[PDF] Analyse (2) : Séries numériques Les incontournables : 1

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Analyse (2) : Séries numériques

Les incontournables :

1. Convergence et somme des séries :?arctan1n

2+ 3n+ 3?3n-1sin3α3

n.D1-17 (a) - ?u nest une SATP (série à termes dansR+). -arctant≂t→0tdoncun≂1n

2+ 3n+ 3≂1n

2, ce qui est le TG (terme général) d"une série

de Riemann convergente.

Par thm de comparaison,?u

nest convergente.

Ou bien directement :

s n=n? k=0u ketuk= arctantanvk-tanvk-11 + tanvktanvk-1= arctan(tan(vk-vk-1))en notantk+2 = tanvk. k+ 2?R+donc on peut choisirvk?[0,π/2[et alorsvk-vk-1?]-π/2,π/2[(en fait ?[0,π/2[) doncuk=vk-vk-1. s nest une somme partielle télescopique :sn=vn-v-1= arctann+ 2-arctan1. (sn)a une limiteS=π/4donc?u nest convergente de sommeS. (b) ?|un|est une SATP. sint≂t→0tdoncun≂ 3n-1? α3 n?

3=O((19

)n)qui est le TG d"une série géométrique conver- gente.

Par thm de comparaison,?u

nest absolument convergente.

Ou bien directement :

s n=n? k=0u ketuk= 3k-1?14 (3sinα3 k-sin3α3 k)? =14

3ksinα3

k-3k-1sinα3 k-1)? s nest télescopique :sn=14

3nsinα3

n-3-1sinα3 -1)? sin α3 n≂α3 ndonc(sn)a une limiteS=14 (α-sin3α3 )donc?u nest convergente de sommeS.

2. Etudier

?nlnn(lnn)n??lnnn

3?1⎷nlnn?

1n(lnn)2.

Valeur approchée à10-2près de+∞?

n=21n(lnn)2. (a) ?u nest une SATP. lnun= (lnn)2-nlnlnn≂ -nlnlnndonc il existen0?Ntel quelnun-nlnlnn≥1/2si n≥n0. Soit un teln0. u

Par thm de comparaison,?u

nest convergente. (b) ?u nest une SATP. (lnn)3=o(n)doncun=o?1n 2? ce qui est le TG d"une série de Riemann convergente.

Par thm de comparaison,

?u nest convergente.(C"est une série de Bertrand?1n

α(lnn)β

avecα >1) (c)?u nest une SATP. lnn=o(n)donc1n =o(un)et1n est le TG d"une série de Riemann divergente.

Par thm de comparaison,

?u nest divergente.(C"est une série de Bertrand?1n

α(lnn)β

avecα <1) Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

Analyse (2) : Séries numériques

(d) ?u nest une SATP. n n-1φ=vn sin≥3ettn=n? k=3v k=? n 2

φ=1ln2

-1lnnest le TG d"une suite qui a une limite (1ln2 donc ?v nest une série convergente.

Par thm de comparaison,

?u nest convergente.(C"est une série de Bertrand?1n

α(lnn)β

avecα= 1etβ >1)

Pour toutn≥2,sn=n?

k=2u kest une valeur approchée de la sommeSetrn=+∞? k=n+1u k=S-sn. n très lente), alorsS=sn+ 0,01à0,01près.

3. Etudier la série

?arccos?2π arctann2? .d1-016 ?u nest une SATP.

Soitcn=2π

arctann2.limcn= 1donclimun= 0etun≂sinun=?1-c2n=?2 2 -arctann2. π2 -arctann2= arctan1n

2≂1n

2doncun≂?2

1n ce qui est le TG d"une série (harmonique) divergente.

Par thm de comparaison,?u

nest divergente.

4. Prouver que

?(-1)nlnnn est semi-convergente et donner une valeur approchée à10-3près de sa somme. ?u nest une série alternée. -t?→lntt estC1sur[1,+∞[de dérivéet?→1-lntt

2négative sur[3,+∞[donc(|un|)n≥3

décroit. -limun= 0. D"après le TSSA (thm des séries alternées),?u nest convergente.

Mais|un| ≥1n

sin≥3et1n est le TG d"une série divergente donc?|un|est divergente ie?u nest semi-convergente.

D"après le TSSA, sin≥3, alorsrn=+∞?

k=n+1u

à0,001près.

5. Etudier la série

??(n+1)π nπ e-⎷x sinxdx.d1-042 t?→x=nπ+testC1de[0,π]sur[nπ,(n+ 1)π]doncun= (-1)n? 0 e-⎷nπ+tsintdtest le

TG d"une série alternée.

|un|=? 0 e-⎷nπ+tsintdt≥? 0 e-⎷(n+1)π+tsintdt=|un+1|ie(|un|)est une suite décrois- sante. 0 e-⎷nπ dt=πe-⎷nπ donclimun= 0. Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

Analyse (2) : Séries numériques

D"après le TSSA,

?u nest une série convergente. e -⎷nπ =O(?1⎷nπ 3 ) =O(1n

3/2)donc la convergence est absolue.

