2. Continuité des fonctions
« Une fonction f est continue sur un intervalle si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon d'un bout à l'autre de l'intervalle. » Continuité sur un.
Continuité sur un intervalle.
E(x)=0n'existe pas donc la fonction partie entière n'est pas continue en p . 1.3. Continuité sur un intervalle. Définition : Soit f une fonction définie sur un
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 Définition 1 : Dire qu'une fonction f a pour limite ? en a signifie que tout intervalle ouvert contenant ? contient.
CONTINUITÉ
La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle 2;3. ???? et elle change de signe. Donc d'après le théorème des valeurs
Continuité sur un intervalle
Continuité sur un intervalle. Rappels sur la dérivation f est une fonction dérivable en a de I. Dans un repère la tangente à la courbe représentative A de
Limites et continuité
Figure 2 – Graphe de la fonction partie entière x ?? ?x?. Théorème 5. Soient a un réel f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert. I contenant
Continuité sur un intervalle Exercices
Continuité sur un intervalle. Exercices. Lycée Carnot E1A. 1. Soient a
Continuité et monotonie sur un intervalle
Propriété 2. Soient u : I ? J et v : I ? R des fonctions définies sur des intervalles I et J respectivement. Si la fonction u est continue sur I et si la
Fonctions continues et uniformement continues
Définition de la continuité uniforme sur un intervalle. Exercice : si ƒ est u-continue Théorème Caractérisation de la continuité par les suites.
Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Soit I un intervalle de R et soit f : I ? R une fonction continue strictement monotone. Alors : (1) L'ensemble J := f(I) est un intervalle
[PDF] Continuité sur un intervalle
Continuité sur un intervalle Rappels sur la dérivation • a et a + h désignent deux nombres réels de I avec h ? 0 Dire que f est dérivable en a signifie
[PDF] Continuité sur un intervalle - Meilleur En Maths
Définition : Soit f une fonction définie sur un ensemble Df et soit a un réel appartenant à Df On dit que f est continue en a lorsque lim
[PDF] CONTINUITÉ DES FONCTIONS - maths et tiques
Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon Méthode : Reconnaître
[PDF] 2 Continuité des fonctions - Apprendre-en-lignenet
On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle Aux extrémités de l'intervalle il faut comprendre
[PDF] Continuité dune fonction Théorème des valeurs intermédiaires
Les fonctions polynômes rationnelles valeur absolue racine carrée ainsi que les fonctions trigonométriques sont continues sur tout intervalle sur lequel
Continuité sur un intervalle
Si une fonction continue sur un intervalle prend des valeurs positives et des valeurs négatives alors elle s'annule sur cet intervalle $ \bullet$: L'image par
[PDF] Continuité et monotonie sur un intervalle - CPGE Brizeux
On dit que f est continue sur I si f est continue en chaque point de son intervalle de définition I Remarque : Soit I un intervalle non vide On note C 0(I R)
[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Soit I un intervalle de R et soit f : I ? R une fonction continue strictement monotone Alors : (1) L'ensemble J := f(I) est un intervalle dont les bornes
[PDF] LIMITE ET CONTINUITE - AlloSchool
III) OPERATIONS SUR LES FONCTIONS CONTINUES 1) Continuité sur un intervalle Définition : Soit une fonction dont le domaine de définition est
[PDF] Continuité - AlloSchool
L'image d'un intervalle par une fonction continue: • L'image d'un segment par une fonction continue est un segment • L'image d'un intervalle par une
Comment montrer la continuité d'une fonction sur un intervalle ?
Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon". Propriétés : 1) Les fonctions x xn (n ?N ) et plus généralement les fonctions polynômes sont continues sur R .C'est quoi une fonction continue sur un intervalle ?
Définition : Continuité d'une fonction en un point
Soit �� ? ? . On dit qu'une fonction à valeur réelle �� ( �� ) est continue en �� = �� si l i m ? ? ? �� ( �� ) = �� ( �� ) .Comment déterminer la continuité ?
La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point. Si F est séparé (ou même seulement T1) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.
Continuité sur un intervalle
Exercices
Lycée Carnot, E1A
1.Soien ta,bdeux réels tels quea < b, et soitfune fonction continue sur[a,b], croissante sur]a;b[.
(a) Soien tx,yréels tels quea < x < y < b. Par passages à la limite, justifiez que : f(a)6f(y)etf(x)6f(b),puis quef(a)6f(b). (b)En déduire que fest croissante sur[a,b].
(c) Mon trerd emême que si fcroît strictement sur]a;b[, alors elle croît strictement sur[a,b].Théorème des valeurs intermédiaires
2.Soit Pun polynôme de degrénimpair.
(a) Déterminer les limites de Pen+∞et en-∞. (b) En déduire que Padmet au moins une racine réelle. (c) Plus généralemen t,mon trerque Pest surjective deRdansR.3.Mon trerque les équations s uivanteson tau moins une solution :
(a)lnx=x2-5x+ 2d"inconnuexdans[1,10]. (b)x2019-x2018=-1d"inconnuexdans[-1,1]. (c)xn+ 9x2-4 = 0d"inconnuexdansR?+(nest un entier positif). (d)xlnx= 2d"inconnuexdans[2,3].4.Soit f:I→Rune fonction continue sur un intervalleI.
On suppose que :?x?I,|f(x)|= 2019. Montrer quefest constante.5.Soit f:I→Rune fonction continue sur un intervalleI.
On suppose quef(I)?Z. Montrer quefest constante.
