Chapitre13 : Fonctions hyperboliques
C) Étude de la fonction ch (cosinus hyperbolique). ‚ On voit tout de suite qu'elle est paire et de classe c8 sur R. MPSI Mathématiques.
sh(x) = b) La fonction cosinus hyperbolique : ch(x)
1) a) La fonction sinus hyperbolique : sh(x) = ex ? e?x donc par somme de limites
Ch 4 FONCTIONS HYPERBOLIQUES.pdf
est une fonction PAIRE. Cette fonction est continue et définie sur et sa dérivée s'écrit : ( ). (. ) ( ). ' ch x sh x. = 5. La fonction sinus hyperbolique.
Chapitre III - Fonctions hyperboliques
On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ch : R ? Rx ?? chx = ex + e?x En ce qui concerne les limites
Outil Mathématiques 1
La fonction cosinus hyperbolique . La fonction tangente hyperbolique . ... position limite : c'est la tangente à Cf en A. La tangente a pour pente f (a) ...
Les fonctions de référence
10.1.2 Définition des fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique . Cette expression n'a pas de limite réelle quand x tend vers ?1 et donc f ...
Cours dAnalyse 1 Prof: Rachid Bahloul
11 avr. 2020 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle ... On rencontre parfois la fonction cotangente hyperbolique qui est la.
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3.1.2 Définition de la limite . 4.8.3 Fonction Argument tangente hyperbolique . ... 5.2.1 Téchnique de calcul des développements limités .
Développements limités
Exercice 8. 1. Écrire les développements limités d'ordre 6 en 0 des fonctions sinus et cosinus hyperboliques. 2. Calculer en
SMIA 1 ANALYSE 1 FONCTIONS REELLES : Limite Continuité et
La Tangente Hyperbolique (th). (?x ? R) th(x) = sh(x) ch(x). C'est une fonction impaire continue et dérivable sur R. Sa dérivée est donnée par.
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Moyen mnémotechnique à partir des formules de la trigonométrie circulaire : les signes qui précèdent un sinus carré ou un produit de deux sinus ou une tangente
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tan(0) = 0 cot(0) = ±? 3 Identité hyperbolique : ch2x ? sh2x = 1 4 Expression de shx et thx en fonction de chx et de chx et coth x en fonction de shx
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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 A Fonctions exponentielle puissance et http://ginoux univ-tln 2 Limites : La fonction cosinus hyperbolique
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Pour tout réel x la tangente hyperbolique du réel x notée th(x) est le rapport de son cosinus hyper- bolique sur son sinus hyperbolique ?x ? R th(x) = sh
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sh(x)=+? • Limite en ?? : lim x??? ex = 0 et lim
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2 10 Formules trigonométriques hyperboliques position limite : c'est la tangente à Cf en A La tangente a pour pente f (a) et passe par A et a donc
[PDF] Les Fonctions Hyperboliques - Page de Helkanen
On appelle sinus hyperbolique la fonction : On appelle tangente hyperbolique la fonction : th : Les limites en ±? de ces fonctions sont :
[PDF] Fonctions circulaires et hyperboliques inverses - Exo7
Fonctions circulaires et hyperboliques inverses et donner ses limites en ?? et +? Pour la seconde question vérifier que y = ln(tan(t
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21 sept 2011 · Fonctions hyperboliques et leurs réciproques • Formules de Taylor Développements Limités Réf bibliographique: Thuillier-Belloc
Comment trouver la tangente hyperbolique ?
La fonction tangente hyperbolique est la fonction tanh : R ? R définie par tanh(x) = sinh(x) cosh(x) = ex ? e?x ex + e?x .Quelle est la dérivée de la tangente hyperbolique ?
Sur son domaine de définition, tanh est holomorphe (donc continue et même infiniment dérivable), de dérivée égale à tanh est donc une solution de l'équation différentielle f '=1-f2 (qui est une équation de Riccati, dont la solution générale est x ? tanh(x+C)). Elle est périodique, de période i?.Quel est la formule de ch ?
cosinus hyperbolique : ch(x)=ex+e?x2.- En outre, on peut donner une expression exacte pour argsh , qui est argsh(x)=ln(x+?x2+1). ? La fonction ch est une bijection de R+ sur [1,+?[ . Sa réciproque est appelée argument cosinus hyperbolique et est notée argch .
