[PDF] [PDF] Cours contraintes normales et tangentielles - iut Béthune

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IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°1/27 !"#$%&'&!"()$*+(),%&("$-*.,%&,)&)*(/,()+,..,%& !"#$%&%'()*+%,#-#1.1) But de l'étude : Toute structure doit être suffisamment résistante pour supporter les charges auxquelles elle sera soumise au cours de sa durée de vie. Les critères de résistance sont toujours basés sur les contraintes. En effet, à partir d'essais sur les matériaux, on déduit les valeurs limites à ne pas dépasser. Cette partie de cours est donc primordiale dans l'étude des structures. Les calculs seront réalisés principalement à l'état limite ultime (ELU). Cet état limite fait appel à des combinaisons d'actions définies dans l'Eurocode 1 du type : 1,351,5GQ+

(G : charge permanente Q : charge d'exploitation) 1.2) Rappels : Lors du module MS1, nous avons défini les sollicitations suivantes : Nx Effort normal Vy Effort tranchant selon l'axe y Vz Effort tranchant selon l'axe z Tx Moment de torsion My Moment de flexion selon l'axe y Mz Moment de flexion selon l'axe z 1.3) Définition (Cauchy) : " Sur toute facette dA d'une coupe naît une force de surface : f

appelée vecteur contrainte » Cauchy - 1822 Les sollicitations représentent les actions qui agissent entre la partie gauche et la partie droite de la " barre » symbolisant la poutre. Cependant, il faut répartir ces sollicitations sur la section, d'où le principe des contraintes. Tronçon de gauche de la " barre » en statique Partie de gauche de la poutre en mécanique des structures ! Remarque 1 : chaque fibre dA reçoit sa contrainte qui peut avoir une intensité, une direction voire un sens différent des autres. ! Remarque 2 : tout comme les sollicitations équilibrent le tronçon de gauche, les contraintes équilibrent la partie gauche de la poutre. ! Remarque 3 : un principe est une hypothèse. La véracité des contraintes est invérifiable puisqu'on ne sait pas les mesurer. Mathématiquement parlant, la contrainte est la limite de dA

dF quand A

0. q dA Contrainte agissante sur dA Vy Nx Mz q Vz My Tx

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°2/27 1.4) Unité : La contrainte est une force par unité de surface. Son unité est donc le [N/m"] ou le [Pa] (Pascal).

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°3/27 !!"#./+(+*/&,#-#2.1) Contraintes : Cette force de surface f

est généralement un vecteur incliné par rapport à la normale à la facette dA. On décomposera donc chaque contrainte selon 3 composantes dans le repère : . • la composante selon l'axe x de la contrainte agissante sur la facette normale à x sera notée !x ; • la composante selon l'axe y de la contrainte agissante sur la facette normale à x sera notée "xy ; • la composante selon l'axe z de la contrainte agissante sur la facette normale à x sera notée "xz ; ! Remarque : ! se dit " sigma » et " se dit " tau ». 2.2) Etats de sollicitations : Nous définissons des noms d'états de sollicitations suivants : Sollicitations non nulles Etat de sollicitation 0

x N<

Compression pure 0

x N>

Traction pure z

M ou y M

Flexion pure y

V ,z M ou z V ,y M

Flexion simple y

V , z V , y M , z M

Flexion biaxiale ou Flexion déviée x

N , y V , z M ou x N , z V , y M

Flexion composée plane x

N , y V , z V , y M , z M Flexion composée biaxiale ou composée déviée x T , z M ou x T , y V , z M ou x T ,x N , y V , z M ... Flexion torsion dA x x y z xz xy

