Le factorisation des grands nombres
la décomposition des nombres de plus de 100 chiffres en facteurs premiers mais un calcul direct serait extrême- ... pour trouver un diviseur par la.
PGCD Théorème de Bézout Théorème de Gauss
entier naturel il s'agira de ses diviseurs positifs. 1 PGCD
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Saisir deux mots comparez-les pour trouver le « plus petit » et affichez le résultat. diviseurs propres sans répétition ainsi que leur nombre.
PGCD et Fractions
Quelles sont les méthodes pour trouver le PGCD de deux nombres entiers positifs ? 2. Méthode "à la main". On peut lister tous les diviseurs des deux nombres
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12 Diviseurs communs (2) On veut trouver les diviseurs communs à 30 et 45 • Écris tous les produits de deux entiers naturels dont le résultat est 30 :
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14 Parmi les nombres suivants trouver ceux qui sont à la fois des multiples de 3 et de 5 Vérifier que ce sont des multiples de 15 1) 4260 2) 525 3) 636 4)
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? (n) la somme de ses diviseurs positifs ou ?(n) le nombre de nombres premiers avec n et compris entre 1 et n Trouver tous les entiers n > 1 tels que :
Liste Des Diviseurs PDF Arithmétique - Scribd
Nombre Liste des Diviseurs Diviseur de 1 1 Diviseurs de 2 12 Diviseurs de 3 13 Diviseurs de 4 124 Diviseurs de 5 15 Diviseurs de 6 1236
Comment faire pour trouver tous les diviseurs d'un nombre ?
1. Pour trouver le nombre de diviseurs de tout nombre, on décompose le nombre donné en facteurs premiers ; puis on fait le produit du nombre de diviseurs de chaque facteur. Par exemple, 180 a 18 diviseurs. On décompose 180 ainsi : 22 × 32 × 5.Comment trouver les diviseurs d'un nombre avec la calculatrice Numworks ?
Nous allons utiliser une boucle for avec la ligne for i in range(1,n+1): . Le symbole % permet d'obtenir le reste de la division euclidienne d'un nombre par un autre. A l'aide des réponses précédentes, compléter le script suivant : from math import * def diviseurs(n): for i in range( , ): if n%i==0: print( )- Le multiple d'un nombre est le produit de ce nombre avec un nombre entier. Par exemple : 6?=48 donc 48 est un multiple de 6 et de 8. Si 48 est un multiple de 6 et de 8 alors 6 et 8 sont des diviseurs de 48. Cela signifie que le résultat de la division est un nombre entier, il n'y a pas de reste.
Théorème deBézout
Théorème deGauss
Christophe ROSSIGNOL
Année scolaire 2018/2019Table des matières
1 PGCD, Nombres premiers entre eux
21.1 PGCD de deux nombres entiers naturels
21.2 Algorithme d"Euclide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.3 Nombres premiers entre eux
42 Théorème de Bézout - Applications
42.1 Le théorème deBézout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
2.2 Détermination pratique
52.3 Une nouvelle caractérisation du PGCD
53 Théorème de Gauss - Applications
53.1 Le théorème deGauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
3.2 Un corollaire important
63.3 Résolution d"équations diophantiennes
6Liste des algorithmes
1 Algorithme d"Euclide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Table des figures?
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11 PGCD, NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
Activité :Problème 1 page 401et problème 2 page 412[TransMath]Dans tout ce chapitre, on n"utilisera que des
nom bresen tiersnaturels . Lorsque l"on parlera de diviseurs d"un entier naturel, il s"agira de ses diviseurs p ositifs1 PGCD, Nombres premiers entre eux
1.1 PGCD de deux nombres entiers naturelsDéfinitions :Soientaetbdeux entiers naturels non nuls.
1. L" ensemble des diviseurs deaest notéD(a). 2. L"ensemble des diviseurs communs àaetbest notéD(a;b).Exemple :D(12) ={1; 2; 3; 4; 6; 12}etD(63) ={1; 3;7; 9; 21; 63}.
On a doncD(12; 63) ={1; 3}.
