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Chapitre V Fonctions arcsin arccos

http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/L1/cours10.pdf



Exercices de mathématiques - Exo7

x ↦→ arctan(tanx). Correction ▽. [005084]. Exercice 2 ***IT. 1. Calculer arccosx+arcsinx pour 





Séries

est divergente et donc la série de terme général un diverge. 8. ln. ( 2 π arctan. (n2 +1 n. )).



Analyse (2) : Séries numériques Les incontournables : 1

uk et uk = arctan tan vk − tan vk−1. 1 + tan vk tan vk−1. = arctan(tan(vk−vk−1)) en notant k+2 = tan vk. k + 2 ∈ R+ donc on peut choisir vk ∈ [0 π/2[ et 



Sans titre Sans titre

1 + x x. = 1 on obtient que lim x→±∞ f(x) = arctan(1) = π. 4. – Calcul des limites en 0 : par composition on obtient : lim x→0− f(x) = − π. 2 lim x→0+ f 



TD 1 Intégrales généralisées TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 )1²)(1(t t dt. = ... = ln. ²1. 1 t t. +. +. + Arctan t. +∞. 0. = 2 π . Variante : le changement de variable t = x x. −1 donne le même résultat ...



AP 07 Calculus BC Form B Q2 AP 07 Calculus BC Form B Q2

arctan. 1 dx t dt t. = + and. (. ) 2 ln. 1 dy t dt. = + for. At time the object is 1 point in part (c) and 2 points in part (d). Correct work is presented in ...



Sia x > 0; risulta allora arctanx + arctan(1/x) = π/2

Dimostrazione. Osserviamo preliminarmente che come risulta dalla definizione della funzione ar- cotangente



UVSQ / L1 S2 LSMA202N Mathématiques générales 2 Feuille de

Chacune des fonctions 2شey ≠ 1 et 2 arctan. شey ≠ 1 est définie pour y > 0 mais n'est dérivable que pour y > 0. Cependant on peut vérifier que la fonction 



[PDF] Chapitre V Fonctions arcsin arccos arctan 1 Définitions 2 Propriétés

cours du mercredi 1/3/17 Chapitre V Fonctions arcsin arccos arctan 1 Définitions 1 1 arcsin Proposition 1 1 La fonction sin : [??/2 ?/2] ? [?11] 



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1 Le domaine de définition de arctan est R 2 y = arctan(x) (tan(y) = x et ? ? 2



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x ?? arctan(tanx) Correction ? [005084] Exercice 2 ***IT 1 Calculer arccosx+arcsinx pour 



[PDF] arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = ?

Page 1 = arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) ?



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Page 1 Somme d'arctangentes arctan(1) + arctan(2) + arctan (3) = ?



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cos : R ? [-11] n'est pas une bijection Mais cos : [0?] ? [-11] est continue et strictement décroissante Sur arctan(tan(x)) = x Vx ? ]-?



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La fonction Arctangente I Rappels sur la fonction tangente 1°) Définition sin tan cos x x x = tan x existe pour tout réel x qui n'est pas de la forme



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sn est une somme partielle télescopique : sn = vn ? v?1 = arctan n + 2 ? arctan 1 (sn) a une limite S = ?/4 donc ? un est convergente de somme S





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On note arccos : [?11] ? [0?] la fonction réciproque i e si ?1 ? x ? 1 alors y = arccosx ? cosy = x ET 0 ? x ? ? 1 3 arctan



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La courbe de la fonction « tangente » ressemble à un électrocardiogramme On vérifie le tracé sur la calculatrice graphique Page 2 II Généralités 1 



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Calculer arccosx+arcsinx pour x élément de [?11] 2 Calculer arctanx+arctan 1 x pour x réel non nul 3 Calculer cos(arctana) et sin(arctana) pour a réel 





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arctan est dérivable sur R et on a arctan(x)' = 1 1 + x2 IV Complément à la liste des primitives des fonctions usuelles: ? désignant une constante réelle 



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Le graphe de f?1 est le symétrique du graphe de f par rapport à la droite y = x III 2 Les fonctions arccos arcsin arctan (a) La fonction x ?? cosx induit 



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Trouvons une fonction réciproque de cos D'abord cos : R ? [-11] n'est pas une bijection Mais cos : [0?] ? [-11] est continue et strictement 



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] Ces trois fonctions vérifient les formules suivantes : arccos(x) + arcsin(x) = ? 2 arctan 



[PDF] Université de Provence

1 tan ( arctan(b) ) = cotan( arctan(b)) = tan (? 2 ? arctan(b)) Or a Soit la fonction f définie par f(x) = arctan ?1?sin x 1+sin x

  • Comment calculer arctan de 1 ?

