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Chapitre13 : Fonctions hyperboliques

C) Étude de la fonction ch (cosinus hyperbolique). ‚ On voit tout de suite qu'elle est paire et de classe c8 sur R. MPSI Mathématiques.



sh(x) = b) La fonction cosinus hyperbolique : ch(x)

1) a) La fonction sinus hyperbolique : sh(x) = ex ? e?x donc par somme de limites



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est une fonction PAIRE. Cette fonction est continue et définie sur et sa dérivée s'écrit : ( ). (. ) ( ). ' ch x sh x. = 5. La fonction sinus hyperbolique.



Chapitre III - Fonctions hyperboliques

On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ch : R ? Rx ?? chx = ex + e?x En ce qui concerne les limites



Outil Mathématiques 1

La fonction cosinus hyperbolique . La fonction tangente hyperbolique . ... position limite : c'est la tangente à Cf en A. La tangente a pour pente f (a) ...



Les fonctions de référence

10.1.2 Définition des fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique . Cette expression n'a pas de limite réelle quand x tend vers ?1 et donc f ...



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11 avr. 2020 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle ... On rencontre parfois la fonction cotangente hyperbolique qui est la.



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3.1.2 Définition de la limite . 4.8.3 Fonction Argument tangente hyperbolique . ... 5.2.1 Téchnique de calcul des développements limités .



Développements limités

Exercice 8. 1. Écrire les développements limités d'ordre 6 en 0 des fonctions sinus et cosinus hyperboliques. 2. Calculer en 



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La Tangente Hyperbolique (th). (?x ? R) th(x) = sh(x) ch(x). C'est une fonction impaire continue et dérivable sur R. Sa dérivée est donnée par.



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tan(0) = 0 cot(0) = ±? 3 Identité hyperbolique : ch2x ? sh2x = 1 4 Expression de shx et thx en fonction de chx et de chx et coth x en fonction de shx 



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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 A Fonctions exponentielle puissance et http://ginoux univ-tln 2 Limites : La fonction cosinus hyperbolique



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Pour tout réel x la tangente hyperbolique du réel x notée th(x) est le rapport de son cosinus hyper- bolique sur son sinus hyperbolique ?x ? R th(x) = sh 



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sh(x)=+? • Limite en ?? : lim x??? ex = 0 et lim



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On appelle sinus hyperbolique la fonction : On appelle tangente hyperbolique la fonction : th : Les limites en ±? de ces fonctions sont :



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21 sept 2011 · Fonctions hyperboliques et leurs réciproques • Formules de Taylor Développements Limités Réf bibliographique: Thuillier-Belloc 

  • Comment trouver la tangente hyperbolique ?

    La fonction tangente hyperbolique est la fonction tanh : R ? R définie par tanh(x) = sinh(x) cosh(x) = ex ? e?x ex + e?x .

  • Quelle est la dérivée de la tangente hyperbolique ?

    Sur son domaine de définition, tanh est holomorphe (donc continue et même infiniment dérivable), de dérivée égale à tanh est donc une solution de l'équation différentielle f '=1-f2 (qui est une équation de Riccati, dont la solution générale est x ? tanh(x+C)). Elle est périodique, de période i?.

  • Quel est la formule de ch ?

    cosinus hyperbolique : ch(x)=ex+e?x2.
  • En outre, on peut donner une expression exacte pour argsh , qui est argsh(x)=ln(x+?x2+1). ? La fonction ch est une bijection de R+ sur [1,+?[ . Sa réciproque est appelée argument cosinus hyperbolique et est notée argch .
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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4

A. Fonctions exponentielle, puissance et logarithme

1. La fonction exponentielle de base a (

0a) xLn ax f xyfxae

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : xLn a xLn axx a e Ln a e Ln a a

Cas particulier : l'exponentielle de base e

Propriétés

01

1 ; eee

x xLn e x Ln x xex 2 xyxy xyeee 2 ,, x xy y exy ee 1, nxnxx x neeee ux ux euxe http://ginoux.univ-tln.fr 2

Limites :

0

1lim 1

x x e x lim x x e lim 0 x x e lim ; x x e x

2. La fonction logarithme de Neper

:f xyfx Lnx

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit :

1'Ln x

x

Propriétés

10Ln 1Ln e x xLn e x Ln x xex 2 ,, xy Lnx y Lnx Lny 2 ,, xxyLnLnxLnyy n n Lnx n Lnx

01 , 0xLnx

http://ginoux.univ-tln.fr 3

Limites

lim x Ln x 0 lim x Ln x 1 lim 11 x Ln x x lim 0 ; x Ln x x 00

1lim lim 11

xx Ln xx xLnx 0 lim 0 ; 0 x xLnx

3. La fonction puissance

mLn xm f xyfxxe

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 1 mm xmx http://ginoux.univ-tln.fr 4

4. La fonction cosinus hyperbolique

2 xx f eexychx

La fonction

ychx est une fonction PAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'ch x sh x

5. La fonction sinus hyperbolique

2 xx f eexyshx

La fonction

yshx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'shx chx http://ginoux.univ-tln.fr 5

6. La fonction tangente hyperbolique

xx xx f sh xeexythxch x e e

La fonction

ythx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'th xch x

Relations importantes

22

1ch x sh x

x ch x sh x e x ch x sh x e 2 2

11th xch x

Lien hypertexte

: http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique http://ginoux.univ-tln.fr 6

B. Fonctions hyperboliques inverses

1. La fonction argsinus hyperbolique

2

1 y Argsh x Ln x x x sh y

Cette fonction continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argsh xx

2. La fonction argcosinus hyperbolique

2

1 y Argch x Ln x x x ch y

Cette fonction continue et définie sur

1, et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argch xx

3. La fonction argtangente hyperbolique

11 21xyArgthx Ln xthyx

Cette fonction continue et définie sur

1, 1 et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argth x

x http://ginoux.univ-tln.fr 7

T.D. N°3 FONCTIONS HYPERBOLIQUES

N°1

: Étudier le passage de la trigonométrie circulaire à la trigonométrie hyperbolique.

N°2

: Étudier les fonctions :

1, , , 1x

ch x sh x th x th x

N°3

: Démontrer que : 2 2tan2 1tan 2 x sin x x 2 22
1 2 x th sh x x th

N°4

: Démontrer que

Arctan sh x Arcsin th x

N°5

: Étudier la fonction 2 2 1 1x fx Argch x

N°6

: Démontrer que 11 21x

Argth x Ln

x

N°7

: Étudier la fonction

1fx Argth

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