Corrigé du TD no 11
(pour un calcul plus détaillé d'une bijection réciproque voir l'exercice suivant). Exercice 11. 1. Soit la fonction f : [?1
TD 1 Intégrales généralisées
16 sept. 2016 ( a et b > 0 ). Solution : La fonction f(x) = ). )( (. 1 bxax+. + est continue positive sur R+ et O(. ². 1 x. ) au V(+?)
Corrigé du TD no 9
Par conséquent Supx?R f(x)=1. Exercice 10. Soit f : R ? R une fonction périodique de période T > 0. On suppose que f admet une limite finie (
Fonctions dérivables 1 Calculs
Exercice 4. Soit n ? 2 un entier fixé et f : R+ = [0+?[?? R la fonction définie par la formule suivante : f(x) = 1+xn. (1+x)n
Exo7 - Exercices de mathématiques
Soit f : R ? R définie par f(x) = x3 ?x. f est-elle injective ? surjective ? Déterminer f. ?1. ([?11]) et f(R+). [000188]. Exercice 136. Les fonctions
Suites 1 Convergence
Montrer que l'équation f(x) = x est équivalente à l'équation x3 ?3x+1 = 0 et en Montrer que la fonction f est croissante sur R+ et que f(R+) ? R+.
Série dexercices no2 Les fonctions Exercice 1 : images et
1. Calculer le domaine de définition des fonctions f définies de la façon suivante : a. f(x) = a. f(x)=2x5 ... Même question avec g : x 7! x3 + 3x + 4.
Analyse Numérique
f (x)=0 où. 1. x est une variable réelle f une fonction à valeurs réelles x1 sont choisis assez près de x?
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
(2) On définit de même la dérivée `a droite que l'on note fd(x0). Exemples. a) Soit n ? 1 un entier
Suites et séries de fonctions
x?[0+?[.
[PDF] Corrigé du TD no 11
Réponse : Soit f(x) = x3 + 2x ? 1 La fonction f est continue dérivable sur R et sa dérivée f (x)=3x2 + 2 est strictement positive sur R Par conséquent
[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
– une fonction affine f : x ?? ax + b est partout dérivable et f (x0) = a pour tout x0 Voici deux exemples bien connus Exemples a) Soit n ? 1 un entier
[PDF] DÉRIVATION - maths et tiques
Exemple : On considère la fonction trinôme f définie sur R par f (x) = x2 + 3x ?1 Page 2 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques
[PDF] domaine de définition Exercice 3
1 Calculer le domaine de définition des fonctions f définies de la façon suivante : a f(x) = 5x + 4 x2 + 3x + 2 b f(x) = px + 3 px c f(x) = 4
[PDF] de la 1`ere S `a la TS Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1
On donne la fonction f définie sur R par : f(x) = ?x4 + 2x2 + 1 On appelle ? la courbe représentative de f dans un rep`ere orthonormé (O; ? ) 1 Étudier
[PDF] Fonctions dérivables - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 1 Déterminer ab ? R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : f(x) = ? x si 0 ? x ? 1 et f(x) = ax2 +bx+1 si x > 1 soit
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Soit ƒ la fonction numérique définie sur R par: f(x)= 2x+1+Inx I et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé(0;i;]) 1) Calculer: lim f(x)
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Calculons la dérivée n-ième de la fonction réelle t ?? cos(t)et Exercice 15 [ 01363 ] [Correction] Soit f : R ? R définie par f(x)=ex ? 3 sin x
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29 juil 2003 · Définition 1 Soit X une partie non vide de R Définir une fonction f de X dans R c'est associer à chaque réel x de X un unique
Licence de Sciences Économiques - Mathématiques
Exercice 1 On appelle `a chaque fois f la fonction définie par la formule de la question (1) La fonction f est définie et dérivable sur R? df dx (x)
Suites et séries de fonctions
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1Etudier les suites de fonctions suivantes (convergence simple, convergence uniforme, convergence localement
uniforme)1) (**)fn(x) =nx1+n2x22) (**)fn(x) =exånk=0xkk!3) (**)fn(x) =n(1x)nsinpx2
1xn nsix2[0;n]0 six>n.