    La valeur exacte de arctan(?1) est ??4 .

  • Quelle est la valeur exacte d'Arctan 1 ?

    Quelle est la valeur d'Arctan 1 ? La valeur de arctan 1 ou tan inverse 1 est égale à ?/4 radians ou 45 degrés .

  • Quel est la valeur de arctan ?

    La règle de la fonction arc tangente de base est f(x)=arctan(x). f ( x ) = arctan ? On note aussi cette fonction f(x)=tan?1(x). f ( x ) = tan ? 1 ?
  • La fonction arcsin est impaire. Elle est dérivable sur ]?1,1[ et sa dérivée est donnée par, pour tout x?]?1,1[, x ? ] ? 1 , 1 [ , (arcsin)?(x)=1?1?x2. ( arcsin ) ? ( x ) = 1 1 ? x 2 . Il faut faire attention au fait que la fonction arcsin est la réciproque de la restriction de sin à l'intervalle [??/2,?/2].
Exo7

Trigonométrie hyperbolique

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1***ITDomaine de définition et calcul des fonctions suivantes :

1.x7!sin(arcsinx),

2.x7!arcsin(sinx),

3.x7!cos(arccosx),

4.x7!arccos(cosx),

5.x7!tan(arctanx),

6.x7!arctan(tanx).

2.

Calculer arctan x+arctan1x

pourxréel non nul. 3. Calculer cos (arctana)et sin(arctana)pouraréel donné. 4. Calculer ,pour aetbréels tels queab6=1, arctana+arctanben fonction de arctana+b1ab(on étudiera d"abord cos(arctana+arctanb)et on distinguera les casab<1,ab>1 eta>0,ab>1 eta<0).

Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt.

1.f1(x) =arcsinxp1+x2

2.f2(x) =arccos1x21+x2

1

3.f3(x) =arcsinp1x2arctan

q1x1+x

4.f4(x) =arctan12x2arctanxx+1+arctanx1x

12 +arctan15 +arctan18

2+arctan22

2+:::+arctan2n

(Utiliser l"exercice 2 4)) f(x) = (x21)arctan12x1; et on appelle(C)sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1.

Quel est l"ensemble de définition Ddef?

2. Exprimer ,sur Dnf0g, la dérivée defsous la forme :f0(x) =2xg(x). 3. Montrer que : 8x2R;2x44x3+9x24x+1>0 et en déduire le tableau de variation deg. 4.

Dresser le tableau de v ariationde f.

2. En déduire la v aleurde un=20th(20x)+21th(21x)++2nth(2nx)pournentier naturel non nul etx réel non nul donnés puis calculer la limite de(un). 1. sin (2arcsinx), 2

2.cos (2arccosx),

3. sin

2arccosx2

4. ln (px

2+1+x)+ln(px

2+1x),

5. ar gsh x212x 6. ar gch(2x21), 7. ar gth qchx1chx+1 8. ch(lnx)+sh(lnx)x 1. ch x=2, 2. arcsin (2x) =arcsinx+arcsin(xp2), 3.

2 arcsinx=arcsin(2xp1x2).

Correction del"exer cice1 Narcsinxexiste si et seulement sixest dans[1;1]. Donc, sin(arcsinx)existe si et seulement sixest dans[1;1]

et pourxdans[1;1], sin(arcsinx) =x. arcsin(sinx)existe pour tout réelxmais ne vautxque sixest dansp2 ;p2 . • S"il existe un entier relatifktel quep2 +2kp6x6x2kp et donc arcsin(sinx) =arcsin(sin(x2kp)) =x2kp:

De plus, on ak6x2p+14

De plus,k6x2p14 arccos(cosx)existe pour tout réelxmais ne vautxque sixest dans[0;p]. • S"il existe un entier relatifktel

que 2kp6xPour tout réelx, tan(arctanx) =x. arctan(tanx)existe si et seulement sixn"est pas dansp2 +pZet pour cesx, il existe un entier relatifktel que p2 +kp.Correction del"exer cice2 N1.1ère solution. Posonsf(x) =arccosx+arcsinxpourxdans[1;1].fest définie et continue sur[1;1],

dérivable sur]1;1[. De plus, pourxdans]1;1[, f

0(x) =1p1x21p1x2=0:

Doncfest constante sur[1;1]et pourxdans[1;1],f(x) =f(0) =p2

8x2[1;1];arccosx+arcsinx=p2

:2ème solution. Il existe un unique réelqdans[0;p]tel quex=cosq, à savoirq=arccosx. Mais alors,

arccosx+arcsinx=q+arcsin sin(p2 q) =q+p2 q=p2 (car p2 qest dans[p2 ;p2

2.1ère solution. Pourxréel non nul, posonsf(x) =arctanx+arctan1x

.fest impaire.fest dérivable surRet pour tout réelxnon nul,f0(x) =11+x21x

211+1x

2=0.fest donc constante sur]¥;0[et sur

]0;+¥[(mais pas nécessairement surR). Donc, pourx>0,f(x) =f(1) =2arctan1=p2 , et puisquef est impaire, pourx<0,f(x) =f(x) =p2 . Donc,

8x2R;arctanx+arctan1x

p2 six>0 p2 six<0=p2 sgn(x):4

2èmesolutionPourxréelstrictementpositifdonné, ilexisteununiqueréelqdans0;p2

telquex=tanq

à savoirq=arctanx. Mais alors,

arctanx+arctan1x =q+arctan1tanq =q+arctan tan(p2 q) =q+p2 q=p2 (carqetp2 qsont éléments de0;p2 3. cos

2(arctana) =11+tan2(arctana)=11+a2. De plus , arctanaest dans]p2

;p2 [et donc cos(arctana)>0. On en déduit que pour tout réela, cos(arctana) =1p1+a2puis sin(arctana) =cos(arctana)tan(arctana) =ap1+a2:

8a2R;cos(arctana) =11+a2et sin(arctana) =ap1+a2:4.D"après 3),

cos(arctana+arctanb) =cos(arctana)cos(arctanb)sin(arctana)sin(arctanb) =1abp1+a2p1+b2;

ce qui montre déjà , puisqueab6=1, que cos(arctana+arctanb)6=0 et donc que tan(arctana+arctanb)

existe. On a immédiatement, tan(arctana+arctanb) =a+b1ab:

Maintenant, arctana+arctanbest dansp;p2

[p2 ;p2 [p2 ;p.

1er cas.Siab<1 alors cos(arctana+arctanb)>0 et donc arctana+arctanbest dansp2

;p2 . Dans ce cas, arctana+arctanb=arctana+b1ab.

2ème cas.Siab>1 alors cos(arctana+arctanb)<0 et donc arctana+arctanbest dansp;p2

[p2 ;p.

Si de plusa>0, arctana+arctanb>p2

et donc arctana+arctanbest dansp2 ;p. Dans ce cas, arctana+arctanbpest dansp2 ;p2 et a même tangente que arctana+b1ab. Donc, arctana+ arctanb=arctana+b1ab+p. Sia<0, on trouve de même arctana+arctanb=arctana+b1abp.

En résumé,

arctana+arctanb=8 >:arctan a+b1absiab<1 arctan a+b1ab+psiab>1 eta>0 arctan a+b1abpsiab>1 eta<0:Correction del"exer cice3 Nch(a+b) =chachb+shashbet ch(ab) =chachbshashb; sh(a+b) =shachb+chashbet sh(ab) =shachbshbcha th(a+b) =tha+thb1+thathbet th(ab) =thathb1thathb:5

Deux démonstrations :

chachb+shashb=14 ((ea+ea)(eb+eb)+(eaea)(ebeb)) =12 (ea+b+eab) =ch(a+b): th(a+b) =sh(a+b)ch(a+b)=shachb+shbchachachb+shashb=tha+thb1+thathb

après division du numérateur et du dénominateur par le nombre non nul chachb. En appliquant àa=b=x,

on obtient :

8x2R;ch(2x) =ch2x+sh2x=2ch2x1=2sh2x+1;sh(2x) =2shxchxet th(2x) =2thx1+th2x:En additionnant entre elles les formules d"addition, on obtient les formules de linéarisation :

chachb=12 (ch(a+b)+ch(ab));shashb=12 (ch(a+b)ch(ab))et shachb=12 (sh(a+b)+sh(ab)); et en particulier ch

2x=ch(2x)+12

et sh2x=ch(2x)12 :Correction del"exer cice4 NPourxréel, on posef(x) =Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt.

La fonctiont7!arcsinptest continue sur[0;1]. Donc, la fonctiony7!Ry

0arcsinpt dtest définie et dérivable

sur[0;1]. De plus,x7!sin2xest définie et dérivable surRà valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonction

x7!Rsin2x

0arcsinpt dtest définie et dérivable surR. De même, la fonctiont7!arccosptest continue sur[0;1].

