[PDF] Calcul de lintégrale de Fresnel





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16 sept. 2016 ramène au calcul d'une primitive c'est-à-dire d'une « antidérivée ». ... Les deux méthodes principales pour calculer intégrales et ...



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2ème méthode : Calcul par encadrement. La fonction logarithme est concave elle se trouve donc en dessous de sa tangente en 1



Calculs dintégrales et de primitives

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Calcul de lintégrale de Fresnel

Leçons où il peut être évoqué : 239 (Fonction définie par une intégrale). 1 Introduction. Il existe plusieurs méthodes pour calculer une intégrale. Le calcul de 



2.2 Quelques propriétés des intégrales définies

2.3 Primitives: calcul d'intégrales définies. Souvent dans la pratique



CALCUL INTÉGRAL - maths et tiques

Ce symbole fait penser à un "S" allongé et s'explique par le fait que l'intégral est égal à une aire calculée comme somme infinie d'autres aires Plus tard un second mathématicien allemand Bernhard Riemann(1826 ; 1866) établit une théorie aboutie du calcul intégral





Calculs d’intégrales - CNRS

— Calculs de primitives Exercice 2 Pour chaque intervalle I et chaque fonction f calculer toutes les primitives de f sur I (si possible)1 2 1 I = Rf(x)=xex2 f(x)dx = 1 2 ? ex2(x2)Õ dx =



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What is the formula for intègre?

On intègre utilisant les régles d’intégration (puissance) k hx3 3 + x3=2 3=2 i 1 0 k 1 3 + 1 3=2 k 1: 2 Solution de d) Z 3 2 (x+ 1) p x 2dx On pose u= x 2. k Alors x= u+ 2, dx= du.

What are the characteristics of an intégrale dé?nie?

Du point de vue pratique, l’intégrale dé?nie donne l’accummulation d’une certaine quantité pendant un certain intervalle [a;b], ou bien l’aire de la région sous le graphe d’une fonction. Avant de procéder avec des applications on va élaborer quelques dé?nitions et téchniques. 110 4.3.1 Dé?nitions et premiers résultats.

What are the integrals of trigonometric functions?

Integrals of Trigonometric Functions ?sin x dx = ? cosx +C ?cos x dx = sinx +C ?tan x dx = ln secx +C

Calcul de l"intégrale de Fresnel

Julie Parreaux

2018-2019

Référence du développement :Gourdon [1, p.342].Leçons où on présente le développement :236 (Calcul d"intégrale).

Leçons où il peut être évoqué :239 (Fonction définie par une intégrale).1 Introduction

Il existe plusieurs méthodes pour calculer une intégrale. Le calcul de l"intégrale de Fresnel permet

d"en appliquer quelques unes. En effet, on utilise, par exemple, la notion de fonction définie par une

intégrale, le théorème de Fubbini, le changement de variable en dimension deux.

2 Calcul de l"intégrale de Fresnel

Théorème.La valeur de l"intégrale de Fresnel définie parj=R+¥

0eix2dx, est ep/4pp

2 .1.Montr erque jexiste. 2.

Montr erque f(t)2=ip4

iR p4 0exp it2cos 2q dqoùf(t) =Rt

0eix2dx.

(a)

Calculer Fvia Fubini :F(t) =f(t)2.

(b) Calculer Fvia des coordonnées polaire :F(t) =ip4 iR p4 0exp it2cos 2q dq. 3.

Montr erque I(T) =1T

R T

0F(t)dtconverge lorsqueTtend vers+¥.

4. Donner la valeur de j.Schéma du développement

Démonstration.Notonsj=R+¥

0eix2dxl"intégrale de Fresnel. On posef(t) =Rt

0eix2dx.

Étape 1 : montrons quejexiste [1, p.146, rq.6]L"intégraleR+¥

0eix2dxconverge : par le changement

de variableu=x2,fest de même nature que l"intégraleR+¥

0eiuu1/2qui est une intégrale convergente

d"après la règle d"Abel.