6. Etudier la série de terme généralun=3?n

6+n4+n2-1-?n

4+an2+bn+ 1pour

(a,b)?R2.d1-066 3 ?n

6+n4+n2-1 =n2(1 +t)1/3oùt=1n

2+1n 4-1n

6≂1n

2.

On a donc

3?n

6+n4+n2-1 =n2(1 +13

t-19 t2+o(t2)) =n2+13 +29n2+o(1/n2).

De même,

?n

4+an2+bn+ 1 =n2+a2

+b2n+4-a8n2+o(1/n2)d"oùun=2-3a6 -b2n+O(1/n2).

Sia?= 2/3, alorsun≂2-3a6

donc(limun= 0)est faux :?u nest grossièrement divergente.

Sia= 2/3etb?= 0, alorsun≂-bn

donc?u nest à termes réels de signe constant pourn≥n0 et ?1n est divergente donc, par comparaison,?u nest divergente.

Sia= 2/3etb= 0, alors|un|=O(1/n2)donc?u

nest absolument convergente.

7. Etudier la série

?cos(π?n

2+n+ 2).d1-006

?n

2+n+ 2 =n(1+12n+78n2-716n3+o(1/n3))doncun= cos(nπ+π/2+t)oùt≂7π8ndonc

u n= (-1)n+1sint= (-1)n+1(t-t36 +o(1/n3)) = (-1)n+17π8n+O(1/n2). v n=-7π8 (-1)nn est le TG d"une série semi-convergente. w n=O(1/n2)est le TG d"une série absolument convergente.?u nest donc semi-convergente.

8. Prouver que le produit de Cauchy de 2 séries exponentielles est une série exponentielle.

Valeur approchée à10-5près deexp(1/3).

Soit?u

n=?xnn!,?v n=?ynn!et?w nleur produit de Cauchy. w n=n? k=0u kvn-k=n? k=0x kyn-kk!(n-k)!=1n!n k=0? n k? x kyn-k=(x+y)nn!ce qui est le TG d"une série exponentielle. exp(1/3) =sn+rnoùsn=n? k=0a ketrn=+∞? k=n+1a kavecak=13 kk!.

Sik≥n, alorsak=an13

k-n(n+ 1)k-n=α(3(n+ 1))koùα=an3n(n+1)n ne dépend pas dek, etbk=?13(n+ 1)? k est le TG d"une série géométrique convergente donc

13(n+1)?

n+11-13(n+1)=1(3n+ 2)3nn!.

9. Prouver que la suite(?

n? 11k -lnn)est convergente.(Sa limite s"appelle la "constante d"Euler")

Soitun=?

n? 11k

Alors?n≥1, un=n?

k=1a ket on étudie la série?a n. Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

Analyse (2) : Séries numériques

a n=1n + ln(1-1n ) =-12n2+o(1/n2) =O(1/n2)donc?a nest absolument convergente. La suite(un)a donc une limite.

10. Convergence et somme de la série de terme général

2n3-3n2+ 1(n+ 3)!.d1-106

P(n) = 2n3-3n2+1 =a(n+3)(n+2)(n+1)+b(n+3)(n+2)+c(n+3)+deta= 2,b=-15,c= 53,d=-80. u n=an!+b(n+ 1)!+c(n+ 2)!+d(n+ 3)!donc?u nest la somme de4séries convergentes. n=0u n=a+∞? n=01n!+b+∞? n=11n!+c+∞? n=21n!+d+∞? n=31n!=ae+b(e-1)+c(e-2)+d(e-5/2) = 109-40e.

11. On admet que

n=11n

2=π26

. Calculer+∞? n=01(2n+ 1)2et+∞? n=1(-1)nn 2. n k=01(2k+ 1)2=2n+1? k=11k 2-n? k=11(2k)2=s2n+1-14 snoù(sn)est la suite des sommes partielles de la série (convergente de sommeS=π26 )?1n

2donc+∞?

n=01(2n+ 1)2existe et vautS-14

S=π28

n k=1(-1)kk 2+n? k=11k 2= 2? s[n/2]doncn? k=1(-1)kk 2=12 s[n/2]-sndonc+∞? n=1(-1)nn 2 existe et vaut 12

S-S=-π212

.Pour aller plus loin :

12. Pourn≥2, on posean=(-1)n⎷n

, bn=(-1)n⎷n+ (-1)n, cn=(-1)n?n+ (-1)n; étudier les séries?aquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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