1. Montrer que la suite (fn)n2Nconverge uniformément surR+vers la fonctionf:x7!ex. 2. A l"aide de la suite (fn)n2N, calculer l"intégrale de GAUSSR+¥0ex2dx.
polynôme de BERNSTEINassocié àfpar B n(f) =ånk=0n k fknXk(1X)nk.
1. (a) Calculer Bn(f)quandfest la fonctionx7!1, quandfest la fonctionx7!x, quandfest la fonction x7!x(x1). (b)En déduire que
ånk=0n
k (knX)2Xk(1X)nk=nX(1X). 2.En séparant les entiers ktels quexkn
>aet les entiersktels quexkn6a(a>0 donné), montrer
que la suite de polynômes(Bn(f))n2Nconverge uniformément versfsur[0;1]. 3. Montrer le théorème de W EIERSTRASS: soitfune application continue sur[a;b]à valeurs dansR. Montrer quefest limite uniforme sur[a;b]d"une suite de polynômes. un polynôme. 1Exercice 5**Soitf(x) =å+¥n=1xnsin(nx)n
1.Montrer que fest de classeC1sur]1;1[.
2. Calculer f0(x)et en déduire quef(x) =arctanxsinx1xcosx. 1. Domaine de définition de f. On étudie ensuitefsur]1;+¥[. 2.Continuité de fet limites defen 1 et+¥.
3. Montrer que fest de classeC1sur]1;+¥[et dresser son tableau de variation. fonctions de termes généraux :1.fn(x) =nx2expn
surR+2.fn(x) =1n+n3x2surR+
3.fn(x) = (1)nx(1+x2)n.
011+xadx=å+¥n=0(1)n1+na.
1+t2n(1+t2)
1.Etudier la con vergencesimple et uniforme de la série de terme général fnpuis la continuité de la somme
f. 2.Montrer que lim
t!+¥f(t) =ln2pà l"aide de la formule de STIRLING.
2.Etude complète def=å+¥n=1fn: domaine de définition, parité, limites, continuité, dérivabilité (vérifier quef
n"est pas dérivable en 0), allure du graphe. 2 Exercice 11**Pourx>0, on posef(x) =å+¥n=0expn . Trouver un équivalent simple defen 0 à droite. Correction del"exer cice1 N1.Pour tout entier naturel n,fnest définie surRet impaire.Convergence simple surR.Soitx2R.
• Six=0, pour tout entier natureln,fn(x) =0 et donc limn!+¥fn(x) =0. • Six6=0,fn(x)n!+¥1nx et de nouveau limn!+¥fn(x) =0.La suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement surRvers la fonction nulle.Convergence uniforme surR.On peut noter tout de suite que pour toutn2N,fn1n
=12 et donc kfnk¥>12 . On en déduit quekfnk¥ne tend pas vers 0 quandntend vers+¥.La suite de fonctions(fn)n2Nne converge pas uniformément surRvers la fonction nulle.Si on n"a pas remarqué ce qui précède, on étudie la fonctionfnsurR+(fnétant impaire) dans le but de
déterminer sup x2Rjfn(x)0j.Soitn2N. La fonctionfnest dérivable surR+et pour tout réel positifx,f0n(x) =n(1+n2x2)x(n2x)(1+n2x)2=
n(1n2x2)(1+n2x)2. Par suite, la fonctionfnest croissante sur0;1n et décroissante sur1nPuisque la fonctionfnest positive surR+, sup
x2Rjfn(x)0j=fn1n =12 qui ne tend pas vers 0 quandn tend vers l"infini. Convergence uniforme et localement uniforme sur]0;+¥[.La suite de fonctions(fn)n2Nne converge toujours pas uniformément vers la fonction nulle sur]0;+¥[car pourn>1, sup x2Rjfn(x)0j=12 Soitaun réel strictement positif fixé. Soitn>1a . On a 0<1nsuite de fonctions(fn)n2Nconverge uniformément vers la fonction nulle sur tout intervalle de la forme
[a;+¥[oùa>0 et en particulier converge localement uniformément vers la fonction nulle sur]0;+¥[
mais ne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur]0;+¥[.2.Convergence simple surR.Soitx2R. On sait queex=limn!+¥ånk=0xkk!et donc la suite(fn)n2N
converge simplement surRvers la fonction constantef:x7!1. Convergence uniforme surRetR+.limx!¥jfn(x)f(x)j= +¥. Par suite, pour tout entier naturel n, la fonctionjfnfjn"est pas bornée surR. La suite de fonctions(fn)n2Nne converge donc pas uniformément versfsurR. lim x!+¥jfn(x)f(x)j=1 et donc sup x2[0;+¥[jfn(x)f(x)j>1. La suite de fonctions(fn)n2Nne converge donc pas uniformément versfsurR+. Convergence localement uniforme surR.Soit[a;b]un segment deR. Pourn2N, posonsgn=fnf. La fonctiongnest dérivable surRet pourx2R g0n(x) =ex
ånk=0xkk!+ån1k=0xkk!
