[PDF] TRIGONOMÉTRIE - Philippe DEPRESLE

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TRIGONOMÉTRIE

Ph DEPRESLE

27 juin 2015

Table des matières

1 Le radian : unité de mesure d"angle2

2 Le cercle trigonométrique2

3 Cosinus et Sinus3

3.1 Enroulement d"une droite autour du cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . 3

3.2 Cosinus et sinus d"un nombre réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.3 Valeurs particulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.4 Configuration du rectangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.5 Configuration du triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.6 Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Les exercices11

5 Les corrigés13

1

Chapitre : TrigonométrieSeconde

1 Le radian : unité de mesure d"angle

Définition 1.SoitCun cercle de centreOet de rayon 1. Un radian est la mesure d"un angle au centre qui intercepte unarc de longueur 1 du cercle. La mesure en radians d"un angle au centre est donc la longueurde l"arc que l"angle intercepte sur le cercleC. Propriétés 1.La mesure d"un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés.

Tableau de proportionnalité :

mesure de l"angle en degré360°180°90°60°45°30°...x° longueur de l"arc du cercle trigono- métrique2πππ 2 3 4

6...x×π

180
mesure de l"angle en radian2πππ 2 3 4

6...x×π

180
?= 1 1rd ??A 11

2 Le cercle trigonométrique

On oriente les cercles du plan en choisissant un sens positif(ou direct) : le sens positif est le sens

contraire des aiguilles d"une montre.

613π6

49π4

37π3

25π2

-π611π6 -π47π4 -π35π3 -π23π2 2π 3 3π 4 5π 6 -π,π0,2π 5π 6 3π 4 -2π 3 O?

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 2 sur16

Chapitre : TrigonométrieSeconde

Définition 2.

Un cercle trigonométrique est un cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est orienté dans le sens direct (on dit aussi le sens positif).

La longueur du cercle trigonométrique est2π

La longueur du quart de cercle trigonométrique estπ 2 2 1

3 Cosinus et Sinus

3.1 Enroulement d"une droite autour du cercle trigonométrique

A tout réel est associé un point sur le cercle trigonométriqueSoitAun point du cercle.

On accroche au pointAune ficelle.

•Soitx >0 La ficelle de longueurxest enroulée autour du cercle dans le sens +, à son extrémité le pointM. On dit queMest associé au réelx. •Soitx <0

La ficelle de longueur|x|est enroulée autour du cercle dans le sens -, à son extrémité le

pointM. On dit queMest associé au réelx. •Soitx= 0

C"est le pointAqui est associé au réelx.

Tout pointMdu cercle trigonométrique est associé a une infinité de réels SoitMun point du cercle trigonométrique. On considère un trajet, sur le cercle, pour aller deAàM. On associe alors un réel au point M: •La longueur du trajet si celui ci suit le sens positif. •L"opposée de cette longueur s"il suit le sens négatif. on associe alors au pointM: mais aussi -2π+? ?+ 2π tous les?+k2π, k?Z ?-2π? ?+ 2π ?A? M? ?

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 3 sur16

Chapitre : TrigonométrieSeconde

3.2 Cosinus et sinus d"un nombre réel

Définition 3.Soit dans un repère orthonormé(O,#»i ,#»j), un cercle trigonométrique de centreOetAle point du cercle de coordonnées(0,1). A tout réelαon associe un pointMsur le cercle, alors : cosαest l"abscisse deM sinαest l"ordonnée deM

On noteM(cosα,sinα)

sinα cosαα ?O? A? M

Propriétés 2.?α?R,-1?cosα?1

α?R,-1?sinα?1

α?R,sin2α+ cos2α= 1

α?R,cos(α+k2π) = cosαetα?R,sin(α+k2π) = sinα?k?Z

3.3 Valeurs particulières

•pourx= 0,π

2,π,-π2

cos(π2) = 0 sin(π2) = 1 cos(-π2) = 0 sin(-π2) =-1 A(0) cos(0) = 1 sin(0) = 0cos(π) =-1 sin(π) = 0A?(π) ?O? ?B(π2) B 2) •pourx=π4

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 4 sur

16

Chapitre : TrigonométrieSeconde

Eest situé sur la1erebissectrice d"équationy=x.

Donccosπ

4= sinπ4et d"autre partcos2π4+ sin2π4= 1

On obtient2cos2π

4= 1soitcos2π4=12

cos

4=⎷

2

2carπ4?[0,π2[donccosπ4>0

On a donccosπ

4= sinπ4=⎷

2 2 y=x sinπ4 cos 4 ?O?A(0) ?E ?B(π2) ?A?(π) •pourx=π3 sinπ3 cos 3 ?O? ?F(π3) A(0) B(π2)OAFest équilatéral ( car isocèle avec un angle de 60° ) donc sa hauteur issue deFest aussi médiatrice de[OA]donccosπ

3=12et puisque

cos 2π

3+ sin2π3= 1, il vient quesinπ3=⎷

3 2car sin 3>0

On a donccosπ

3=12etsinπ3=⎷

3 2 •pourx=π 6 En raisonnant comme précédemment,OBGest équilatéral

On a doncsinπ

6=12etcosπ6=⎷

3 2 sinπ6 cos 6 ?O?A(0) ?G(π6)?

