TRIGONOMÉTRIE - Philippe DEPRESLE
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TRIGONOMÉTRIE
Ph DEPRESLE
27 juin 2015
Table des matières
1 Le radian : unité de mesure d"angle2
2 Le cercle trigonométrique2
3 Cosinus et Sinus3
3.1 Enroulement d"une droite autour du cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . 3
3.2 Cosinus et sinus d"un nombre réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 Valeurs particulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4 Configuration du rectangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.5 Configuration du triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.6 Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Les exercices11
5 Les corrigés13
1Chapitre : TrigonométrieSeconde
1 Le radian : unité de mesure d"angle
Définition 1.SoitCun cercle de centreOet de rayon 1. Un radian est la mesure d"un angle au centre qui intercepte unarc de longueur 1 du cercle. La mesure en radians d"un angle au centre est donc la longueurde l"arc que l"angle intercepte sur le cercleC. Propriétés 1.La mesure d"un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés.Tableau de proportionnalité :
mesure de l"angle en degré360°180°90°60°45°30°...x° longueur de l"arc du cercle trigono- métrique2πππ 2 3 46...x×π
180mesure de l"angle en radian2πππ 2 3 4
6...x×π
180?= 1 1rd ??A 11
2 Le cercle trigonométrique
On oriente les cercles du plan en choisissant un sens positif(ou direct) : le sens positif est le sens
contraire des aiguilles d"une montre.613π6
49π4
37π3
25π2
-π611π6 -π47π4 -π35π3 -π23π2 2π 3 3π 4 5π 6 -π,π0,2π 5π 6 3π 4 -2π 3 O?Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 2 sur16
Chapitre : TrigonométrieSeconde
Définition 2.
Un cercle trigonométrique est un cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est orienté dans le sens direct (on dit aussi le sens positif).La longueur du cercle trigonométrique est2π
La longueur du quart de cercle trigonométrique estπ 2 2 13 Cosinus et Sinus
3.1 Enroulement d"une droite autour du cercle trigonométrique
A tout réel est associé un point sur le cercle trigonométriqueSoitAun point du cercle.On accroche au pointAune ficelle.
•Soitx >0 La ficelle de longueurxest enroulée autour du cercle dans le sens +, à son extrémité le pointM. On dit queMest associé au réelx. •Soitx <0La ficelle de longueur|x|est enroulée autour du cercle dans le sens -, à son extrémité le
pointM. On dit queMest associé au réelx. •Soitx= 0C"est le pointAqui est associé au réelx.
Tout pointMdu cercle trigonométrique est associé a une infinité de réels SoitMun point du cercle trigonométrique. On considère un trajet, sur le cercle, pour aller deAàM. On associe alors un réel au point M: •La longueur du trajet si celui ci suit le sens positif. •L"opposée de cette longueur s"il suit le sens négatif. on associe alors au pointM: mais aussi -2π+? ?+ 2π tous les?+k2π, k?Z ?-2π? ?+ 2π ?A? M? ?Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 3 sur16
Chapitre : TrigonométrieSeconde
3.2 Cosinus et sinus d"un nombre réel
Définition 3.Soit dans un repère orthonormé(O,#»i ,#»j), un cercle trigonométrique de centreOetAle point du cercle de coordonnées(0,1). A tout réelαon associe un pointMsur le cercle, alors : cosαest l"abscisse deM sinαest l"ordonnée deMOn noteM(cosα,sinα)
sinα cosαα ?O? A? MPropriétés 2.?α?R,-1?cosα?1
α?R,-1?sinα?1
α?R,sin2α+ cos2α= 1
α?R,cos(α+k2π) = cosαetα?R,sin(α+k2π) = sinα?k?Z3.3 Valeurs particulières
•pourx= 0,π2,π,-π2
cos(π2) = 0 sin(π2) = 1 cos(-π2) = 0 sin(-π2) =-1 A(0) cos(0) = 1 sin(0) = 0cos(π) =-1 sin(π) = 0A?(π) ?O? ?B(π2) B 2) •pourx=π4Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 4 sur
16Chapitre : TrigonométrieSeconde
Eest situé sur la1erebissectrice d"équationy=x.Donccosπ
4= sinπ4et d"autre partcos2π4+ sin2π4= 1
On obtient2cos2π
4= 1soitcos2π4=12
cos4=⎷
22carπ4?[0,π2[donccosπ4>0
On a donccosπ
4= sinπ4=⎷
2 2 y=x sinπ4 cos 4 ?O?A(0) ?E ?B(π2) ?A?(π) •pourx=π3 sinπ3 cos 3 ?O? ?F(π3) A(0) B(π2)OAFest équilatéral ( car isocèle avec un angle de 60° ) donc sa hauteur issue deFest aussi médiatrice de[OA]donccosπ3=12et puisque
cos 2π3+ sin2π3= 1, il vient quesinπ3=⎷
3 2car sin 3>0On a donccosπ
3=12etsinπ3=⎷
3 2 •pourx=π 6 En raisonnant comme précédemment,OBGest équilatéralOn a doncsinπ
6=12etcosπ6=⎷
3 2 sinπ6 cos 6 ?O?A(0) ?G(π6)?B(π
2)Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 5 sur16
Chapitre : TrigonométrieSeconde
3.4 Configuration du rectangle
-xπ-xπ+x
?O?A(0) ?B(π2) ?M? cos(π-x) =-cosxcos(π+x) =-cosxcos(-x) = cosx sin(π-x) = sinxsin(π+x) =-sinxsin(-x) =-sinxAPPLICATIONS :
-π3-2π3,4π32π 3 12-12π
3 O cos(2π3) =-cos(π3) =-12cos(-π3) =12cos(-2π3) =-12 sin(2π3) = sin(π3) =⎷
32sin(-π3) =-⎷
32sin(-2π3) =-⎷
3 2Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 6 sur
16Chapitre : TrigonométrieSeconde
-π67π6,-5π65π 6121 2π 6 ?O cos(5π6) =-⎷ 3
2cos(-π6) =⎷
32cos(-5π6) =-⎷
3 2 sin(5π6) =12sin(-π6) =-12sin(-5π6) =-12
-π45π4,-3π43π4π4
?O cos(3π4) =-⎷ 22cos(-3π4) =-⎷
22cos(π4) =⎷
2 2 sin(3π4) =⎷
22sin(-3π4) =-⎷
22sin(-π4) =-⎷
2 2Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 7 sur
16Chapitre : TrigonométrieSeconde
3.5 Configuration du triangle
MetM?sont symétriques par rapport à la1erebissectrice d"équationy=x.Donccos(π
2-x) = sinx
sin(2-x) = cosx.
