01 - 2 Révisions danalyse Démonstrations
Théorème 1.11 : composée de fonctions admettant des limites de fonctions continues. Soient I et J des intervalles de
LIMITES DES FONCTIONS (Chapitre 2/2)
Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée Calculer la limite de la fonction f en . ... Démonstration dans le cas de la figure 1 :.
Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Si une fonction admet l et l pour limites en un même point x0 alors l = l . Démonstration. Même principe que pour l'unicité de la limite d'une suite.
Chapitre 11 : Dérivation
21 janv. 2014 Une fonction f est dérivable en a si son taux d'accroissement en a admet une limite quand h tend vers 0. On appelle alors nombre dérivé de f ...
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
d'environ 5h. V. Limites de la fonction exponentielle. 1) Limites aux bornes. Propriétés : lim. ?Ÿ. = +? et lim. ?. = 0. Démonstration :.
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Démonstration. Supposons f dérivable en x0 alors la limite lim x?x0 x=x0 f(x) ? f(x0) x ? x0 existe
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
Démonstration : La fonction ln est continue sur 0;+????? donc pour tout réel a > 0
Limites et continuité
La fonction f admet l pour limite en a si et seulement si elle admet l pour limite à gauche et à droite en a. Démonstration : Nous le démontrons pour une
Terminale S - Limites de fonctions
( ) = +? alors par définition
ROC : dérivée dune fonction composée
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I soit f dérivable sur u(I). Soit a dans Il faut calculer la limite du taux d'accroissement.
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TS Limite d'une fonction composée Plan du chapitre : I Théorème II Exemples d'utilisation directe III Limites par changement de variable
[PDF] Terminale S - Limites de fonctions - Parfenoff org
Limites de fonctions I) Limite et opérations 1) Limite d'une somme Si a pour limite: +? ?? +? Si a pour limite:
[PDF] LIMITES DUNE FONCTION - Christophe Bertault
Démonstration (i) Par l'absurde faisons l'hypothèse que f possède deux limites ? et ?? DISTINCTES Il existe alors un voisinage
[PDF] Limites de fonctions composées
31 jan 2011 · On a besoin d'étudier la limite en ( est un nombre réel ou l'infini) d'une fonction composée : f = v ° u Rien de plus simple si on se
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Démonstration dans le cas de la figure 1 : donc tout intervalle m réel contient toutes les valeurs de f (x) dès que x est suffisamment grand soit : Or
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Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée Comme limite de fonctions composées on a lim Démonstration dans le cas de la figure 1 :
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01 : démonstrations 1 Fonctions réelles ou complexes de variable réelle : limites et continuité (Sup) Théorème 1 1 : unicité d'une limite en un point
Limite dune fonction composée Continuité et limite - Mathsbook
Au préalable je vais vous définir la notion de fonction composée pour ensuite vous montrer comment déterminer la limite d'une telle fonction
[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Si une fonction admet l et l pour limites en un même point x0 alors l = l Démonstration Même principe que pour l'unicité de la limite d'une suite
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9 oct 2014 · 3 Limites des fonctions élémentaires 5 Limite d'une fonction composée limites nulles en +? et ?? pour les deux premières
Comment calculer la limite d'une fonction composée ?
Pour calculer la limite d'une fonction composée, il suffit de calculer les limites « au fur et à mesure » en commen?nt par les limites des expressions « les plus intérieures ». u ( x ) = 2 + 1 x 2 et f ( x ) = x .Comment démontrer la limite d'une fonction ?
1La limite d'une fonction f correspond à la valeur vers laquelle se rapproche la fonction lorsque son argument se rapproche d'une certaine valeur.2Mathématiquement, on écrit.3? x ? a f ( x ) = l \\lim \\limits_{x \\to a} f(x) = l x?alimf(x)=l.4On dit que f tend vers l lorsque x tend vers a.- 6/ Continuité d'une fonction composée
Si g est continue sur l et si f est continue sur g (l) alors est continue sur l .
Chapitre 2Continuit´e des fonctions r´eelles2.1 G´en´eralit´esD´efinition 2.1.1.Une fonction r´eelleest une application d"une partiedeRdansR.
La partieest appel´ee ensemble (ou domaine) de d´efinition de la fonction. Une fonction peut ˆetre d´efinie de plusieurs fa¸cons : - Par une formule explicite :() = 23cos - Abstraitement :() est le nombre de nombres premiers compris entre 0 et.