B(π

2)

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 5 sur16

Chapitre : TrigonométrieSeconde

3.4 Configuration du rectangle

-xπ-x

π+x

?O?A(0) ?B(π2) ?M? cos(π-x) =-cosxcos(π+x) =-cosxcos(-x) = cosx sin(π-x) = sinxsin(π+x) =-sinxsin(-x) =-sinx

APPLICATIONS :

-π3-2π3,4π32π 3 1

2-12π

3 O cos(2π3) =-cos(π3) =-12cos(-π3) =12cos(-2π3) =-12 sin(2π

3) = sin(π3) =⎷

3

2sin(-π3) =-⎷

3

2sin(-2π3) =-⎷

3 2

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 6 sur

16

Chapitre : TrigonométrieSeconde

-π67π6,-5π65π 612
1 2π 6 ?O cos(5π6) =-⎷ 3

2cos(-π6) =⎷

3

2cos(-5π6) =-⎷

3 2 sin(5π

6) =12sin(-π6) =-12sin(-5π6) =-12

-π45π4,-3π43π

4π4

?O cos(3π4) =-⎷ 2

2cos(-3π4) =-⎷

2

2cos(π4) =⎷

2 2 sin(3π

4) =⎷

2

2sin(-3π4) =-⎷

2

2sin(-π4) =-⎷

2 2

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 7 sur

16

Chapitre : TrigonométrieSeconde

3.5 Configuration du triangle

MetM?sont symétriques par rapport à la1erebissectrice d"équationy=x.

Donccos(π

2-x) = sinx

sin(

2-x) = cosx.

M ?etM??sont symétriques par rapport à l"axe des ordonnées.

Donccos(π

2+x) =-cos(π2-x) =-sinx

sin(

2+x) = sin(π2-x) = cosx.

M??(π2+x)M?(π2-x)

M(x) O

3.6 Equations

Exemples :

1. Résoudrecosx=-⎷

3 2 cosx=-⎷ 3 2

6+k2π

ou x=-5π

6+k2π,k?Z

5π 6 5π 6 -⎷3 2

2. Résoudresin3x=12

sin3x=1 2

6+k2π

ou

3x=π

6+k2π,k?Z

?x=5π

18+k2π3ou

x=π

18+k2π3,k?Z

5π

6π6

1 2

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 8 sur16

Chapitre : TrigonométrieSeconde

Les solutions dans l"intervalle[0,2π]sont :

S [0,2π]=?π

Celles dans l"intervalle[-π,π]sont :

S -11π 5π 18 18 7π

1829π1813π

18

17π

18

11π

1825π18

Celles dans l"intervalle[-π,3π]sont :

S [-π,3π]=? -11π

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 9 sur

16

Chapitre : TrigonométrieSeconde

3.QCM

QuestionsRéponses

1.Si la droite a pour équationx= 5alors cette droite est?parallèle à l"axe des

abscisses ?parallèles à l"axe des ordonnées ?quelconque

2.Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs?opposés

?colinéaires ?inverse

3.SiA(2;-1)etB(-2;1)alors une équation de(AB)est?y=12x+ 1

?y= 2x ?y=-12x

4.SiA(-2;-3)B(2;3)C(6,9)alors les coordonnées du

centre de gravité sont?G(2;3) ?G(3;2) ?G(-2;2)

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 10 sur16

Chapitre : TrigonométrieSeconde

4 Les exercices

1. Donner une mesure en radians des valeurs suivantes :

a.60° b.270° c.120° d.300°

2. Déterminer :

a.sin?2π 3? b.cos?5π6? c.sin?7π6? d.sin? 4? e.cos?4π3? f.sin? -3π2?

3. Sachant quex?[π

2,π]:

(a) Déterminercosxsachant quesinx=⎷ 3 3 (b) Déterminersinxsachant quecosx=-1 2

4. Résoudre sur[-π,π]:

a.cosx=-⎷ 2

2b.sinx=12c.-cosx=-⎷

3

2d.sinx=-⎷

2 2

5. Résoudre sur[-π,3π]:

a.cosx=⎷ 2

2b.sinx=-12c.cosx=-⎷

3

2d.sinx=⎷

3 2

6. Résoudre sur[-π,π]:

a.cos2x=1

2b.4sin2x-3 = 0c.cos?

x-π4? 3

2d.sin2x=12

7. Résoudre sur[-π,π]:

a.cosx?1

2b.sinx?0c.sinxcosx?0

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 11 sur

16

Chapitre : TrigonométrieSeconde

8.QCM

QuestionsRéponses

1.M est le point image du nombre réel-π3sur un cercle

trigonométrique. M est aussi le point image de : ?2π3 ?5π3 ?-5π3

2.sin2π3est égal à

?12 ?-⎷3 2 ?⎷3 2

3.cos15π6est égal à

?1 ?-1 ?0

4.cos3est?positif

?négatif ?nul

5.Sachant quecosx=35et quex??

π;3π2?

alorssinx vaut : ?25 ?-45 ?45

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 12 sur16

Chapitre : TrigonométrieSeconde

5 Les corrigés

1. a.60°=π

3rd b.270°= 3×90°= 3×π

2rd=3π2rd

c.120°= 2×60°= 2×π

3rd=2π3rd

d.300°= 10×30°= 10×π

6rd=5π3rd

2. a.sin?2π

3? = sin?

π-π3?

= sin?π3? 3 2 b.cos?5π 6? = cos?

π-π6?

=-cos?π6? 3 2 c.sin?7π 6? = sin?

π+π6?

=-sin?π6? =-12 d.sin?quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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