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2020Fonctions usuelles Seconde 7

I La fonction carrée

I.1définition, variations et courbe

On appelle fonction carrée, la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2. Sa courbe représentative tracée

ci-dessous est une parabole symétrique par rapport à l"axe des ordonnées. la fonction carrée est paire — Un carré est toujours positif ou nul. Pour tout réelx, on ax2?0.

— Un nombre et son opposé ont le même carré. Pour tout réelx, on ax2= (-x)2ce qui stipule bien que

la fonction carrée est paire.

123456789

-11 2 3-1-2-3-40 Étude des variations de la fonction carrée surR.

1. sur[0;+∞[:

Soientaetbdeux réels de[0,+∞[tels quea < b. On af(a)-f(b) =a2-b2= (a-b)(a+b)qui est une quantité négative, donc on arrive àf(a)?f(b), ce qui assure que la fonction carrée est croissante sur [0,+∞[.

2. sur]- ∞;0]:

Soientaetbdeux réels de[0,+∞[tels quea < b. On af(a)-f(b) =a2-b2= (a-b)(a+b)qui est une quantité positive ici, donc on arrive àf(a)?f(b), ce qui assure que la fonction carrée est décroissante sur]- ∞;0]. Dressons ici le tableau de variations et de signe de la fonc- tion carrée : x-∞0+∞ f(x) 0

I.2conséquences

— Deux nombres négatifset leurscarréssont rangésdans l"ordrecontraire.Sia?b?0alorsa2?b2

— Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si0?a?balorsa2?b2

EXEMPLES

1. Déterminer un encadrement dex2pour1?x?5

2. Déterminer un encadrement dex2pour-4?x?-1

3. Déterminer un encadrement dex2pour-3?x?5

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1.1?x?5donne12?x2?52donc1?x2?25

2.-4?x?-1donne(-4)2?x2?(-1)2car on travaille avec des nombres négatifs, donc en

passant au carré les inégalités changent de sens car la fonction carrée y est décroissante, donc

1?x2?16

3. Pour-3?x?5: attention ici les deux bornes de l"intervalle de départ ontdes signes opposés,

on va faireun tableaude variation dex2sur[-3;5]pour déterminer le minimum et le maximum : x-30 5 x 29
025
On constate que le minimum est0et le maximum25donc0?x2?25

I.3équations, inéquations

I.3.1équationsx2=kaveckréel

— Sik <0, comme un carré est positif, l"équationx2=kn"a pas de solution. — Sik= 0, l"équationx2= 0a pour unique solutionx= 0 — Sik >0, résoudre l"équationx2=k, revient à résoudre l"équation x

2-k= 0??

x+⎷ k?? x-⎷k? = 0.

On obtient les deux solutionsx=-⎷

koux=⎷k. k <0 k= 0k >0 1 1 0xy k 1 1 0xy 1 1 0xy ? ?k k⎷k x2=kn"a pas de solutionx2= 0a pour unique solution0x2=ka deux solutions-⎷kou⎷k

Résoudre une inéquationx2?koux2?kaveckréel revient à déterminer la position relative de la

parabole par rapport à la droitey=k.

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k <0 1 1 0xy k

L"inéquationx2?kn"a pas de so-

lution :

S=∅

L"inéquationx2?kest toujours

vraie : S=R k >0 1 1 0xy k k⎷k 1 1 0xy k k⎷k

L"inéquationx2?ka pour ensemble solution :

S=? k;⎷k?

L"inéquationx2?ka pour ensemble solution :

S=? k? ??⎷k;+∞?