G dA f

x y z G

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°4/27 !!!"#012/+34,5,#-#3.1) Hypothèses classiques : Dans le cours suivant, de nombreuses hypothèses sont posées : - les structures étudiées sont composées de poutres (c.f. théorie des poutres) ; - les sections possèdent un plan moyen (axe de symétrie Gy) ; - les déformations restent faibles ; - le matériau travaille dans la zone élastique (que nous définissons juste après) ; - les contraintes existent ; - la matière est uniforme et continûment répartie dans le solide (pas de miro trous - ensemble cohérent au sens propre : la matière forme un bloc). ! Remarque : cette hypothèse est relativement vraie lorsqu'on fait une analyse macroscopique (il est hors de question de raisonner au niveau moléculaire - analyse microscopique). Dans le présent chapitre, nous nous limiterons aux poutres composées d'un seul matériau (pas de section mixte). 3.2) Loi de comportement - Loi de Hooke : On entend " loi de comportement du matériau » (LC) l'allure de la courbe " contrainte - déformation ». Cette courbe, intrinsèque au matériau, est la base de toute la théorie. ! Remarque : intrinsèque veut dire uniquement fonction du matériau. a) Loi réelle : Le comportement réel de l'acier, par exemple est le suivant : ! Remarque 1 : à chaque matériau sa loi de comportement. Il est donc très difficile de prendre une courbe type (certains matériaux sont fragiles, d'autres ductiles ...). ! Remarque 2 : cette courbe a été tracée à la suite d'un essai sur une barre haute adhérence mise en traction. La machine était pilotée en déplacement. La courbe contrainte - déformation étant intrinsèque au matériau, elle permet de nous affranchir des dimensions de l'éprouvette (le résultat est le même quelque soit la taille de l'éprouvette d'essai). ! " # $ % ! Droite de Hooke - Zone élastique " Palier d'étirage # Zone d'écrouissage % Rupture $ Zone de striction

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°5/27 b) Loi simplifiée : Dans la plupart des cas, nous allons limiter le travail du ma tériau dans sa zone élasti que. C'est pourquoi nous prendrons la loi élastique parfaite suivante : ! Remarque 1 : il existe e ncore d'autr es modéli sation de loi de comportement - exemple : la loi de c omportement élasto-plastique parfaite, la loi de comportem ent plastique parfaite ... ! Remarque 2 : les calculs se fo nt gén éralement d ans le domaine élastique pour plusieurs raisons : - les déforma tions dans la zone pastique peuven t être considérées trop importantes (exemple : ou verture des fissure s pour le béton armé facilitant la corrosion) ; - la déformée de la structure risque d'être trop importante ; - les déformations y sont réversibles ; - on reste générale ment dans le domaine de validit é de la mécanique des structures (théorie du 1er ordre) ; - le comportement du matériau hors de cette zone augmente la probabilité d'obtenir des instabilités (voilement ...) ; - on se place en sécurité (puisqu'il reste une réserve de résistance) ; - il existe des matériaux sans zone plastique ; - les calculs sont plus simples. Dans la zone élastique, les contraintes et les déformations sont proportionnelles. La droite de cette loi de comportement est donc la suivante : xx

E!="#

c) Valeurs intrinsèques de matériaux : Matériau E [MPa] Acier doux 210 000 Aluminium 70 000 Verre 66 000 Plexiglas 2 900 3.3) Comportement des sections - Loi de Navier Bernoulli : Navier et Bernoulli ont étudié le comportement de poutres. Ils en ont déduit la loi suivante : Les sections droites restent droites, identiques à elle mêmes et normales à la ligne moyenne. ! Remarque : on sai t pertinemment que cette loi est fausse : ce n'est qu 'une simplificat ion de la réalité . Cependant, elle est relativement exacte et permet de simplifier grandement les raisonnements. !x Zone élastique !max = !élastique "x : contrainte

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°6/27 Par exemple, on sait que les dimensions transversales changent - si on pose " # » : coefficient de poisson : L

L!

3.4) Hypothèses de Saint Venant : a) Observation : b) Enoncé : " Les contraintes, dans une région éloignée des points d'applications d'un système de forces, dépendent uniquement de la résultante générale et du moment résultant de ce système de forces. » Le principe de Saint-Venant suppose que les calculs des contraintes se fait suffisamment loin des points d'application des forces. ! Remarque : au final, on considère que la diffusion des charges se fait immédiatement dans le matériau (diagramme " c » partout sous la charge - zone de transition " ac » inexistante).

