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3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

1 I) Relations trigonométriques dans le triangle rectangle.

1) Définitions.

angles aigus. Nous avons déjà vu en 4ème Soit un triangle ABC rectangle en A et un de ses angles aigus, c c : cos c = côté adjacent à c hypoténuseavec 0 < cos c < 1 Sinus c : sin c = côté opposé à c hypoténuseavec 0 < sin c < 1 c : Tan c = côté opposé à c côté adjacent à cavec tan c > 0

être supérieure à 1 )

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

2

Sur la figure ci-dessus :

cos b = AB

BC cos

c = AC BC sin b = AC

BC sin

c = AB BC tan b = AC

AB tan

c = AB AC

Exemple :

cos m = MP

MN = 6

10 = 0.6

tan n = MP

NP = 8

6 1.33

sin m = PN

MN = 8

10 = 0.8

2) Angles complémentaires.

Puisque ABC est un triangle rectangle en A,

c et b sont deux angles aigus complémentaires. ( c + b = 90 ° ).

On remarque que

cos b = sin c , sin b = cos c , tan b = inverse de tan c = 1 tan c A C B

Hypoténuse Côté

opposé à c

Côté

adjacent à c

Côté

adjacent à b

Côté

opposé à b 6 10 8 M P N

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

3 Prop complémentaire. complémentaire.

Exemples :

Si cos 60 ° = 0.5 alors sin 30 ° = 0.5

Si tan

a = 4 alors tan ( 90 a ) = 1

4 = 0.25

sin

R = cos

S = TS

RS = 9

15 = 3

5 = 0.6

tan

S = 12

9 = 4

3 donc tan

R = 3

4 = 0.75

3) Avec la calculatrice :

Il faut bien vérifier que la calculatrice est en mode degré.

On peut déterminer une valeur approchée

soit du sinus, du cosinus ou de la tangente : si = 50 ° alors sin = ? on tape sin 50 exe la calculatrice affiche 0.7660444 donc une valeur approchée à 0.01 près de sin est 0.77. sin 0.77 dont le sinus, le cosinus ou la tangente sont donnés. si tan = 2 alors = ? on tape shift tan 2 la calculatrice affiche 63.434949 ou 2nd

à 0.1 près est 63.4 °

63.4 °

15 12 R S T 9

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

4

0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°

cos 1 0.98 0.94 0.87 0.77 0.64 0.5 0.34 0.17 0 sin 0 0.17 0.34 0.5 0.64 0.77 0.87 0.94 0.17 1 tan 0 0.18 0.36 0.58 0.84 1.19 1.73 2.75 5.67 4) . a) .

Dans le triangle rectangle MON, ( je

connais la longueur MO du côté opposé à

N, et la longueur MN de

hypoténuse, donc je peux utiliser le N.) sin

N = OM

MN

N = sin 1 ( 8

17 ) sin

N = 8

17

N 28.07°

8 cm 17 cm M O N E 15 cm 7 cm S T

Dans le triangle rectangle EST, ( je

connais la longueur ES du côté opposé à

T, et la longueur ST du côté adjacent de

T donc je peux utiliser la tangente de T.) tan

T = ES

ST

T = tan 1 ( 15

7 ) tan

T = 15

7

T 65°

P I E 25 cm
19 cm

Dans le triangle rectangle PIE, (je

connais la longueur PI du côté adjacent de P je peux donc utiliser le cosinus de P.) cos

P = PI

PE

P = cos 1 ( 19

25 )
cos

P = 19

25

P 40.54°

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

5 b) . c) Calcul de la longu. d) Problème de synthèse.

1) Calculer BH

2) Calculer

BAC

3) Calculer AC.

T H E 25 cm

24°

Dans le triangle rectangle THE, ( je

T, la longueur

hypoténuse, et je cherche la longueur du côté adjacent de

T, donc je

T.) cos

T = TH

TE TH = 25 cos 24

cos 24 = TH

25 TH 22.8 cm

9 cm R I Z

32°

Dans le triangle rectangle RIZ, ( je

Z, la longueur RI du côté opposé à

Z et je

Z.) sin

Z = RI

RZ RZ = 9

sin32 sin 32 = 9

RZ RZ 16.98 cm

RZ sin 32 = 9

8 cm 15 cm A B C H

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

6

1) Calcul de BH

Pythagore :

BC ² = BH ² + HC ² BH ² = 225 64

15 ² = BH ² + 8 ² BH ² = 161

BH ² = 15 ² 8 ² BH = 161

BH 12,7 cm

2) Calcul de

BCH puis de BAC

Dans le triangle BHC rectangle en H,

cos

BCH = HC

BC

BHC = cos 1 ( 8

15 ) cos

BHC = 8

15

BHC 58 °

Dans le triangle ABC, rectangle en B, les angles aigus sont complémentaires, donc BCA +