2.2 Limite d"une fonction en un point
Soitune partie deR, et soit0R. On dit que0estadh´erent`as"il existe une suite d"´el´ements dequi converge vers0. On note l"ensemble des points adh´erents `a. Tout point deest adh´erent `a, c"est-`a-dire que . En g´en´eral,est plus grand que.Exemples.a) Si= [01[, alors
= [01]. b) Si=]01[]1+[, alors = [0+]. c) Si=sin()N, alors = [11].D´efinition 2.2.1.Soit:Rune fonction, et soit0
. On dit queadmetRpour limite en0si :
pour tout 0, il existe 0 tel que, pour tout,0 = ()
ou, avec des quantificateurs,0 00 = ()
17 Ceci se traduit de la fa¸con suivante : pour tout 0 (arbitrairement petit), il existe0 tel que, siest `a une distance inf´erieure `ade0, alors() est `a une distance
inf´erieure `ade. Insistons sur le fait qued´epend de! Pour exprimer le fait queadmetpour limite en0, nous noterons lim0() =ou()0
On peut aussi dire que() tend versquandtend vers0. Pour que ceci ait un sens, il faut montrer l"unicit´e de la limite - quand elle existe. Proposition 2.2.2.Si une fonction admetetpour limites en un mˆeme point0, alors=. D´emonstration.Mˆeme principe que pour l"unicit´e de la limite d"une suite.Nous avons clairement les ´equivalences :
lim0() =lim0(()) = 0lim0()= 0
Proposition 2.2.3.Soit:Rune fonction, et soit0. Siadmet une limite en0, alors celle-ci est forc´ement ´egale `a(0). D´emonstration.Soitla limite deen0. Soit 0, alors00 = ()
En particulier, en prenant=0, la condition0 est satisfaite, donc (0) Ainsi(0)est un r´eel positif inf´erieur `a toute quantit´e strictementpositive, donc est nul, c"est-`a-dire que=(0). D´efinition 2.2.4.Soit:Rune fonction, et soit0. On dit queest continue en0siadmet une limite en0, c"est-`a-dire (d"apr`es la proposition) si lim0() =(0)
D´efinition 2.2.5.Soit:Rune fonction, et soit0
. On dit queest prolongeable par continuit´e en0s"il existe une fonction: 0 Rcontinue en0telle que=.
Proposition 2.2.6.Soit:Rune fonction, et soit0
. Alorsest prolongeable par continuit´e en0si et seulement siadmet une limite (finie) en0. 182.2.1 Limites `a droite et `a gaucheD´efinition 2.2.7.Soit:Rune fonction, et soit0
(1) On dit queadmetpour limite `a droite en0si la restriction de`a]0+[ admetpour limite en0. On note lim00() =ou lim
+0() = (2) On dit queadmetpour limite `a gauche en0si la restriction de`a]0[ admetpour limite en0. On note lim00() =ou lim
0() = Pour que la limite `a droite existe, il faut que0soit un point adh´erent `a]0+[. Notons ´egalement que, mˆeme dans le cas o`uest d´efinie en0, la valeur(0) n"intervient plus dans le calcul de la limite `a droite, puisqu"on a enlev´e0de l"ensemble de d´efinition. On peut faire la mˆeme remarque pour la limite `a gauche.Remarque.Soit:Rune fonction, et soit0.
a) La fonctionadmet une limite en0(c"est-`a-dire,est continue en0) si et seulement si elle admet(0) comme limite `a droite et `a gauche en0. b) Siadmet des limites distinctes `a droite et `a gauche en0, alorsn"admet pas de limite en0. c) Soit:RRla fonction ´egale `a 1 surR, et nulle en 0. Alors lim00() = 1 = lim00()
et pourtantn"admet pas de limite en 0 (elle est discontinue en 0).2.2.2 Caract´erisation s´equentielle de la limite
L"id´ee est tr`es simple : pour faire tendrevers0, on peut prendre une suite qui converge vers0.Proposition 2.2.8.Soit:Rune fonction, et soit0
. Alorsadmetpour limite en0si et seulement si, pour toute suite()d"´el´ements dequi converge vers0, la suite()converge vers.
19 D´emonstration.. Supposons que lim0() =, et soit () une suite qui converge vers0. Soit 0. Alors il existe 0 tel que0 = ()
D"autre part, on sait que
N0 on en d´eduit que . Nous allons montrer la contrapos´ee, `a savoir : si lim0()=, alors il existe une suite () d"´el´ements dequi converge vers0, telle que() ne converge pas vers. Supposons quen"admette paspour limite en0. Alors :0 00 et()
En particulier, en prenant=1
pourN, on obtient : 0N0 1 et() Mais alors, la suite () converge vers0et la suite() ne converge pas vers. Ce qu"on voulait.2.2.3 Op´erations sur les limites
Th´eor`eme 2.2.9.Soient:Ret:Rdeux fonctions, et soit0 . On suppose que lim0() =etlim0() = Alors (1)La fonction+admet+pour limite en0. (2)La fonctionadmetpour limite en0. (3)Supposons= 0. Alors la fonction1 est bien d´efinie dans un voisinage de0, et admet 1 pour limite en0. On appellevoisinagede0un intervalle ouvert de la forme ]00+[ avec 0.D´emonstration.Grˆace `a la caract´erisation s´equentielle de la limite, onse ram`ene `a la
proposition analogue pour les limites de suites. Le seul point `amontrer est que, si= 0, alors la fonction 1 est bien d´efinie dans un voisinage de0. Supposons 0, alors nous avons :0]00+[()
2 20En effet, la n´egation s"´ecrit
0]00+[()
2 ce qui contredit le fait queadmettepour limite en0.On peut r´ecup´erer les th´eor`emes sur les limites de suites (par exemple, le th´eor`eme
des gendarmes) et les adapter pour les limites de fonctions.On peut aussi composer les limites de fonctions.