6.Soit fune fonction continue définie sur[0,1]et à valeurs dans[0,1].
Montrer quefadmet un point fixe :?x0?[0,1], f(x0) =x0.7.Soit f: [0,1]→Rune fonction continue telle quef(0) =f(1).
Montrer qu"il existe(x,y)?[0,1]2tels que|x-y|=12
etf(x) =f(y).8.Soit f,g: [0,1]→Rdeux fonctions continues telles que :
f(0) =g(1) = 0etf(1) =g(0) = 1Montrer que :?λ>0,?x0?[0,1], f(x0) =λg(x0).
(on pourra considérer la fonctionh:x?→f(x)-λg(x))Continuité sur un segment
9.Soit f:R→Rune fonction continue surR.
On suppose quefadmet une limite finie en+∞et une limite finie en-∞.Montrer quefest bornée dansR.
10.Soit f:R→Rune fonction continue surRtelle quelimx→-∞f(x) = 0,limx→+∞f(x) = 0etf(0) = 1.
Montrer quefest bornée et admet un maximum. Admet-elle nécessairement un minimum?11.Soit f: [0,1]→Rune fonction continue qui ne s"annule pas.
Montrer qu"il existem >0tel que pour toutx?[0,1],|f(x)|>m.Théorème de la bijection
12.On considère la fonction f:x?→ -2 +x-lnx.
(a)F airel"étude de la fonction f.
(b) Mon trerqu el"équation f(x) = 0admet une unique solution sur[1,+∞[.13.On considère la fonction f:x?→?
?xlnxx-1six?= 11six= 1
Montrer quefréalise une bijection de son domaineDf(à déterminer!) sur lui-même.On démon-
trera avec soin quefest continue surDf.14.On considère la fonction f:x?→(x+ 1)ln(x+ 1)x
(a)Déterminer l"ensem blede définition Dfdef.
(b) Calculer f?(x)pourx? Dfpuis déterminer son signe. Pour ce faire, on pourra étudier la fonction auxiliaireg:x?→x-ln(x+1)définie pourx >-1. (c)Mon trerque fpeut être prolongée par continuité à[-1,+∞[et dresser son tableau de varia-
tion. (d) Démon trerqu"il existe un unique α?[-1,+∞[tel quef(α) = 2. (e)Mon trerqu e: 3< α <4.
On pourra utiliser le fait que :ln2≈0,69etln5≈1,61.Suites définies implicitement
15.P ourtout n?N?et toutx?R+, on note :fn(x) =xn+xn-1+...+x-1.
(a)Dresser le tableau de v ariationde fnsurR+.
(b) Mon trerqu"il existe un unique unpositif tel quefn(un) = 0. (c)Calculer u1.
(d)Mon trerque : ?n?N,?x?R+, fn+1(x)> fn(x).
(e) En dédu irele signe de unet montrer que :?n?N, un+1< un. (f)Mon trerque la suite (un)est convergente.
(g)Mon trerque : ?x?R+\ {1}, fn(x) =2x-xn+1-11-x.
(h)En déduire que : 2un-1 =un+1n.
(i) Démon trerque (un+1n)converge vers0et en déduire la limite de(un).16.P ourtout n?N?, on définit la fonctionfnpar :?x?R, fn(x) =11 +ex+nx
(a) Déterminer, p ourtout réel x, f?n(x)etf??n(x). (b) En déduire que la f onctionfnest strictement croissante surR. (c)Calculer les l imitesde fnquandx→+∞etx→ -∞. (d) Mon trerque l"équation fn(x) = 0possède une seule solution surR.On noterauncette solution.
(e)Mon trerqu "ona : ?n?N?,-1n
< un<0. (f)En déduire la limite de la suite (un).
(g) En rev enantà la définition de un, montrer que :nun→ -12Théorème de la limite monotone
17.Soit f:R→Rune fonction continue et décroissante surR. On souhaite démontrer qu"il existe un
unique réelctel quef(c) =c(on dit quecest un point fixe). Pour ce faire, on considère la fonction
g:x?→f(x)-x. (a) Démon trerqu e: limx→-∞g(x) = +∞etlimx→+∞g(x) =-∞. (b)En déduire que fadmet un point fixe.
(c) En pro cédantpar l"absurde, d émontrerque ce p ointfixe est unique.18.P osonsI= ]0,1[. Soitf:I→Rune fonction croissante telle quef(I)est un intervalle. On souhaite
démontrer que la fonctionfest continue. (a) Soit a?I. Montrer que sifn"est pas continue ena, alors il existe deux réels?get?davec f(0)6?g< ?d6f(1)telsf(I)∩]?g,?d[ =∅. (b)En dédu ireque fest continue surI.
(c) Le résultat e st-ilv alablesi fest décroissante?Remarque.Ce résultat est la brique manquante de la démonstration du théorème de la bijection
présentée dans le cours.quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38[PDF] continuité synonyme
[PDF] continuité uniforme
[PDF] continuité cours
[PDF] continuité traduction
[PDF] continuité ou continuation
[PDF] continuation définition
[PDF] fonction de plusieurs variables continuité exercices corrigés
[PDF] prolongement par continuité dune fonction
[PDF] calcul limite fonction 2 variables
[PDF] fonction ? deux variables réelles
[PDF] limites et continuité des fonctions de plusieurs variables
[PDF] fonction de plusieurs variables cours mp
[PDF] montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle
[PDF] montrer qu'une fonction est continue sur r