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°7/27 !6"#7/&+'(*&+5,#&/'8()5,#-#4.1) Lien entre contraintes normales et sollicitations : Lorsqu'on réduit les contraintes normales au niveau du centre de gravité, on retrouve les sollicitations : On peut donc dire que : ),,,,,(,

zyzy A

MMTVVN=

Si l'on regarde le lien entre les sollicitations et les contraintes normales, on peut dire que : 0 x F= xx A dAN!"= 0 z M= xz A ydAM!"## = 0 y M= xy A zdAM!""=

! Remarque : pour les signes, il faut analyser si une contrainte positive sur une fibre ayant des coordonnées positives engendre un moment positif ou négatif. x y z G Vy Nx Mz Vz My Tx dA x

x y z xz xy G y z

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°8/27 4.2) Sous effort normal Nx : a) Loi de Navier Bernoulli : Observons les déformations d'une poutre puis d'un tronçon dx infiniment petit de cette poutre soumise uniquement à un effort normal (traction pure) : Les fibres se sont toutes allongées. De la même valeur. x

dx cste dx b) Loi de Hooke : Appliquons la loi de Hooke : xx E!="#

sur le tronçon dx : ! Remarque : E et $x étant constants pour toutes les fibres de la section, !x l'est aussi. c) Formule liant !x et Nx : A partir du bilan intégrale du 3.1, nous allons établir la relation liant "x et Nx. xxxx

AA

NdAdAA=!"=!=!"

x x N A x x y z G x N x dx G y Nx xx E!="#

Nx Nx Nx x x x dx %dx G y Nx Nx

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°9/27 d) Déformée et déplacement : L'allongement de la poutre correspond à la somme de s allongement s relatif s des sections. Donc : 11

x xx xxxx x dxdx E N Ldxd EE x A

Dons, dans le cas particulier où : - l'effort normal est constant ; - cet effort normal agit sur une longueur L de la poutre ; - la section reste constante selon x ; on a : x

NL L EA

e) Cas particulier de la compression : Lorsque la poutre es t soumise à un effort norm al de compressi on (0

x N<

), une instabilité peut se produire : le flambement. Si la force de compression reste inférieure à l'effort normal critique de flambement (cr

N

), seul le sens du vecteur contrainte change par rapport à la traction. ! Remarque : le flambement sera étudié dans les modules de structure (charpente métallique). f) Exemple : Soit un tirant d'acier de section circulaire de diamètre 7 cm. Ce tirant à une longueur de 5 m. Connaissant la limite élastique de l'acier doux : 235

y fMPa=

, on vous demande de : ! calculer la charge qu'est capable de reprendre ce tirant ; " déterminer l'allongement maximum avant de dépasser la limite élastique ; # tracer l'allure du diagramme des contraintes normales dans la section. ! Résultat : - section : 3,848.10-4 m2 ; - charge limite Flimite =0,904 MN (soit 90 tonnes) ; - allongement : 5,59 mm. L!

x y z G x N x N

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°10/27 4.3) Sous moment de flexion Mz : a) Loi de Navier Bernoulli : Observons les déformations d'une poutre puis d'un tronçon dx infiniment petit de cette poutre soumise uniquement à un moment de flexion (flexion pure) : Les fibres ne s'allongent pas toutes de la même valeur. En effet, certaines se sont raccourcies, et d'autres allongées. Soit %dx(y) la variation de longueur de la fibre à l'ordonnée y. La longueur initiale de cette fibre est dx. ()

x y y dx ay dx

! Remarque : %dx est négatif pour y > 0. Donc a <0 b) Loi de Hooke : Appliquons la loi de Hooke : ()

xx yE!="#

sur le tronçon dx : c) Formule liant !x et Mz : A partir du bilan intégrale du 3.1, nous allons établir la relation liant "x et Mz. ()

2x zxxG z AAAA xGz yMydA EydA Eay ydAE aydA EI y I y z x Gz y M y I x y! x y z G Mz x dx G y Mz () xx yE!="#

Nx Mz Mz x x dx G y Mz Mz y

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°11/27 d) Exemple : Soit une poutre de section rectangulaire 200 x 500 mm2 (posée à chant) soumise à un moment de flexion de 100 kN.m. Le matériau composant la poutre est du bois. Son module d'Young E = 10 000 MPa. On vous demande de : ! tracer le diagramme des déformations dans la section ; " tracer le diagramme des contraintes normales dans la section ; # ajouter sur le diagramme les valeurs caractéristiques ; $ si la contra inte limit e du bois est de 13 MPa, la poutre résistera t'elle où fa ut-il la redimensionner ? ! Résultat : - moment quadratique IGZ = 2083 .10-6 ; - !xmax = 12 MPa. e) Définition : • plan neutre : on appelle plan neutre le plan formé par toutes les fibres qui ne s'allongent pas (et ne se raccourcissent pas non plus). • plan moyen : on appelle plan moyen le plan vertical passant par G. • axe neutre : on appelle axe neutre (élastique) l'intersection entre le plan moyen et le plan neutre. ! Remarque : en flexion simple et pure, l'axe neutre est confondu avec la ligne moyenne. f) Simplification pour section rectangulaire : La formule de base est donc ()