Th´eor`eme 2.2.10.Soient:1Ret:2Rdeux fonctions, telles que(1)2, et soit0
1. On suppose queadmetpour limite en0. Alorsappartient `a
2. De plus, siadmet une limite en, alorsadmet la mˆeme limite en0.
En d"autres termes, si lim
() existe, alors : lim0()() = lim()
La r´eciproque est fausse : il se peut que le membre de gauche existe, mais pas celui de droite. Par exemple, siest la fonction nulle, alorsest la fonction constante ´egale `a(0), donc admet une limite en tout point, alors que la limite deen 0 peut tr`es bien ne pas exister. D´emonstration.Comme0est adh´erent `a1, il existe une suite () d"´el´ements de1 qui converge vers0. Commeadmetpour limite en0, on en d´eduit que la suite (()) (`a valeurs dans2) converge vers, d"o`u 2.Supposons `a pr´esent que lim
() existe, notons-la. Soit 0, alors il existe0 tel que
2 = ()
d"autre part, commeadmetpour limite en0, il existe 0 tel que10 = ()
En regroupant le tout, on trouve :
10 = (())
ce qu"on voulait.2.2.4 Limites infinies
On peut r´ecup´erer ce qui a ´et´e fait pour les suites : les op´erations alg´ebriques sur les
limites infinies sont les mˆemes. On peut aussi composer les limitesinfinies. 212.3 Propri´et´es des fonctions continuesD´efinition 2.3.1.Soit:Rune fonction. On dit queest continue si elle est
continue en tout point de. Sietsont continues sur, alors+etsont continues sur, et1 est continue partout o`u elle est d´efinie. La fonctionest ´egalement continue sur.2.3.1 Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires
On l"appelle plus famili`erement le TVI. Il est d´emontr´e parCauchy dans son cours de 1821.Th´eor`eme 2.3.2(Valeurs interm´ediaires).Soientetdeux r´eels avec , et soit : []Rune fonction continue. Alors, pour tout r´eelcompris entre()et(), il existe[]tel que() =. D´emonstration.Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer que() (). Nous construisons par r´ecurrence une suite d"intervalles [], de la fa¸con suivante. - [00] = [] - Supposons [] construit. Soit=k+k
2le milieu de cet intervalle. Si() =,
on s"arrˆete. Sinon, on pose [+1+1] =? [] si() [] si() Si la suite d"intervalles ainsi construite est finie, alors on a trouv´e untel que() =. Sinon, nous avons, par contruction, les propri´et´es suivantes pour tout:1)() ()
2) [+1+1][]
3)=00 2 En particulier les suites () et () sont adjacentes, donc convergent vers une limite commune. Donc() et() convergent vers(). Ainsi, par passage `a la limite dans l"in´egalit´e 1), on trouve que() =, ce qu"on voulait. Corollaire 2.3.3.L"image d"un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Cela d´ecoule du fait suivant : une partiedeRest un intervalle si et seulement si, pour tousavec , l"intervalle [] est inclus dans. Si: []Rest une fonction continue, alors([]) est un intervalle, et 22mais en g´en´eral l"ensemble de gauche est beaucoup plus petitque celui de droite. Penser `a une fonction telle que() =(). L"´egalit´e est cependant vraie siest une fonction strictement monotone (c"est le th´eor`eme de la bijection, que l"on verra plus loin). Voici un cas particulier du TVI, d´emontr´e en 1817 par Bolzano. Corollaire 2.3.4(Th´eor`eme de Bolzano).Soit: []Rune fonction continue. Si ()()0, alors il existe][tel que() = 0. D´emonstration.En effet,()()0 signifie que() et() sont de signes contraires, donc que 0 est compris entre les deux. Exemple.Tout polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e impair admet aumoins une racine r´eelle. La propri´et´e des valeurs interm´ediaires correspond `a une notion intuitive : il est pos- sible de dessiner le graphe de la fonction"d"un seul trait»(c"est-`a-dire sans soulever le crayon). Cette remarque am`ene `a se poser la question : n"y a-t-il pas ´equivalence entre la
propri´et´e des valeurs interm´ediaires et la continuit´e? La r´eponse est malheureusement
n´egative. Un contre-exemple nous est donn´e par la fonction:RRd´efinie par () = sin?1 si= 0, et(0) = 0 Cette fonction n"est pas continue en 0 mais elle satisfait bien la propri´et´e des valeurs interm´ediaires pour chaque couple de points dansR. Plus g´en´eralement, le th´eor`eme de Darboux affirme que toute fonction []Rqui admet une primitive satisfait la propri´et´e des valeurs interm´ediaires.2.3.2 Th´eor`eme des bornes
quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] trouver ses repères définition
[PDF] prendre ses marques définition
[PDF] prendre ses repères definition
[PDF] reprendre ses marques expression
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