BAC = 90 °

donc

BAC 90 58 donc

BAC 32°

3) Calcul de AC :

Dans le triangle rectangle ABC,

sin

BAC = BC

AC AC = 15

sin32 sin 32 = 15

AC AC 28,3 cm

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

7 5) triangle rectangle. a) Relation entre sinus et cosinus. sin ² + cos ² = 1

Dans le triangle ABC rectangle en A

sin

B = AC

BC et cos

B = AB

BC donc sin ²

B + cos ²

B = ( AC

BC ) ² + ( AB

BC ) ²

= AC ²

BC ² + AB ²

BC ²

= AC ² + AB ²

BC ²

or dans le triangle rectangle ABC, je peux appliquer le théorème de

Pythagore : AC ² + AB ² = BC ²

donc sin ²

B + cos ²

B = BC ²

BC ²

donc sin ²

B + cos ²

B = 1 ,

ceci quel que soit

B compris entre 0° et 90°

Prop : Dans un triangle rectangle ayant un angle aigu , sin ² + cos ² = 1 b) Relation entre sinus cosinus et tangente. sin cos = tan

Dans le triangle ABC rectangle en A,

A C B

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

8 sin B cos B = AC BC AB BC = AC

BC BC

AB = AC

AB = tan

B Prop : Dans un triangle rectangle ayant un angle aigu , sin B cos

B = tan

B On donne cos = 0.6 en déduire sin et tan sans calculette. + cos ² = 1 donc sin ² + 0.6 ² = 1 donc sin ² = 1 0.6² = 1 0.36 = 0.64 donc sin = 0.64 = 0.8

Je sais que tan = sin

B cos

B donc tan = 0.8

0.6 = 8

6 = 4

3

6) Angles remarquables.

Soit un triangle ABC équilatéral de côté a, et sa hauteur [AH] Soit un triangle rectangle isocèle MNP de sommet M, avec MN = NP = a BC A H M N P a a3 2 a 2 a a a 2

60 °

30 °

45 °

45 °

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

9 Dans le triangle équilatéral ABC, les trois angles valent chacun 60 °, donc ABC = 60 °. Dans le triangle ABH rectangle en H, les angles aigu sont complémentaires, donc

BAH = 90

ABH = 90 60 = 30 °

vaut a 3

2, donc AH = a 3

2. Dans le triangle MNP isocèle rectangle , les angles aigus valent chacun

45 °

De 2 donc

NP = a 2

Calculer le cosinus, le sinus et la tangente des trois angles remarquables : 30 °, 45 °, et 60 °.

Dans le triangle BAH rectangle en H,

cos

BAH = AH

AB sin

BAH = BH

AB cos 30 ° = a 3 2 a sin 30 ° = a 2 a cos 30 ° = a 3 2 1 a sin 30 ° = a 2 1 a cos 30 ° = 3

2 sin 30 ° = 1

2

Je sais que tan 30 ° = sin 30 °

cos 30 ° tan 30 ° = 1 3 tan 30 ° = 1 2 3 2 tan 30 ° = 1 3 3 3 tan 30 ° = 1 2 2

3 tan 30 ° = 3

3

Dans le triangle rectangle isocèle MNP,

cos

MNP = NM

NP cos 45 ° = 1 2

22

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

10 cos 45 ° = a a 2 cos 45 ° = 1

2 cos 45 ° = 2

2 complémentaire. 45 ° a pour complémentaire 45 °.

Donc cos 45 ° = sin 45 ° = 2

2

Je sais que tan 45 ° = sin 45 °

cos 45 ° tan 45 ° = sin 45 ° sin 45 ° tan 45 ° = 1 complémentaire. 60 ° est le complémentaire de 30 °. Donc cos 60 ° = sin 30 ° donc cos 60 ° = 1 2 sin 60 ° = cos 30 ° donc sin 60 ° = 3 2 je sais que deux angles complémentaires ont leurs tangentes qui sont donc tan 60° = inv tan 30° tan 30° = 3 tan 60 ° = inv 1 3

TABLEAU RECAPITULATIF :

sinus cosinus tangente

0 ° 0 1 0

30 ° 3

2 1 2 3 3

45 ° 2

2 2 2 1

60 ° 1

2 3 2 3

90 ° 1 0

3ème Chapitre G2 TRIGONOMETRIE

ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE

11 II) Angle inscrit et angle au centre dans un cercle.

1) Définitions.

a) Angle inscrit dans un cercle. Df : Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est situé sur le cercle, et dont les côtés coupent cercle.

ABC est un angle inscrit dans

le cercle C.

AC est par

ABC. b) Angle au centre dans un cercle. Df : Un angle au centre dans un cercle est un angle dont le sommetquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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