Z x Gz y M y I

. La contrainte qui nous intéresse est celle qui est maximale, c'est-à-dire la plus éloignée du plan (x, G, z). Dans le cas d'une section rectangulaire, cette contrainte est à 2

h y= . On peut donc simplifier la formule comme suit : max32 6 2 12 ZZ x MMh bhbh x y z max2 6 Z xinf M bh max2 6 Z xsup M bh

Plan Plan neutreneutre Mz x y z G Plan Plan neutreneutre Plan Plan moyenmoyen Axe neutreAxe neutre

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°12/27 g) Moment capable : Le moment m aximum qui est applic able à une section avant que la contrainte maximale arrive à valeur limite s'appelle moment capable. • Cas du rectangle : max2

6 Z x M bh donc maax 2 mx 66
xx

Zcapable

bAhh M • Cas du disque : maxmax4 4 ZZ x GZ MM yr Ir donc 3 maxmax 44
x Z x Ar M r! • Cas du triangle : maxmax3 362
3 ZZ x GZ MMh y Ibh donc mmax 2 ax 2412
xx Z Ahh M b!

h) Rendement géométrique d'une section : Pour une section d'aire A, certaines formes sont plus adaptées que d'autre à reprendre un moment de flexion élevé. En effet, la matière la plus éloignée du centre de gravité a un rendement fort, tandis que celle au niveau de l'axe neutre est inutile. On peut donc définir le rendement d'une section comme étant le rapport entre le moment de la forme géométrique e t le moment capable théorique (maximum correspon dant à la section géométriquement la plus adaptée). • Cas du rendement parfait : Cette section hypothétique possède la moitié de son aire sur la fibre supérieure extrême, et la moitié de son aire sur la fibre extrême inférieure : max

max 2 22
2 capable théoriquex x Ah MFd Ah • Cas du rectangle : max max 1 6 3 2 x rectangle x Ah Ah • Cas du disque : maxmax maxmax 1 84
4 22
xx disque xx AhAr AhAh • Cas du triangle : max max 1 12 6 2 x triangle x Ah Ah

• Autres cas : Section Rendement géométrique Tube # IPE, HEA Proche de 1 x y maxmaxxinfx sup

maxxsup

Mz z 2

A h

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°13/27 4.4) Sous moment de flexion My : La démarche d'étude est la même que sous un moment de flexion Mz. Le bilan intégral est : xy

A zdAM!""= Pour déterminer la relation entre le moment de flexion y M et la contrainte x

, nous ferons simplement une permutation circulaire (changer y en z et z en y), sans oublier de changer de signe : ()

y x Gy z M z I

! Remarque : le changement de signe vient du fait qu'une contrainte positive amène un moment positif si elle est appliquée sur un fibre de coordonnées positives. ()

x z! x y z G My

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°14/27 4.5) Sous sollicitations composées : Pour les sollicitations composées, nous allons utiliser le principe de superposition : a) Flexion composée Nx + Mz : • Formule : ()

xz x Gz y NM y AI si l'on pose ey (excentrement par rapport à l'axe y) le rapport : z x M N , la formule devient (rappel : Gz Gz I i A ) : ()1 xz x xGz y NMA y ANI 2 1 xz x xGz y NMA y ANI 2 1 y x x Gz e N yy Ai

• Diagramme des contraintes : ! Remarque : on observe le déplacement vertical du plan neutre. En effet, il ne passe plus par le centre de gravité de la section. x y z G Mz x

N x N ey x x y z G x N x y! x y z G Mz () x y! x y z G Mz x N

IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT Page n°15/27 • Cas particulier du rectangle - tiers central : Pour de nombreuses sections telles que les fondations, il faut se débrouiller pour que toutes les fibres de la section subissent des contraintes de même signe. Nous allons donc rechercher la valeur ey maximale. ()

232
1212
1111
yyyy xxxx x GzGz eAebhee NNNN yyyy y

AiAI Abh Ah

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