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COURBES ET SURFACESUNIVERSITÉPARIS-SUD

MATH2132018-2019Formulaire de trigonométrie

1. Fonctions circulaires

Les fonctions trigonométriques ditescirculairessont les fonctions cosinus et sinus usuelles ainsi que la

fonction tangente qui est, rappelons le, définie par tan(t)AEsin(t)/cos(t) pour toutt2Rtel que cos(t)6AE0.

1.1. Symmétries. -Rappelons tout d"abord les représentations graphiques des fonctions cosinus (en vert),

sinus (en rouge) et tangente (en bleu).Les fonctions cosinus et sinus vérifient de nombreuses relations. Les principales sont résumées ci-dessous :

• cos(¡x)AEcos(x) et sin(¡x)AE¡sin(x) • cos³¼2

¡x´

AEsin(x) et sin³¼2

¡x´

AEcos(x)

• cos³¼2

Åx´

AE¡sin(x) et sin³¼2

Åx´

AEcos(x)

• cos(¼Åx)AE¡cos(x) et sin(¼Åx)AE¡sin(x) • cos(¼¡x)AE¡cos(x) et sin(¼¡x)AEsin(x)

Ces formules peuvent être visualisées (et mémorisées) graphiquement, par exemple grâce à la figure suiv-

ante : Rappelons également la formule célèbre et utile suivante : pour toutt2R, cos

2(t)Åsin2(t)AE1.

1.2. Valeurs remarquables. -Il est en général impossible de calculer exactement le valeur d"un cosinus

ou d"un sinus. Il existe cependant quelques valeurs particulières qu"il est utile de connaître. Elles sont ici

résumées dans un tableau.t0¼/6¼/4¼/3¼/2¼ tan(t)01/ p31p3Å10

1.3. Formules d"addition. -Il est possible de calculer le cosinus ou le sinus d"une somme de deux angles

en fonction des valeurs des fonctions en chacun de ces angles. Plus précisément, on a • Cosinus : • Sinus : • Tangente : On en déduit en particulier les relations suivante : cos(2a)AEcos2(a)¡sin2(a) sin(2a)AE2sin(a)cos(a) tan(2a)AE2tan(a)1¡tan(a)2

2. Fonctions hyperboliques

2.1. Définition et propriétés élémentaires. -Les fonctions trigonométriques hyperboliques peuvent

être vues comme les valeurs des fonctions trigonométriques circulaires aux nombres imaginaires purs. Plus

explicitement, en voici la définition. Définition 2.1. -La fonctioncosinus hyperboliqueest la fonction cosh:R!Rdéfinie par cosh(x)AEexÅe¡x2 La fonctionsinus hyperboliqueest la fonction sinh:R!Rdéfinie par sinh(x)AEex¡e¡x2 La fonctiontangente hyperboliqueest la fonction tanh:R!Rdéfinie par tanh(x)AEsinh(x)cosh(x)AEex¡e¡xe xÅe¡x.

Les propriétés suivantes se démontrent facilement à partir des définitions précédentes :

• La fonction cosinus hyperbolique estpaireet pour toutt2R, cosh

0(t)AEsinh(t).

• La fonction cosinus hyperbolique estimpaireet pour toutt2R, sinh

0(t)AEcosh(t).

• La fonction tangente hyperbolique estimpaireet pour toutt2R, tanh

0(t)AE1¡tanh2(t)

AE 1cosh 2(t).

Voici les représentations graphiques de ces fonctions, de gauche à droite dans l"ordre de leur définition :2.2. Formules d"addition. -Les formules d"addition pour les fonctions trigonométriques hyperboliques

peuvent se déduire de celles pour les fonctions trigonométriques circulaires grâce à la méthode mnémotech-

nique suivante : il suffit de remplacer formellement cos par cosh et sin pari.sinh. Par exemple, on a pour tout

t2R cosh

2(t)¡sinh2(t)AE1.

Appliquée systématiquement, cette méthode donne les égalités suivantes : • Cosinus hyperbolique : • Sinus hyperbolique : • Tangente hyperbolique : On en déduit en particulier les relations suivante : cosh(2a)AEcosh2(a)Åsinh2(a) sinh(2a)AE2sinh(a)cosh(a) tanh(2a)AE2tanh(a)1Åtanh(a)2quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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