I.3.3Exemples

Résoudre dansRles équations et inéquations :

1.x2= 9

2.x2= 73.x2=-5

4.x2?45.x2?9

6.x2<5

1.x2= 9??x=-⎷9oux=⎷9ainsix=-3oux= 3.S={-3;3}

2.x2= 7??x=-⎷

7oux=⎷7doncS={-⎷7;⎷7}

3.x2=-5n"a pas de solutions car un nombre réel élevé au carré est toujours positif ou nul.S=∅

4.x2?4a pour ensemble des solutionsS= [-⎷

4;⎷4] = [-2;2]

5.x2?9a pour ensemble des solutionsS=]- ∞;-⎷

9]?[⎷9;+∞[=]- ∞;-3]?[3;+∞[

6.x2<5a pour ensemble des solutionsS=]-⎷

5;⎷5[

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II la fonction inverse

II.1Définition

On appelle fonction inverse, la fonctionfdéfinie surR?=]- ∞;0[?]0;+∞[par :f(x) =1x. Sa courbe

représentative tracée ci dessous est une hyperbole, symétrique par rapport à l"origine du repère. La

fonction inverse est impaire.

II.2courbe et variations

II.2.1variations

Étude des variations defsur]0;+∞[:

Soientaetbdeux réels de]0,+∞[tels quea < b. On af(a)-f(b) =1 a-1b=b-aabqui est une quantité

positive, donc on arrive àf(a)?f(b), ce qui assure que la fonction inverse est décroissante sur]0,+∞[.

On montre de même que la fonction inverse est décroissante sur]- ∞;0[ Dans le tableau de variations ci-dessous, la double barre stipule bien que0est une valeur INTERDITE x-∞0+∞ f(x)

II.2.2courbe

— On remarque bien que0est une valeur interdite pour la fonction inverse, car0n"a pas d"inverse.

— Par ailleurs l"inverse de l"opposé est égal à l"opposé de l"inverse, c"est à dire que pour toutxnon nul :

1

-x=-1x— Les pointsM(x;f(x))etM?(-x;f(-x))sont symétriques par rapport à l"origine du repère.

011 M M ?x1 x -x 1 x

1. On remarque une ambigüité dans le tracer, en fait elle ne traversera jamais l"axe des ordonnées (sinon0

aurait une image), et ne coupera jamais l"axe des abscisses .

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2. On peut rendref(x) =1xaussi grand que l"on veut, pourvu quexsoit suffisamment proche de 0 et

positif.

3. On peut rendref(x) =1

xaussi proche de 0 que l"on veut, pourvu quexsoit suffisamment grand.

Graphiquement, l"hyperbole se rapproche de l"axe des abscisses lorsquextend vers+∞, et de l"axe des

ordonnées lorsquexse rapproche de 0. On dit que l"hyperbole a pour asymptotes les axes du repère.

III La fonction cube

définition, variations et courbe

On appelle fonction cube, la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x3. Sa courbe représentative tracée

ci-dessous est symétrique par rapport à l"origine du repère. la fonction cube est impaire

— Un nombre et son opposé ont des cubes opposés. Pour tout réelx, on a(-x)3=-x3ce qui stipule bien

que la fonction cube est impaire.

123456789

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -101 2 3-1-2-3-40 Étude des variations de la fonction cube sur[0;+∞[.

1. sur[0;+∞[:

Soientaetbdeux réels de[0,+∞[tels quea < b. On af(a)-f(b) =a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)qui est une quantité négative, donc on arrive àf(a)?f(b), ce qui assure que la fonction cube est croissante sur [0,+∞[.

2. Commefest impaire, elle est aussi croissante sur

]- ∞;0] Dressons ici le tableau de variations de la fonction cube : x-∞0+∞ f(x)0

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IV La fonction racine carrée

définition, courbe et variations

On appelle fonction racine carrée, la fonctionfdéfinie sur[0;+∞[parf(x) =⎷x. Sa courbe représen-

tative tracée plus loin est "une moitié" de la parabole de la fonction carrée "couchée". — On ne peut pas extraire la racine carrée d"un nombre réel strictement négatif — Cela justifie bien le fait que la fonction racine est bien définie sur[0;+∞[

1. Étude des variations de la fonction racine sur[0;+∞[. sur[0;+∞[:

Soientaetbdeux réels de[0,+∞[tels quea < b. On af(a)-f(b) =⎷ donc : f(a)-f(b) =a-b

⎷a+⎷bqui est une quantité négative, donc on arrive àf(a)?f(b), ce qui assure que la

fonction racine est croissante sur[0,+∞[.

