

Dans le triangle EFG rectangle en E, nous avons :

FG

EF GFE cos=ˆ

6

EF 35 cos=°

EF 35 cos 6=°´

Par suite :

4,9 EF»cm

Pour utiliser le cosinus, nous

devons utiliser un triangle rectangle.

L"hypoténuse est [FG] et le

côté adjacent est [EF].

Remplaçons GFEˆpar sa

valeur 35 et FG par 6

Résolution de l"équation où

EF est l"inconnue.

Calcul de °´35 cos 6 ;

6*35c= ou

6*c(35=

On obtient

4,914942266

Puis valeur approchée .

La rédaction

Dans le triangle MNP rectangle en M, nous avons :

NP

MN PNM cos=ˆ

NP

4 42 cos=°

4 42 cos P N=°´

°=42 cos

4 NP

Pour utiliser le cosinus, nous

devons utiliser un triangle rectangle.

L"hypoténuse est [NP] et le

côté adjacent est [MN].

Remplaçons P NMˆpar sa

valeur 35 et MN par 4

Résolution de l"équation où

NP est l"inconnue.

Attention NP est au

dénominateur

La rédaction

EI Q BT /R11 10.9369 Tf

0.99944 0 0 1 134.52 794.72 Tm

(Par suite :

5,38 NP»cm َÂwxoaeúØ3ïٟïçß¹Þ÷çç:½Ÿµv

EI Q BT /R16 11.9855 Tf

0.999449 0 0 1 28.32 682.52 Tm

Exemple 3 :

Soit ABC un triangle rectangle en B tel que AB= 4 (cm) et AC = 6 (cm) Quel est, au degré près, la mesure de l"angle

CABˆ ?

Calcul de°42 cos

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