M ?etM??sont symétriques par rapport à l"axe des ordonnées.Donccos(π
2+x) =-cos(π2-x) =-sinx
sin(2+x) = sin(π2-x) = cosx.
M??(π2+x)M?(π2-x)
M(x) O3.6 Equations
Exemples :
1. Résoudrecosx=-⎷
3 2 cosx=-⎷ 3 26+k2π
ou x=-5π6+k2π,k?Z
5π 6 5π 6 -⎷3 22. Résoudresin3x=12
sin3x=1 26+k2π
ou3x=π
6+k2π,k?Z
?x=5π18+k2π3ou
x=π18+k2π3,k?Z
5π6π6
1 2Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 8 sur16
Chapitre : TrigonométrieSeconde
Les solutions dans l"intervalle[0,2π]sont :
S [0,2π]=?πCelles dans l"intervalle[-π,π]sont :
S -11π 5π 18 18 7π1829π1813π
1817π
1811π
1825π18
Celles dans l"intervalle[-π,3π]sont :
S [-π,3π]=? -11πNotes de cours: Ph DEPRESLEPage 9 sur
16Chapitre : TrigonométrieSeconde
3.QCMQuestionsRéponses
1.Si la droite a pour équationx= 5alors cette droite est?parallèle à l"axe des
abscisses ?parallèles à l"axe des ordonnées ?quelconque2.Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs?opposés
?colinéaires ?inverse3.SiA(2;-1)etB(-2;1)alors une équation de(AB)est?y=12x+ 1
?y= 2x ?y=-12x4.SiA(-2;-3)B(2;3)C(6,9)alors les coordonnées du
centre de gravité sont?G(2;3) ?G(3;2) ?G(-2;2)Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 10 sur16
Chapitre : TrigonométrieSeconde
4 Les exercices
1. Donner une mesure en radians des valeurs suivantes :
a.60° b.270° c.120° d.300°2. Déterminer :
a.sin?2π 3? b.cos?5π6? c.sin?7π6? d.sin? 4? e.cos?4π3? f.sin? -3π2?3. Sachant quex?[π
2,π]:
(a) Déterminercosxsachant quesinx=⎷ 3 3 (b) Déterminersinxsachant quecosx=-1 24. Résoudre sur[-π,π]:
a.cosx=-⎷ 22b.sinx=12c.-cosx=-⎷
32d.sinx=-⎷
2 25. Résoudre sur[-π,3π]:
a.cosx=⎷ 22b.sinx=-12c.cosx=-⎷
32d.sinx=⎷
3 26. Résoudre sur[-π,π]:
a.cos2x=12b.4sin2x-3 = 0c.cos?
x-π4? 32d.sin2x=12
7. Résoudre sur[-π,π]:
a.cosx?12b.sinx?0c.sinxcosx?0
Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 11 sur
16Chapitre : TrigonométrieSeconde
8.QCMQuestionsRéponses
1.M est le point image du nombre réel-π3sur un cercle
trigonométrique. M est aussi le point image de : ?2π3 ?5π3 ?-5π32.sin2π3est égal à
?12 ?-⎷3 2 ?⎷3 23.cos15π6est égal à
?1 ?-1 ?04.cos3est?positif
?négatif ?nul5.Sachant quecosx=35et quex??
π;3π2?
alorssinx vaut : ?25 ?-45 ?45Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 12 sur16
Chapitre : TrigonométrieSeconde
5 Les corrigés
1. a.60°=π
3rd b.270°= 3×90°= 3×π2rd=3π2rd
c.120°= 2×60°= 2×π3rd=2π3rd
d.300°= 10×30°= 10×π6rd=5π3rd
2. a.sin?2π
3? = sin?π-π3?
= sin?π3? 3 2 b.cos?5π 6? = cos?π-π6?
=-cos?π6? 3 2 c.sin?7π 6? = sin?π+π6?
=-sin?π6? =-12 d.sin?quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] exercices trigonométrie 4eme pdf
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