Remarques :
1. De la dé finitiondéc ouledirec tementque D(a;b) =D(a)∩ D(b). 2.L"ensem bleD(a;b)est non vide (il contient toujours 1) et tous ces éléments sont plus petits quea
etb. Si l"on admet que toute partie deNnon vide et majorée admet un plus grand élément, on peut
en déduire la définition suivante :Définition :Soientaetbdeux entiers naturels non nuls. Le plu sgrand di viseurcomm un de aetbest notéPGCD (a;b). Il s"agit duplus grand élémen tdeD(a;b).Exemple :On a donc PGCD(12; 63) = 3.Propriété 1 :Soientaetbdeux entiers naturels non nuls.
SibdiviseaalorsD(a;b) =D(b).
On a donc
PGCD (a;b)=b.Démonstration :
Sibest un diviseur dea, tout diviseur debest un diviseur dea. On a doncD(b)? D(a).Par suiteD(a;b) =D(a)∩ D(b) =D(b).
Le PGCD deaet debest donc le plus grand élément deD(b), c"est-à-dire le plus grand diviseur de
b. C"est donc bienb.Propriété 2 :Soientaetbdeux entiers naturels non nuls. Si la division euclidienne deaparbs"écrita=bq+ravec0< r < balorsD(a;b)=D(b;r).On a donc
PGCD (a;b)=PGCD(b;r).Démonstration :
Siddiviseaetbalorsddivise toute combinaison linéaire deaetb. Doncddivisea-bq, c"est-à-direddiviser.
dest donc un diviseur commun debetr. On a doncD(a;b)? D(b;r). Siddivisebetralorsddivise toute combinaison linéaire debetr. Doncddivisebq+r, c"est-à-direddivisea.
dest donc un diviseur commun deaetb. On a doncD(b;r)? D(a;b).1. Un rangement optimal.2. Dimensions mystères.
21 PGCD, NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX 1.2 Algorithme d"Euclide1.2 Algorithme d"Euclide
L"algorithme d"Euclide consiste à effectuer les divisions euclidiennes successives des diviseurs et des restes en
en suivant ces étapes :La suite(rn)obtenu est une suite strictement décroissante d"entiers naturels. Il existe donc une étapenoù
r n= 0.Or, d"après la propriété 2, on a :
D(a;b) =D(b;r1) =D(r1;r2) =···=D(rn-2;rn-1) De plus, commern= 0, on arn-2=rn-1qn+ 0doncrn-1divisern-2. D"après la propriété 1, on alorsD(rn-2;rn-1) =D(rn-1).
On a doncD(a;b) =D(rn-1). Le PGCD deaetbest doncrn-1,c"est-à-dire le dern ierreste non n ul.On trouvera dans l"algorithme
1 une écriture de l"algorithme d" Euclide.Algorithme 1Algorithme d"EuclideVariables a, b, r : nombres entiers naturelsAlgorithme
Saisir a, b
r prend la valeur 1Tant que r?=0 faire :
r prend la valeur du reste de la division euclidienne de a par b a prend la valeur b b prend la valeur rFin Tantque
Afficher aExemple :On veut déterminer le PGCD de 168 et 204. (1) 204 =168 ×1 +36
(2) 16836 ×4 +24
(3) 3624 ×1 + 12
(4) 24= 2 ×12 + 0
Donc PGCD(168; 204) = 12.
Conséquences :
1. On déduit de l"algori thmed" EuclidequeD(a;b) =D(PGCD(a;b)).C"est-à-dire que
l"ensem bledes diviseurs comm unsd eaetbest exactement l"ensemble des diviseurs de leur PGCD. 2.A utrementd it:
tout diviseur de aet debest un diviseur dePGCD (a;b). 3. On p eutremarquer qu"en m ultiplianttoutes les lign esde l"algorithme d" Euclidepar un entierk, cela reste un algorithme d"Euclidepour les nombreskaetkb, dont le résultat serakrn-1. On peut donc en déduire que, sikentier naturel non nul,PGCD (ka;kb) =k×PGCD(a;b). 31.3 Nombres premiers entre eux 2 THÉORÈME DEBÉZOUT- APPLICATIONSExercices :4, 5 page 45 et 53, 56, 58 page 653- 3 page 45 et 57 page 654-1, 2 page 44 et 61, 63 page
655- 67 page 656- 59 page 657[TransMath]
1.3 Nombres premiers entre euxDéfinition :Soientaetbdeux entiers naturels non nuls.
On dit queaetbsontpremiers en treeux si et seul ementsi leur PGCD est égal à 1 .Remarque :cela signifie qu"ils n"ont aucun diviseur commun différent de 1.Propriété :Soientaetbdeux entiers naturels non nuls.
dest le PGCD deaetbsi et seulement si il existe deux entiers naturelsa?etb?premiers entre eux tels quea=da?etb=db?.Démonstration : Sidest le PGCD deaetbalorsdest un diviseur commun deaetb. Donc on aa=da?etb=db?.Montrons quea?etb?sont premiers entre eux.