2. Dressons ici le tableau de variations de la fonction racine :

x0+∞ f(x) 0

3. et enfin sa courbe :

123
-11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13-10

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V Comparaison des fonctions usuelles

V.1Les courbes et objectifs

Sur le graphique ci-dessous, je vous ai tracé, chère seconde7, les courbes représentatives des fonctions

racine, carrée,cube, inverse ainsi que la droite représentant la fonctionl(x) =xpourxpositif ou nul. L"objectif

étant de fournir une comparaison de ces 5 fonctions selon la position dexdans[0;+∞[ 1 1 0 f(x) =⎷x g(x) =x2 h(x) =x3 k(x) = 1/x l(x) =x

V.2La comparaison

A l"aide des informations fournies par le graphique, nous pouvons comparer les nombres : x,x2,x3,⎷ xet1xsur les intervalles]0;1]et sur[1;+∞[.

1. si0< x?1, on a :0< x3?x2?x?⎷x?1x

2. six?1, on a :1

x?⎷x?x?x2?x3

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VI Exercices

exercice 1

En utilisant la courbe de la fonction de la fonction carrée, préciser dans chacun des cas suivant l"intervalle

dans lequel appartientx2lorsquexappartient à l"intervalleI.

1.I= [0;1]

2.I=?1

2;2?

3.I= [-1;3]

4.I= [-1;+∞[

5.?

3;⎷2?

exercice 2

En utilisant la courbe de la fonction inverse, à quel(s) intervalle(s) appartient1/xlorsquexappartient à

l"intervalleI?

I=]0;1]I=?1

2;2?

I= [-1;0[?]0;3]

exercice 3

On pose pour toutxréel,f(x) =x2etg(x) =x3.

1. Vérifier quef(x)-g(x) =x2(1-x)

2. Résoudref(x)-g(x) = 0

3. Dresser le tableau de signe def(x)-g(x)

4. Donner l"ensemble des solutions def(x)-g(x)?0

5. Comparer alorsx3etx2selon les intervalles et retrouver un résultat du cours

exercice 4 On pose pour toutxréel non nul,f(x) =xetg(x) =1 x.

1. Vérifier que pour toutx?= 0,f(x)-g(x) =x2-1

x

2. En déduire quef(x)-g(x) =(x-1)(x+ 1)

x

3. Dresser le tableau de signe def(x)-g(x)

4. Donner l"ensemble des solutions def(x)-g(x)?0

5. Comparer alorsxet1

xselon les intervalles et retrouver un résultat du cours exercice 5

Résoudre les équations suivantes :

1.3x2-2 = 0dansR

2.(x2+ 3)(x2-5) = 0

3.⎷

x= 5sur[0;+∞[

4.x=⎷

xsur[0;+∞[

5.x3=xsurR

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exercice 6 fest la fonction carré définie pour tout réelxparf(x) =x2.

Sa courbe représentative est la parabole(P)tracée ci-dessous dans le plan muni d"un repère orthogonal.

481216202428

-4

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-70xy

(P) Cg

1. Calculer les images des réels :

?-10-3?,⎷ 3

2et2-⎷3.

2. Quels sont les antécédents éventuels de 20?

3. Le pointA(3,6;13)appartient-il à la parabole(P)?

4. Soitaun réel tel que :-3?a?2. Déterminer un encadrement dea2.

5. Soitgla fonction affine dont la courbeCgest représentée par la droite tracée sur le graphique. Elle est

telle queg(-3) = 18etg(5) = 6.

(a) Déterminer l"expression de deg(x)en fonction dex, c"est à dire déterminer les réelsaetbtels que

pour tout réelx,g(x) =ax+b

IND : Utiliser le cours sur les fonctions affines

(b) Montrer quef(x)-g(x) =? x+9 2? (x-3).

IND : Développer cette expression

(c) Résoudre dansRl"inéquationf(x)?g(x).

IND :Utiliser l"expression factorisée de la question précédente, pour faire un tableau de signe def(x)-g(x)

puis regarder dans la dernière les signes-, car on veut quef(x)-g(x)?0

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