[PDF] CHAPITRE 4 La Théorie des Plaques à Paroi Mince Hypothèses

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CHAPITRE 4

La Théorie des Plaques à Paroi Mince

Introduction et hypothèses

Théorie des plaques de Kirchhoff

Plaques rectangulaires

Plaques circulaires

Différents appuis

Différents types de chargement

Hypothèses

Déplacements latéraux et les rotations de la mi-épaisseur sont petits ( w << t et <<1 ) Les dimensions sont grandes par rapport à l'épaisseur a/t > 10 et b/t > 10 Matériau homogène, isotrope et élastique linéaire Lignes droites normales au plan mi-épaisseur demeurent droites après chargement (flexion des poutres) déplacement suivant l'épaisseur seulement Surface à la mi-épaisseur est un plan neutre x y xy = 0 La contrainte normale à la surface de la mi-épaisseur est négligeable z 0

Flexion d'une poutre

y z x M M axe neutre RO M M

Flexion d"une poutre (suite)

Rz RdRdd)zR( IJIJ'H'G xu

xxx axe neutre RO MM AB D EI

JA' B'

D' E'I J z zGH G' H' d x z zy zeffet de

Poisson

Relation déplacements-déformations

Plaques minces (Théorie de Kirchhoff)

xv yu= yv= xu= xyyx 000 z v yw= zu xw= zw= yzxzz M x z yx M x M y M y

Flexion d'une plaque suivant plan xz

x wz =u w 22
x x wz x u = w w H ywz = v 22
y ywzyv = yxwz2xv yu = 2 xy 1 z y b a hxM M

Suivant plan yz

Suivant plan xz

M x plan neutre M w z dx O r x d x z u = z du = z d

T = -dw/dx

Relations w, r, ,

22
1 xw xw xxr x 22
1 yw yw yr y yxw xw yyw xrr yxxy 2 11 xx rz1 yy rz1 xyxy rz12 wwQww

Q QHHQ V

22
22
22
11yw xwEzE yxx wwQww

Q QHHQ V

22
22
22
11xw ywEzE xyy yxwEzG xyxy 2 1 Rayons de courbures - déplacementsDéformations - rayons de courbure

Contraintes - déplacements

Équilibre d'un élément de la plaque

M x z yx M y M xy Q y dx M xy p dxxMM x x w dxxMM xy xy w dyyMM xy xy w dyyMM y y w dyyQQ y y dxxQQ x x dy dzz = M x2t 2 t-x dzz = M y2t 2 t-y dzz = M xy2t 2 t-xy dz = Q xz2t 2 t-x dz = Q yz2t 2 t-y

Moments et contraintes dans une plaque

22
22
yw xwDM x wwww 22 22
xw ywDM y yxwDM xy 2 )1( )1(12 23
EtD

D est la rigidité en flexion de la plaque

12 3 EtD

Pour une poutre en flexion

2max, 6 t M= x x 2max, 6 tM= y y 2max, 6 tM= xy xy

Contraintes maximales dans la plaque

Expressions des moments

Différence de 1/(1-

2

10% si = 0.3

Équation de Lagrange (1811)

M x z yx M y M xy Q y dx M xy p dxxMM xquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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