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Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et continuité - Correction des exercices

Tatiana Labopin-Richard

28 janvier 2015

1 Problèmes de limites

Exercice 1 :Trouver les limites suivantes en identifiant une des méthodes précédentes. a)limx→+∞exp(x) +1x b)limx→0⎷1+x-⎷1-xx c)limx→0x?1x d)limx→0x2?1x e)limx→0?1x f)limx→+∞exp(x-sin(x)). g)limx→+0xsin(x). h)limx→+∞sin(exp(x))x i)limx→+∞xcos(exp(x))x 2+1. j)limx→+∞x-⎷x ln(x)+x. k)limx→O+xx. l)limx→1+ln(x)ln(ln(x)). m)limx→0(1 +x)1x n)limx→0exp(x)-1x o)limx→0ln(1+x)x

Correction :

1 a)limx→+∞exp(x) = +∞etlimx→+∞1x = 0donc par somme la limite vaut+∞. b) ⎷1+x-⎷1-xx =1+x-(1-x)x(⎷1+x+⎷1-x)=2( ⎷1+x+⎷1-x)et notre limite vaut donc 1. c) 1x permet de conclure que la limite est 1. d) En0+, on a|x2?1x et donc la limite vaut 0. EnO-, on a|x2?1x )via1x e)?1x ? ≥1x -1qui tend donc vers+∞. f)exp(x-sin(x))≥exp(x-1)donc la limite est ecnore+∞. g) La fonctionf:x?→xsin(1x )est le produit de l"indentité de limite nulle en

0 et dex?→sin(1x

)bornée. Donc la limite de notre produit vaut 0. h) La fonctionsinest bornée et la fonction inverse tend vers 0, la limite est donc encore une fois nulle. i)???xcos(exp(x))x 2+1?

2+1qui tend vers 0.

j) x-⎷x ln(x)+x=1-1⎷x ln(x)x +1qui tend vers 1. k)xx= exp(xln(x)) = exp(X)avecX=xln(x)qui tend vers 0. Donc la limite vaut 1. l)ln(x)ln(ln(x)) =Xln(X)avecX= ln(x)qui tend vers 0. Donc la limite vaut 0. m)(1 +x)1x = exp(1x ln(1 +x)) = exp(X)avecX=ln(1+x)x qui tend vers 1.

Donc la limite vaut e.

n) C"est la dérivée de la fonctionexpen 0, c"est à dire 1. o) C"est la dérivée de la fonctionln(1 +x)en 0, c"est à dire 1. Exercice 2 :Etudier les problèmes suivants en utilisant une des méthodes précédentes : a) Montrer que sif=g+havecgqui admet une limite en 0 mais pash, alors fn"admet pas de limite en 0. b) Montrer queh1:x?→sin?1x

2eth2:x?→cos?1x

2n"admettent pas de

limite en 0. c) Montrer quef:x?→x+ sin?1x

2n"admet pas de limite en 0.

d)h1+h2admet-elle une limite en 0? e) Montrer que la fonctionsinn"admet pas de limite en+∞.

Correction :

a) Par l"absurder,h=f-gdevrait avoir une limite. b) Pour tout entier naturel non nul,h1(12nπ) = 0eth1(12nπ+π2 ) = 1. Or les deux suites(12nπ)et(12nπ+π2 )tendent vers 0. Commeh2= 1-h1on conclut avec la question précédente. c)f=id+h1.idadmet une limite en 0 contrairement àh1doncfn"admet 2 pas de limite en0. d)h1+h2= 1donc la limite vaut 1. e) Les deux suite(2nπ)et(2nπ+pi2 )permettent de conclure. Exercice 3 :Ajusterapour la fonction suivante soit continue : exp(-x)sinon Correction :f(0) =aetlimx→0+f(x) = 1il faut donc prendrea= 1. Exercice 4 :Etudier la continuité surRdefpourf(x) =?x?+?x- ?x?et f(x) =?x?+ (x- ?x?)2. Correction :Par opérations,fest continue sur chaqueIk=]k,k+ 1[avec kentier relatif. Il reste donc à étudier la continuer ena?Z. Pourx→a+, f(x) =?x?+?x- ?x? →a=f(a)car?a? →alorsqueaest entier. Lorsquea tend versa-,f(x) =?x?+?x- ?x? →a-1 + 1 =a=f(a)car?x? →a-1. Par continuité à droite et à gauche,fest continue enaet donc surR. Soita?R. Sia /?Z, au voisinage dea,f(x) =?a?+ (x- ?a?)2et doncfest continue ena. Lorsquea?Z, on a six→a+,f(x)→a=f(a)et six→a-, f(x) =a-1 + (a-(a-1))2=a=f(a). Doncfest continue surR.