=exxnn!. 4 Sinest pair, la fonctiongnest décroissante surRet s"annule en 0. Sinest impair, la fonctiongnest croissante surR, décroissante surR+et s"annule en 0.Dans les deux cas, six2[a;b],jgn(x)j6Maxfjgn(a)j;jgn(b)jgavec égalité effectivement obtenue pour
x=aoux=b. Donc supCette dernière expression tend vers 0 quandntend vers+¥. On en déduit que la suite de fonctions
(fn)n2Nconverge uniformément versfsur tout segment[a;b]contenu dansRou encorela suite de fonctions(fn)n2Nconverge localement uniformément vers la fonctionf:x7!1 surR.3.Pour xréel etnentier naturel, on posefn(x) =n(1x)nsinp2
x.Convergence simple.Soitxréel fixé. sinp2
x=0,x22Z. Dans ce cas, limn!+¥fn(x) =0. Six=22Z, la suite(fn(x))n2Nconverge,la suite(n(1x)n)n2Nconverge, j1xj<1,0La suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement vers la fonction nulle sur[0;2][2Z.Convergence uniforme sur[0;2].Soitnun entier naturel non nul fixé.
sup x2[0;2]jfn(x)0j>fn1n =n11n nsinp2n. Cette dernière expression est équivalente à p2een+¥et en particulier ne tend pas vers 0 quandntend vers+¥.La suite de fonctions(fn)n2Nne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur[0;2].1 2 3 4 5
12345678
y=R x2 x1 lnt dt5La suite de fonctions(fn)n2Nne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur[0;2].Correction del"exer cice2 NConvergence simple surR+.Soitxun réel positif fixé. Pourn>x,fn(x) =1xn
net donc f n(x) =n!+¥1xn n=n!+¥expnln1xn =n!+¥exp(x+o(1). Donc la suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement surR+vers la fonctionf:x7!ex.Convergence uniforme surR+.Pourxréel positif etnentier naturel non nul, posonsgn(x) =f(x)fn(x) =ex1xn
nsix2[0;n] e xsix>n. Déterminons la borne supérieure de la fonctionjgnjsur[0;+¥[. La fonctiongnest définie et continue surR+. Pourx>n, 0• La fonctiongna un minimum égal à 0 atteint en 0. En effet, on sait que pour tout réelu,eu>1+u(inégalité
de convexité) et donc pour tout réelxde[0;n],ex=n>1xn >0. Après élévation des deux membres de cette inégalité, par croissance det7!tnsurR+, on obtientex>1xn nou encoregn(x)>0=gn(0).• Pour 0 De plus,g0n(n) =en<0 et puisque la fonctiongnest de classeC1sur[0;n], sa dérivéeg0nest strictement négative sur un voisinage à gauche den. La fonctiongnest alors strictement décroissante sur ce voisinage et puisque l"intervalle]0;n[est ouvert, on sait que la dérivée de la fonctiongns"annule. L"égalitég0n(xn) =0 Lafonctionx7!fn(x2)estcontinuesur[0;+¥[etnullesur[pn;+¥[. Donclafonctionx7!fn(x2)estintégrable Puisque la fonctionx7!ex2est intégrable sur[0;+¥[, cette dernière expression tend vers 0 quandntend vers oùWnest lan-ème intégrale de WALLIS. On a déjà vu (exercice classique, voir fiches de Maths Sup) que .Vous pouvez voir différents calculs de l"intégrale de GAUSSdans Grands classiques de concours : intégration .Correction del"exer cice3 N1.