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Cours d'Analyse 1
Prof : Rachid Bahloul
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1Les Suites2Limites des fonctions numeriques de la variable reelle3Fonctions Continues4Fonctions derivables5Fonctions hyperboliques6Developpements limites7Etude de courbes parametrees2/45
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Ch 1 : Les suites
Denition:
- Une suite est une applicationudeNdansR. - Pourn2N, on noteu(n) parunet on l'appelle n-eme terme ou terme general de la suite.Exemple1. (pn)n0est la suite de termes : 0;1;p2;p3;::::
2. (1)nest la suite de termes : +1, - 1, +1, - 1,...Suite majoree, minoree, bornee
Denition
Soit (un)n2Nune suite.
- (un)n2Nest majoree si9M2R:8n2NunM - (un)n2Nest minoree si9m2R:8n2Nunm - (un)n2Nest bornee si elle est majoree et minoree, ce qui revient a dire :9M2R:8n2Njunj M
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Ch 1 : Les suites
Denition:
- Une suite est une applicationudeNdansR. - Pourn2N, on noteu(n) parunet on l'appelle n-eme terme ou terme general de la suite.Exemple1. (pn)n0est la suite de termes : 0;1;p2;p3;::::
2. (1)nest la suite de termes : +1, - 1, +1, - 1,...Suite majoree, minoree, bornee
Denition
Soit (un)n2Nune suite.
- (un)n2Nest majoree si9M2R:8n2NunM - (un)n2Nest minoree si9m2R:8n2Nunm - (un)n2Nest bornee si elle est majoree et minoree, ce qui revient a dire :9M2R:8n2Njunj M
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Ch 1 : Les suites
Denition:
- Une suite est une applicationudeNdansR. - Pourn2N, on noteu(n) parunet on l'appelle n-eme terme ou terme general de la suite.Exemple1. (pn)n0est la suite de termes : 0;1;p2;p3;::::
2. (1)nest la suite de termes : +1, - 1, +1, - 1,...Suite majoree, minoree, bornee
Denition
Soit (un)n2Nune suite.
- (un)n2Nest majoree si9M2R:8n2NunM - (un)n2Nest minoree si9m2R:8n2Nunm - (un)n2Nest bornee si elle est majoree et minoree, ce qui revient a dire :9M2R:8n2Njunj M
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Denition :Soit (un)n2Nune suite.
- (un)n2Nest croissante si8n2N:un+1un. - (un)n2Nest decroissante si8n2N:un+1un - (un)n2Nest monotone si elle est croissante ou decroissante 3/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Limite nie, limite innie
Dedinition :Soit (un)n2Nune suite. La suite (un)n2Na pour limitel2Rsi : pour tout" >0, il existe un entier natureln0tel que sinn0alorsjunlj ":8" >09n02N(8n2N) (nn0) junlj< ")
On dit aussi que la suite (un)n2Ntend versl.
Dedinition :
1. La suite (un)n2Ntend vers +1et on note limn!+1un= +1
si :8A>09n02N(8n2N) (nn0)un>A)
2. La suite (un)n2Ntend vers1et on note limn!+1un=1
si :8A>09n02N(8n2N) (nn0)un 4/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition :Une suite (un)n2Nest convergente si elle admet une limite nie. Elle est divergente sinon (c'est-a-dire soit la suite tend vers1, soit elle n'admet pas de limite).Proposition :Si une suite est convergente, sa limite est unique.Proposition :Toute suite convergente est bornee.5/45
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Denition :Une suite (un)n2Nest convergente si elle admet une limite nie. Elle est divergente sinon (c'est-a-dire soit la suite tend vers1, soit elle n'admet pas de limite).Proposition :Si une suite est convergente, sa limite est unique.Proposition :Toute suite convergente est bornee.5/45
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Denition :Une suite (un)n2Nest convergente si elle admet une limite nie. Elle est divergente sinon (c'est-a-dire soit la suite tend vers1, soit elle n'admet pas de limite).Proposition :Si une suite est convergente, sa limite est unique.Proposition :Toute suite convergente est bornee.5/45
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Suites arithmitiques
Une suite (un)n2Nest une suitearithmetiques'il existe un nombre rtel que pour tout entiern, on a : u n+1un=r Le nombrerest appeleraisonde la suiteProposition: Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Alors Pour tout entier naturelnon a : u n=u0+nru n=up+ (np)r Proposition: Soient (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0etSn=u0+u1+u2+:::+un. Alors S n=n+12(u0+un)6/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites arithmitiques
Une suite (un)n2Nest une suitearithmetiques'il existe un nombre rtel que pour tout entiern, on a : u n+1un=r Le nombrerest appeleraisonde la suiteProposition: Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Alors Pour tout entier naturelnon a : u n=u0+nru n=up+ (np)r Proposition: Soient (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0etSn=u0+u1+u2+:::+un. Alors S n=n+12(u0+un)6/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites arithmitiques
Une suite (un)n2Nest une suitearithmetiques'il existe un nombre rtel que pour tout entiern, on a : u n+1un=r Le nombrerest appeleraisonde la suiteProposition: Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Alors Pour tout entier naturelnon a : u n=u0+nru n=up+ (np)r Proposition: Soient (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0etSn=u0+u1+u2+:::+un. Alors S n=n+12(u0+un)6/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites geometrique