Exercice 5 :Soitf:R→Rdéfinie par

f:x?-→?1six?Q

0sinon

Montrer quefest totalement discontinue.

Correction :Soita?R. Il existe une suite(un)de nombres rationnels et une suite(vn)de nombres irrationnels tels queun→aetvn→a. On a alors f(un) = 1→1etf(vn) = 0→0. Ainsi,fest discontinue ena. Exercice 6 :Etudier la continuité defdéfinies surR+parf(x) = sup n?Nx nn!. Correction :La suite(un)avecun=xnn!converge vers 0 donc la borne supé- rieure existe dansR. De plus, on aun+1u n=xn+1. u n+1≥un. Par suite, f(x) =x?x??x?! 3 etfest clairement continue sur touta?R+privé deNet continue à droite surN. Il nous reste donc à étudier la continuité à gauche sur les entiers. Lorsque x→a-, on a f(x) =xa-1(a-1)!→aa-1(a-1)!=aaa!=f(a). doncfest continue surR.

2 Théorèmes fondamentaux sur les fonctions conti-

nues

2.1 Théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 7 :Montrer qu"un polynôme unitaire de degré 3 possède au moins une racine réelle. Correction :f(x) =x3+ax2+bx+c.fest continue car polynômiale. Nous avons de pluslimx→+∞= +∞etlimx→-∞f=-∞donc la fonction prend une valeur négative et une valeur positive. Donc elle s"annule. f(b)≥g(b). Montrer qu"il existex?[a,b]tel quef(x) =g(x). Correction :On introduit la fonctionφ:x?→f(x)-g(x).φest continue par s"annule en un pointxqui vérifief(x) =g(x). Exercice 9 :Soitf:R→Rtelle quelim+∞f=-1etlim+∞f= 1montrer quef s"annule. Correction :Commelim-∞f=-1,fprend des valeurs stirctement négatives. Commelim+∞f= 1,fprend des valeurs strictement potitives. Doncfs"annule. Exercice 10 :Soitf: [0,1]→[0,1]continue. Montrer quefadmet un point fixe. Correction :Posonsφ: [0,1]→Rdéfinie parφ(x) =f(x)-x. Un point fixe de fest une valeur d"annulation deφ. Commeφest continue et vérifieφ(0) =f(0)≥0

Exercice 11 :Soitf: [a,b]→Rcontinue.

4 a) Montrer que sif([a,b])?[a,b]alorsfadmet un point fixe. b) Montrer que si[a,b]?f([a,b])alorsfadmet un point fixe. Correction :Comme précédemment, on poseφ(x) =f(x)-x,φest continue, notre objectif et de montrer qu"elle s"annule. Pour le premier cas,f(a)?[a,b]et la même chose que l"exercice précédent. Dans le deuxième cas, si[a,b]?f([a,b]) mêmeβtel quef(β) =b, on peut conclure parce queφ(β)≥0. Exercice 12 :Soitf:R→Rcontinue et décroissante. Montrer quefadmet un unique point fixe. Correction :Unicité : Soitg:x?→f(x)-x.gest strictement décroissante et injective donc ne peut s"annule qu"au plus une fois. Existence : Par l"absurde, puisquegest continue, si elle ne s"annule pas, alors elle est strictement positive ou strictement négative. Si?x?R,g(x)>0alors f(x)> xet doncf(x)tend vers+∞lorsquextend vers+∞. Ceci est absurde carlim+∞f= infRf(puisquefest décroissante). On raisonne de même sig(x)est négative. Exercice 13 :Montrer que les applications continues deRdansZsont les fonctions constantes. Correction :Par l"absurde, sifn"est pas constante, alors il existea < btel quef(a)?=f(b). Soitynon entier compris entref(a)etf(b). Le TVI implique qu"il existex?Rtel quey=f(x)et doncfn"est pas à valeurs entières.

2.2 Image d"un segment

Exercice 14 :Soitf: [a,b]→Rcontinue telle que ?x?[a,b], f(x)>0.

Montrer queinfx?[a,b]f(x)>0.