Soitd?un diviseur dea?etb?. On a donca?=d?a1etb?=d?b1. Par suitea=dd?a1etb=dd?b1.Doncdd?est un diviseur commun de deaetb.
Commedest le PGCD deaetb, on ad?= 1. Donca?etb?sont premiers entre eux.Sia=da?etb=db?aveca?etb?premiers entre eux, alors
PGCD(a;b) =PGCD(da?;db?) =dPGCD(a?;b?) =d×1 =d
Exercices :7, 9, 10 page 468- 12, 13, 14, 15 page 479[TransMath]2 Théorème de Bézout - Applications
2.1 Le théorème de BézoutThéorème de Bézout :Soientaetbdeux entiers naturels non nuls.
aetbsont premiers entre euxsi et seulemen tsi il existe deux en tiersrelatifs uetvtels queau+bv= 1.Remarque :on admettra pour cette démonstration que toute partie non vide deNadmet un plus petit
élément.
Démonstration :
Siau+bv= 1: sidest un diviseur commun deaetb, alorsddiviseau+bv= 1. doncd= 1etaetbsont premiers entre eux. Siaetbsont premiers entre eux : On noteEl"ensemble des nombres entiers naturels non nuls pouvant s"écrire sous la formeau+bv, avecu?Zetv?Z. Commea? E(en prenantu= 1etv= 0),Eest une partie non vide deN. Notonsm=au1+bv1 son plus petit élément. r=a-mq =a-q(au1+bv1) =a-aqu1+bv1 =a(1-qu1) +bv13. Détermination du PGCD par l"algorithme d"Euclide4. Restes connus.
5. Avec des congruences.
6. Disjonction des cas.
7. Un autre algorithme d"Euclide.
8. Caractérisation du PGCD.
9. Détermination de PGCD.
43 THÉORÈME DEGAUSS- APPLICATIONS 2.2 Détermination pratiqueDonc, sir?= 0,r? E. Ce qui est impossible carmest le plus petit élément deEetr < m.
Par suite,r= 0et doncmdivisea.
Par un raisonnement analogue, on obtient quemdiviseb. Comme on a supposé queaetbsont premiers entre eux, on a doncm= 1, c"est-à-direau1+bv1= 1. Exercices :16, 18, 19, 20, 21 page 52 et 75 page 6610[TransMath]Module :Problème 3 page 4811[TransMath]
2.2 Détermination pratique des coefficients de l"identité de Bézout
Il suffit d"utiliser l"algorithme d"Euclide pour déterminer les coefficients de Bézout. Les nombresa= 89etb= 41sont premiers entre eux. En utilisant l"algorithme d"Euclide, on obtient : (1) 89 =41 ×2 +7 donc7= 89 -41×2 =a-2b
(2) 417 ×5 +6 donc6= 41 -7×5 =b-5(a-2b) =b-5a+ 10b=-5a+ 11b
(3) 76 ×1 + 1donc1 = 7-6 =a-2b-(-5a+ 11b) =a-2b+ 5a-11b= 6a-13b
On a donc montré que6a+ (-3)b= 1. Donc les coefficientsu= 6etb=-3sont des coefficients de l"identité
deBézout.Exercices :71, 74 page 6612[TransMath]
Module :Problème 4 page 4913[TransMath]
2.3 Une nouvelle caractérisation du PGCDPropriété (admise) :Soientaetbdeux entiers naturels non nuls.
dest le PGCD deaetbsi et seulement sidest un diviseur communaetbet il existede uxen tiers relatifsuetvtels queau+bv=d.Exercices :22, 23 page 5314[TransMath]3 Théorème de Gauss - Applications
3.1 Le théorème de GaussThéorème de Gauss :Soienta,betctrois entiers naturels non nuls.
Siadivise le produitbcetsi aest premier avecbalorsadivisec.Démonstration : commeaetbsont premiers entre eux, il existeu,v ?Ztels queau+bv= 1.On a donc(ac)u+ (bc)v=c.