Une suite (vn)n2Nest une suitegeometriques'il existe un nombre qtel que pour tout entiern, on a : v n+1=qvn Le nombreqest appele raison de la suiteProposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0. Alors Pour tout entier naturelnon a : v n=qnv0v n=qnpvp7/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites geometrique
Une suite (vn)n2Nest une suitegeometriques'il existe un nombre qtel que pour tout entiern, on a : v n+1=qvn Le nombreqest appele raison de la suiteProposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0. Alors Pour tout entier naturelnon a : v n=qnv0v n=qnpvp7/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites geometrique
Une suite (vn)n2Nest une suitegeometriques'il existe un nombre qtel que pour tout entiern, on a : v n+1=qvn Le nombreqest appele raison de la suiteProposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0. Alors Pour tout entier naturelnon a : v n=qnv0v n=qnpvp7/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0. Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0. Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0. Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Soient (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0etSn=v0+v1+v2+:::+vn. Alors S n=v01qn+11q Suites adjacentes:
denition: Soient (un)n2Net (vn)n2Ndeux suites. Elles sont adjacentes si elles verient les conditions suivantes : 1. L'une est croissante
2. L'autre est decroissante
3. lim
n!+1(unvn) = 0. 9/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Denition :Une suite (un)n2Nest convergente si elle admet une limite nie. Elle est divergente sinon (c'est-a-dire soit la suite tendvers1, soit elle n'admet pas de limite).Proposition :Si une suite est convergente, sa limite est unique.Proposition :Toute suite convergente est bornee.5/45
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Denition :Une suite (un)n2Nest convergente si elle admet une limite nie. Elle est divergente sinon (c'est-a-dire soit la suite tendvers1, soit elle n'admet pas de limite).Proposition :Si une suite est convergente, sa limite est unique.Proposition :Toute suite convergente est bornee.5/45
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Denition :Une suite (un)n2Nest convergente si elle admet une limite nie. Elle est divergente sinon (c'est-a-dire soit la suite tendvers1, soit elle n'admet pas de limite).Proposition :Si une suite est convergente, sa limite est unique.Proposition :Toute suite convergente est bornee.5/45
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Suites arithmitiques
Une suite (un)n2Nest une suitearithmetiques'il existe un nombre rtel que pour tout entiern, on a : u n+1un=r Le nombrerest appeleraisonde la suiteProposition: Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Alors Pour tout entier naturelnon a : u n=u0+nru n=up+ (np)r Proposition: Soient (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0etSn=u0+u1+u2+:::+un. Alors S n=n+12(u0+un)6/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites arithmitiques
Une suite (un)n2Nest une suitearithmetiques'il existe un nombre rtel que pour tout entiern, on a : u n+1un=r Le nombrerest appeleraisonde la suiteProposition: Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Alors Pour tout entier naturelnon a : u n=u0+nru n=up+ (np)r Proposition: Soient (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0etSn=u0+u1+u2+:::+un. Alors S n=n+12(u0+un)6/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites arithmitiques
Une suite (un)n2Nest une suitearithmetiques'il existe un nombre rtel que pour tout entiern, on a : u n+1un=r Le nombrerest appeleraisonde la suiteProposition: Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Alors Pour tout entier naturelnon a : u n=u0+nru n=up+ (np)r Proposition: Soient (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0etSn=u0+u1+u2+:::+un. Alors S n=n+12(u0+un)6/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
Les SuitesLim itesdes fonctions num eriquesde la va riabler eelleF onctionsContinues F onctionsd erivablesF onctionshyp erboliquesD eveloppementslimit esEtude de courb espa rametrees
Suites geometrique
Une suite (vn)n2Nest une suitegeometriques'il existe un nombre qtel que pour tout entiern, on a : v n+1=qvn Le nombreqest appele raison de la suiteProposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0. Alors Pour tout entier naturelnon a : v n=qnv0v n=qnpvp7/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites geometrique
Une suite (vn)n2Nest une suitegeometriques'il existe un nombre qtel que pour tout entiern, on a : v n+1=qvn Le nombreqest appele raison de la suiteProposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0. Alors Pour tout entier naturelnon a : v n=qnv0v n=qnpvp7/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Suites geometrique
Une suite (vn)n2Nest une suitegeometriques'il existe un nombre qtel que pour tout entiern, on a : v n+1=qvn Le nombreqest appele raison de la suiteProposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0. Alors Pour tout entier naturelnon a : v n=qnv0v n=qnpvp7/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0.Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0. Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0. Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Soient (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0etSn=v0+v1+v2+:::+vn. Alors S n=v01qn+11q Suites adjacentes:
denition: Soient (un)n2Net (vn)n2Ndeux suites. Elles sont adjacentes si elles verient les conditions suivantes : 1. L'une est croissante
2. L'autre est decroissante
3. lim
n!+1(unvn) = 0. 9/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0.Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0. Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
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Soient (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0etSn=v0+v1+v2+:::+vn. Alors S n=v01qn+11q Suites adjacentes:
denition: Soient (un)n2Net (vn)n2Ndeux suites. Elles sont adjacentes si elles verient les conditions suivantes : 1. L'une est croissante
2. L'autre est decroissante
3. lim
n!+1(unvn) = 0. 9/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Proposition: Soit (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier terme non nulv0.Pourv0>0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest croissante.
Si 0 Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0 0 v n+1vn=qn+1v0qnv0=qnv0(q1). Siq>1 alorsvn+1vn>0 et la suite (vn)n2Nest croissante. Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Soient (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0etSn=v0+v1+v2+:::+vn. Alors S n=v01qn+11q Suites adjacentes:
denition: Soient (un)n2Net (vn)n2Ndeux suites. Elles sont adjacentes si elles verient les conditions suivantes : 1. L'une est croissante
2. L'autre est decroissante
3. lim
n!+1(unvn) = 0. 9/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Pourv0<0
Si q>1 alors la suite (vn)n2Nest decroissante.
Si 0Siq<1 alorsvn+1vn<0 et la suite (vn)n2Nest decroissante.Exemple: La suite geometrique (vn)n2Ndenie parvn=3nest
decroissante car le premier terme est negatif et la raison est superieure a 1.8/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Soient (vn)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termev0etSn=v0+v1+v2+:::+vn. Alors S n=v01qn+11qSuites adjacentes:
denition: Soient (un)n2Net (vn)n2Ndeux suites. Elles sont adjacentes si elles verient les conditions suivantes :1. L'une est croissante
2. L'autre est decroissante
3. lim
n!+1(unvn) = 0. 9/45Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi:8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
8" >09 >08x2I[0 8" >09 >08x2I[0 et 11/45 Prof : R.Bahloul Cours d'Analyse 1 SMPC S1
Les SuitesLim itesdes fonctions num eriquesde la va riabler eelleF onctionsContinues F onctionsd erivablesF onctionshyp erboliquesD eveloppementslimit esEtude de courb espa rametrees
Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si:8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi: 8" >09 >08x2I[0 On note:
limx!x0f(x) =lDenition( Limite a droite) Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel1 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
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gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
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x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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Denition: Soitx02I(un intervalle deR).fadmet enx0la limitelsi:8" >09 >08x2I[0 On note:
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lim x!x+ 0f(x) =l1=f(x+0)10/45
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Denition( Limite a gauche)
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lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
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Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si:8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
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Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
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Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si:8" >09 >08x2I[0 On note:
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Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
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gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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On note:
lim x!x0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Les SuitesLim itesdes fonctions num eriquesde la va riabler eelleF onctionsContinues F onctionsd erivablesF onctionshyp erboliquesD eveloppementslimit esEtude de courb espa rametrees
Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
Donc par denition:
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Denition( Limite a gauche)
Soitx02I(un intervalle deR).fadmet a droite dex0la limitel2 si: 8" >09 >08x2I[0 On note:
lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
x 02Isi et seulement sifadmet une limite a droite et une limite a
gauche enx0et que ces deux limites sont egales al.Demonstration: Supposons quefadmet une limitelenx0.
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Denition( Limite a gauche)
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lim x!x 0f(x) =l2=f(x0)Theoreme: La fonctionfadmet une limitel2Ren un point
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