[PDF] Chapitre 1 – Nombres Relatifs





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Comment convertir un nombre négatif en positif ?

Il suffit de multiplier une valeur négative par -1 pour obtenir le nombre positif au lieu de négatif. Vous trouverez ci-dessous une plage de cellules avec des nombres négatifs. Donc, pour les convertir en positifs, il vous suffit de saisir la formule dans la cellule B2 et de la faire glisser jusqu’à la dernière cellule.

Quel est le résultat de la multiplication entre deux nombres positifs et négatifs ?

En d’autres termes, le résultat de la multiplication entre deux nombres positif est positif ; celui de la multiplication entre deux nombres négatifs est positif ; et celui de la multiplication entre un nombre positif et un nombre négatif est négatif. Multiplier sans tenir compte des signes ;

Chapitre 1 - Nombres Relatifs

1- Quelques rappels

a) a est positif se traduit par : a ≥ 0 . b) L'opposé d'un nombre a se note (- a). c) * Si deux nombres sont opposés, alors leur somme est nulle.

Pour tout nombre a : a + (- a) = 0 .

* Si la somme de deux nombres est nulle, alors ils sont opposés. Soit deux nombres a et b : si a + b = 0 alors b = - a . d) Soustraire un nombre revient à ajouter l'opposé de ce nombre.

Pour tous nombres a et b : a - b = a + (- b)

e) Suppression des parenthèses Soit A un nombre relatif et b la distance à 0 d'un nombre relatif. A + (+ b) = A + b A - (+ b) = A - b A + (- b) = A - b A - (- b) = A + b

2- Multiplication

a) Produit de deux nombres

Propriété (admise)

* Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif. Le produit de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.

* La distance à 0 du produit de deux nombres est égale au produit des distances à 0 des deux facteurs.

Exemples

* Soit A = (- 4 ) ´ (- 5) A est le produit de deux nombres de même signe donc A est positif. Par ailleurs, la distance à 0 de A est égale à : 4 ´ 5 = 20

Par conséquent : A = + 20

* Soit B = (- 6 ) ´ (+ 3) B est le produit de deux nombres de signes contraires donc B est négatif. Par ailleurs, la distance à 0 de B est égale à : 6 ´ 3 = 18

Par conséquent : B = - 181

b) Produit de plusieurs nombres

Propriété (admise)

* Le produit d'un nombre pair de facteurs négatifs est positif. Le produit d'un nombre impair de facteurs négatifs est négatif. * La distance à 0 d'un produit est égale au produit des distances à 0 de ses facteurs.

Remarque

Le signe d'un produit ne dépend donc pas du nombre de facteurs positifs.

Exemples

* Soit C = (+ 5 ) ´ (- 4) ´ (- 2) ´ (- 1) ´ (+ 2 ) C est un produit qui contient exactement trois facteurs négatifs : il est donc négatif. Par ailleurs, sa distance à 0 est égale à : 5 ´ 4 ´ 2 ´ 1 ´ 2 = 80 .

Par conséquent : C = - 80

* Soit D = (- 2 ) ´ (- 1) ´ (- 3) ´ (- 1) ´ (+ 10 ) D est un produit qui contient exactement quatre facteurs négatifs : il est donc positif. Par ailleurs, sa distance à 0 est égale à : 2 ´ 1 ´ 3 ´ 1 ´ 10 = 60 .

Par conséquent : D = + 60

c) Carré d'un nombre

Propriété

Le carré d'un nombre relatif est toujours positif.

Démonstration

Soit a un nombre relatif.

Son carré est : a² = a ´ a , produit de deux nombres égaux donc de même signe. Or le produit de deux nombres de même signe est positif.

Donc a² est positif. CQFD !

3- Division

Propriété (admise)

* Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif. Le quotient de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.

* La distance à 0 du quotient de deux nombres est égale au quotient des distances à 0 de ces deux

nombres.

4 - Expressions Numériques

a) Priorités opératoires * Parenthèses. * Puissances. * Produits et quotients dans l'ordre du calcul. * Sommes et différences dans l'ordre du calcul. b) Propriétés * L'opposé d'une somme est égal à la somme des opposés.

Autrement dit

Pour tout nombre a et tout nombre b : - ( a + b ) = - a - b

Démonstration

Soit : A = a + b et B = - a - b .

On calcule : B + A = - a - b + a + b = 0 .

Comme la somme de A et de B est nulle, A et B sont opposés.

Par conséquent : B = - A.

Et donc : - a - b = - ( a + b ) CQFD !

* " Multiplier un nombre par ( - 1 ) » revient à " prendre son opposé ».

Autrement dit

Pour tout nombre a : ( - 1 ) ´ a = - a

Démonstration

Soit : A = ( - 1 ) ´ a .

On calcule : A + a = ( - 1 ) ´ a + a

Or : a = 1 ´ a

Donc : A + a = ( - 1 ) ´ a + 1 ´ a

En factorisant, on obtient : A + a = ( - 1 + 1 ) ´ a = 0 ´ a = 0 Comme la somme de A et de a est nulle, A et a sont opposés.

Par conséquent : A = - a .

Et donc : ( - 1 ) ´ a = - a CQFD !

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