Oradiviseacetbcdoncadivisec.
Remarque :Cela revient à dire que si un entier divise un produit de deux facteurs et est premier avec l"un
des deux facteurs, alors il divise l"autre. Exercices :26, 27, 28, 29 page 5715[TransMath]10. Utilisation du théorème deBézout.11. Arithmétique et cryptographie.
12. Détermination des coefficients deBézout.
13. Déterminer les coefficients de l"identité deBézout.
14. Nouvelle caractérisation du PGCD.
15. Utilisation du théorème deGauss.
53.2 Un corollaire important 3 THÉORÈME DEGAUSS- APPLICATIONS3.2 Un corollaire important
Théorème :Soienta,betntrois entiers naturels non nuls, avecaetbpremiers entre eux. Sinest divisible paraetbalorsnest divisible par le produitab.Démonstration :On an=aqetn=bq?doncaq=bq?.
bdivise le produitaqetaetbpremiers entre eux, donc, d"après le théorème deGauss,bdiviseq.On a doncq=bq??etn=aq=abq??doncabdivisen.
Remarques :
1.Ainsi, par exemple, p ourmon trerqu"un nom breet divisible par 6, il suffit de montrer qu"il est divisible
par 2 et par 3. 2.A ttention!
L"h ypothèse" aetbpremiers entre eux » est essentielle : 12 est divisible par 4 et par 6, mais n"est pas divisible par 24. Exercices :30, 31, 32, 34, 35 page 5816et 83, 86 page 66[TransMath]3.3 Résolution d"équations diophantiennes
Une équation diophantienne est une équation de la forme : ax+by=c oùa,betcsont des entiers relatifs et où les inconnuesxetysont aussi des entiers relatifs. Exemple :On veut résoudre l"équation dansZl"équation5x-3y= 71.On cherche une solution particulière de l"équation.
Ici, il y a une solution évidente, le couple(2; 1)car5×2-3×1 = 7.2.On cherche la solution générale de l"équationen soustrayant termes à termes l"équation et l"égalité
de la solution particulière. On a?5x-3y= 7
5×2-3×1 = 7.
En soustrayant les deux égalités, on obtient :5(x-2)-3(y-1) = 0, c"est-à-dire5(x-2) = 3(y-1).
3.On trouve le forme des solution en utilisant le théorème deGauss.
3divise5(x-2), et comme3et5sont premiers entres eux, d"après le théorème deGauss, 3 divise
x-2. On a doncx-2 = 3k, aveck?Z, c"est-à-direx= 2 + 3k, aveck?Z. En remplaçant dans l"égalité précédente, on obtient :3(y-1) = 5(x-2)
3(y-1) = 5(2 + 5k-2)
3(y-1) = 15k
y-1 = 5k y= 1 + 5kLes solutions sont donc de la forme
x= 2 + 3k y= 1 + 5k, aveck?Z.4.Réciproquement, on vérifie que ces solutions vérifient toujours l"équation.
Si? x= 2 + 3k y= 1 + 5k, aveck?Zalors :5x-3y= 5(2 + 3k)-3(1 + 5k)
= 10 + 15k-3-15k= 716. Utilisation du corollaire du théorème deGauss. 6RÉFÉRENCESRÉFÉRENCESRemarque :Dans certains cas, pour trouver une solution particulière, on peut être amené à déterminer
des coefficients deBézout. Exercices :8 page 66; 96 page 67; 97, 98, 100 page 6817-41 page 6018[TransMath] Exercices de synthèse :110, 111, 112 page 71; 119, 120 page 72 et 121, 124 page 7319[TransMath]Références
[TransMath] T ransMATHT ermS Sp écialité,programme 2012 ( Nathan) 2 4 5 67 17. Équations diophantiennes.
18. Thèoréme des restes chinois.
19. Type BAC.
7quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] chercher tous les diviseurs de 48
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