Étape 2 : montrons quef(t)2=ip4

iR p4 0exp it2cos 2q dqPosonsF(t) =RR

0,t]2ei(x2+y2)dxdy, pour

toutt0. CalculonsFde deux manières différentes. 1

Étape a : calculonsFvia Fubini :F(t) =f(t)2

F(t) =RR

0,t]2ei(x2+y2)dxdy(Définition deF)

=RR

0,t]2eix2eiy2dxdy(Propriétés de l"exponentielle)

=R

0,t]eix2dxR

0,t]eiy2dy

(Par Fubini) =f(t)2(Définition def) Étape b : calculonsFvia un changement de coordonnées polaire :F(t) =ip4 iR p4 0exp it2cos 2q dq Symétrie du domaine et de l"intégrande par rapport à la dr oitex=y:

F(t) =2ZZ

D tei(x2+y2)dxdyoùDt=f(x,y)2R2j0xt,0yxg

Expr essionen coor donnéespolair es:

Opérande : x2+y2=eir2r.

Compact Dt:KT=f(r,q)2R[0,2p]j0rcosqtetq20,p4

g.

Calcul de l"intégrale :

F(t) =2RR

D tei(x2+y2)dxdy(Précédemment) =2RR K

Teir2rdrdq(Changement en coordonnées polaires)

=2R p4 0

Rtcosq0eir2rdr

dq(Théorème de Fubini) R p4 01i exp it2cos 2q 1 dq(Calcul de primitive) ip4 iR p4 0exp it2cos 2q dq(Calcul)

Étape 3 : montrons queI(T) =1T

R T

0F(t)dtconverge lorsqueTtend vers+¥PourT>0, on pose

I(T) =1T

R T

0F(t)dtet montrons queI(T)converge lorsqueTtend vers+¥. On a

I(T) =1T

R T

0F(t)dt(Définition deI(T))

1T R T 0 ip4 iR p4 0exp it2cos 2q dq dt(Définition deF(t), étape 2) 1T RT 0ip4 dtiRT 0 Rp4 0exp it2cos 2q dq dt (Linéarité de l"intégrale) 1T ip4 TiT R T 0 Rp4 0exp it2cos 2q dq dt(Calcul) ip4 iT R p4 0 RT 0exp it2cos 2q dt dq(Fubini) ip4 iT R p4 0

RTcosq0expiu2cosqdu

dq(Changement de variablesu=tcosqavec cosqconstante) ip4 iT R p4

0cosqfTcosq

dq(Définition def) Par convergence dej(étape 1),fest bornée. Donc1T R p4

0cosqfTcosq

dq!T!¥0. On en déduit que

I(T)!T!¥ip4

Étape 4 : donnons la valeur dej

-F(t) =f(t)2, donc8T>0,I(T) =1T R T

0f(t)2dt.

-t7!f(t)2converge versj2danst!¥. Par le théorème de la moyenne de Cesàro,I(T)converge versj2quandT!¥. 2 -On en déduit que j2=ip4 . On cherche à déterminer le signe de Imjpour déterminerj.

Imj=ImR+¥

0eix2dx(Définition dej)

=ImR+¥

0eiudu2

pu (Changement de variablesu=x2) =R+¥

0sinu2

pu du(Formule de Gauss)

å+¥n=0R

2(n+1)p

2npsinu2

pu du(Décomposition de l"intégrale)

å+¥n=0

R(2n+1)p

2npsinu2

pu du+R(2n+2)p (2n+1)psinu2 pu du (Décomposition de l"intégrale)

å+¥n=0

R(2n+1)p

2npsinu2

pu duR(2n+1)p

2npsinu2

pu+pdu (t=u+pet sin(u+p) =sinu)

å+¥n=0R

(2n+1)p

2npsinu2

1pu 1pu+p du(Linéarité de l"intégrale)

Donc Imj0 car8n2N,8u2[2np,(2n+1)p]on a sinu1pu

1pu+p

0(on a u+p>u

et par croissance dex7!pxet décroissance dex7!1x ,1pu

1pu+p0, de plus sinu0)et on

conclut grâce à la positivité de l"intégrale.

On en conclut quej=pp

2 eip4 .Références [1] X. Gour don.Analyse. Les maths en tête. Ellipses, 2008. 3quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33
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