Correction :fest continue sur[a,b], elle admet donc un minimum en un certainc?[a,b]: inf x?[a,b]f(x) = minx?[a,b]f(x) =f(c)>0. Exercice 15 :Soitf:R+→Rcontinue telle quefconverge en+∞. Montrer quefest bornée. 5 Correction :Puisquefconverge en+∞,fest bornée au voisinage de+∞: ?M?RetA?R+tels que : De surcroît,fest bronée par un certainM?sur[0,A]car continue sur un segment. Doncfest bornée parmax(M,M?)surR+. Faire un dessin pour bien comprendre ce qu"il se passe dans cet exercice. Exercice 16 :Montrer qu"une fonction continue et périodique surRest bornée. Correction :SoitT >0une période def. Sur[0,T],fest bornée par un certain Mcarfest continuesur ce segment.?x?R, x-nT?[0,T]pourn=?xT ?donc

Doncfest bornée parMsurR.

Exercice 17 :Montrer quef:R→Rbornée etg:R→Rcontinue ont des composées bornées. Puisquegest continue sur le segment[-M,M]elle y est bornée par un certain M bornée.

Exercice 18 :Soitf:R→Rcontinue telle que

lim x→+∞f= limx→-∞f= +∞.

Montrer quefadmet un minimum absolu.

PourM=f(0) + 1.

Puisquelim+∞f= lim-∞f= +∞, il existe(A,B)?R2tels que : a?[A,B],fadmet un minimum en un pointa?[A,B]car continue sur un segment. et?x?]- ∞;A[?[B;+∞[, f(x)≥M≥f(a).

Doncfadmet un minimum absolu ena.

6 Encore une fois, il est conseillé de faire un dessin pour bien com- prendre ce que l"on fait ici : on se restreind sur un segment pour avoir un minimum puis on gére les soucis aux bords. Exercice 19 :Soitf:R→Rcontinue. On suppose que chaquey?Radmet au plus deux antécédents parf. Montrer qu"il existey?Rpossédant exactement un antécédent. Correction :Soityune valeur prise parf. Si celle-ci n"a qu"un antécédent, c"est terminé. Sinon, soita < bles deux seuls antécédents dey.fest continue sur [a,b]donc y admet un minimum enxet un maximum end, l"un au moins n"étant pas une extrémité de[a,b]. Supposons que ce soitc. Sif(c)possèdec?comme autre antécédent alors : Sic??[a?,b?]alorsfne peut être constante entrecetc?et une valeur stricte- ment comprise entref(c) =f(c?)etmax[c,c?]fpossède au moins 3 antécédents. C"est impossible. Sic??= [a,b]alors une valeur sctrictement intermédiaire àyetf(c)possède au moins 3 antécédents. c"est impossible. Ainsi, il n"y a pas dec?autre antécédent def(c). Exercice 20 :Appliquer ce théorème àf:R+?→Rdéfinies parf(x) = x+ ln(x). Correction :fest continue et strictement croissante (f(x) = 1 +1x >0). Ses limites en0+et+∞sont respectivement-∞et+∞. le téhorème de la bi- jection monotone permet donc d"affirmer quefréalise une bijection deR+?vers ]lim0f;lim+∞f[=R. De plus, son application réciproquef-1est continue et stricte- ment croissante et de limite0+en-∞et+∞en+∞. Exercice 21 :Soitf:R→Rdéfinie parf(x) =x1+|x|. a) Montrer quefréalise une bjiection deRvers]-1,1[. b) Déterminerf-1. Correction :a) Sur[0;+∞[,f(x) =x1+x= 1-11+xcontinue et strictement croissante,f(0) = 0etlim+∞f= 1. Doncfréalise une bijection de[0;+∞[vers [0;1[. Sur]- ∞;0[,f(x) =-1 +11-xcontinue et strictement croissante.lim0f= 0 etlim-∞= 1. Doncfréalise une bijection deRvers]-1;0[. Nous avons donc une bijection deRvers]-1,1[. b) Poury?]0,1[,x=f-1(y)?[0,+∞[ety=f(x)?x=y1-y. Pour y?]-1,0[,x=f-1(y)?[-∞,0[ety=f(x)?x=y1+y. Finalement, nous avons 7 ?y?]-1;1[, f-1(y) =y1- |y|. Exercice 22 :Soitf: [0,+∞[→[0,+∞[continue vérifiantf◦f=id. Déter- minerf. Correction :fest bijective et continue, strictement monotone. Elle ne eput pas être décroissante car alors elle ne serait pas surjective sur[0,+∞[, elle est docn strictement croissante. Si?x?[0,1], tel quef(x)< x, alors par stricte croissance,f(f(x))< f(x)et doncf(f(x))< xce qui contreditf◦f=id. De même,f(x)> xest impossible.

Doncf=id.

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