Donc, la fonctiony7!Ry

0arccospt dtest définie et dérivable sur[0;1]. De plus, la fonctionx7!cos2xest

définie et dérivable surR, à valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonctionx7!Rcos2x

0arccospt dtest définie et

dérivable surR. Donc,fest définie et dérivable surRet, pour tout réelx, f

0(x) =2sinxcosxarcsin(psin

2x)2sinxcosxarccos(pcos

2x) On note alors quefestp-pérodique et paire. Pourxélément de[0;p2 ],f0(x) =2sinxcosx(xx) =0.fest donc constante sur[0;p2 ]et pourxélément de[0;p2 ],f(x) =fp4 =R1=2

0arcsinpt dt+R1=2

0arccosptdt=R1=2

0p2 dt=p4 . Mais alors, par parité etp-périodicité,

8x2R;Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt=p4

:Correction del"exer cice5 N1.1ère solution.Pour tout réelx,px

2+1>px

2=jxjet donc1

2+1<1. Ainsif1est définie et

dérivable surR, impaire, et pour tout réelx, f

01(x) =1px

2+112 x2x(x2+1)px 2+1 1q

1x21+x2=11+x2=arctan0(x):

Donc il existe une constante réelleCtelle que pour tout réelx,f1(x) =arctanx+C.x=0 fournitC=0 et donc, 6

8x2R;arcsinxpx

2+1 =arctanx:2ème solution.Pourxréel donné, posonsq=arctanx.qest dansp2 ;p2 etx=tanq. xpx

2+1=tanqp1+tan2q=pcos

2qtanq=cosqtanq(car cosq>0)

=sinq et donc f

1(x) =arcsin(sinq) =q(carqest dansi

p2 ;p2 h =arctanx:

2.1ère solution.Pour tout réelx,1<1+21+x2=1x21+x261+2=1 (avec égalité si et seulement si

x=0).f2est donc définie et continue surR, dérivable surR. Pour tout réelxnon nul, f

02(x) =2x(1+x2)2x(1x2)(1+x2)21r

11x21+x2

2=4x1+x21p4x2=2e1+x2

oùeest le signe dex. Donc il existe une constante réelleCtelle que pour tout réel positifx,f2(x) =

2arctanx+C(y comprisx=0 puisquefest continue en 0).

x=0 fournitC=0 et donc, pour tout réel positifx,f2(x) =2arctanx. Par parité,

8x2R;arccos1x21+x2

=2arctanjxj:2ème solution.Soitx2Rpuisq=arctanx.qest dansp2 ;p2 etx=tanq.

1x21+x2=1tan2q1+tan2q=cos2q(1tan2q) =cos2qsin2q=cos(2q):

Donc f

2(x) =arccos(cos(2q)) =2qsiq20;p2

2qsiq2p2

;0=2arctanxsix>0

2arctanxsix60=2arctanjxj:

3. La fonction x7!arcsinp1x2est définie et continue sur[1;1], dérivable sur[1;1]nf0gcar pourx

élément de[1;1], 1x2est élément de[0;1]et vaut 1 si et seulement sixvaut 0.1x1+xest défini et positif

si et seulement sixest dans]1;1], et nul si et seulement six=1.f3est donc définie et continue sur ]1;1], dérivable sur]1;0[[]0;1[. Pourxdans]1;0[[]0;1[, on noteele signe dexet on a : f

03(x) =xp1x21p1(1x2)(1+x)(1x)(1+x)212

q1x1+x11+1x1+x=ep1x2+12

1p1x2:

Sixest dans]0;1[,f03(x) =12

1p1x2= (12

arcsin)0(x). Donc, il existe un réelCtel que, pour toutxde [0;1](par continuité)f3(x) =12 arcsinx+C.x=1 fournitC=p4 . Donc, 7

8x2[0;1];f3(x) =p4

12 arcsinx=12 arccosx:Sixest dans]1;0[,f03(x) =32

1p1x2= (32

arcsin)0(x). Donc il existe un réelC0tel que, pour toutxde ]1;0](par continuité)f3(x) =32 arcsinx+C0.x=0 fournitp2 p4 =C0. Donc,

8x2]1;0];f3(x) =32

arcsinx+p4 :4.f4est dérivable surD=Rnf1;0get pourxélément deD, on a : f

04(x) =1x

311+14x4(x+1)x(x+1)211+x2(x+1)2+x(x1)x

211+(x1)2x

2 f

4est donc constante sur chacun des trois intervalles]¥;1[,]1;0[et]0;+¥[. Pourx>0,f(x) =

f(1) =0. Pour11f(t) =arctan12 (p2 )+arctan2=p2 +p2 =p. Pourx<1, f(x) =limt!¥f(t) =0 et donc

8x2Rnf1;0g;f4(x) =0 six2]¥;1[[]0;+¥[

psix2]1;0[:Correction del"exer cice6 N06arctan12 +arctan15 15 =79

Comme arctan

12 +arctan15

2[0;p2

[, on a donc arctan12 +arctan15 =arctan79 . De même, arctan79 +arctan18 2 [0;p2quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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