(a) Soit n2N. Soit e>0. Soientnun entier naturel non nul etaun réel strictement positif donné. Soitxun réel de fest continue sur le segment[0;1]et donc est uniformément continue sur ce segment d"après le théorème la suite de polynômes(Bn(f))n2Nconverge uniformément sur[0;1]versf.3.La question 2) montre le théorème de W EIERSTRASSdans le cas du segment[0;1]. Ceci démontre que la suite de polynômes(Qn)n2Nconverge uniformément vers la fonctionfsur[a;b].Correction del"exer cice4 NPosonsf=limn!+¥Pn. (PN(0)Pn(0))converge vers un réel que l"on notea. On fait alors tendrentend vers+¥dans l"égalité()et On a montré quefest un polynôme.Correction del"exer cice5 N1.Pour x2]1;1[etnentier naturel non nul, posonsfn(x) =xnsin(nx)n Soitx2]1;1[. Pournentier naturel non nul,jfn(x)j6jxjn. Or, la série géométrique de terme général jxjn,n>1, est convergente et donc la série numérique de terme généralfn(x)est absolument convergente Puisquelasérienumériquedetermegénéral2an1,n>1, converge, lasériedefonctionsdetermegénéral D"après un corollaire du théorème de dérivation terme à terme,fest de classeC1sur[a;a]pour tout8x2[0;+¥[,8n2N, 06gn(x)61ne
ou encore8n2N, supfjgn(x)j;x>0g61ne . Ainsi, limn!+¥supfjgn(x)j;x>0g=0 et on a montré que la suite de fonctions(fn)n2Nconverge uniformément surR+vers la fonctionx7!ex.Existence deI=R+¥ 0ex2dx.La fonctionx7!ex2est continue sur[0;+¥[et négligeable devant1x
2en+¥.
Donc la fonctionx7!ex2est intégrable sur[0;+¥[. Par suite,Iexiste dansR. On est alors en droit d"espérer queI=limn!+¥R+¥ 0fn(x2)dx.
0fn(x2)dx=Rpn
0 1x2n ndx. Montrons queIntend versIquandntend vers+¥.
jIInj6Rpn 0jf(x2)fn(x2)jdx+R+¥pn
ex2dx6pn1ne +R+¥pn ex2dx=1e pn +R+¥pn ex2dx. 0(1u2)ndu=pn
Rp=2 0sin2n+1v dv=pnW
2n+1 2net donc
I nn!+¥pnqp 2(2n+1)n!+¥pp
2 Finalement,Intend verspp
2 quandntend vers+¥et donc R 0ex2dx=pp
2 1Xk(1X)nket doncB1(f)=0.
Pourn>2 etk2[[1;n1]]
kn kn 1n k =1n 2k(nk)n!k!(nk)!=n1n
(n2)!(k1)(nk1)!=n1n n2 k1 Par suite,
B n(f) =n1n n1å k=1 n2 k1 X k(1X)nk=n1n X(1X)n1å
k=1Xk1(1X)(n2)(k1) =n1n X(1X)n2å
k=0 n2 k X k(1X)n2k=n1n X(1X):
ce qui reste vrai pour n = 1. (b) D"après la question précédente
7 n k=0 n k (knX)2Xk(1X)nk=nå k=0 n k k 2Xk(1X)nk2nXnå
k=0 n k kX k(1X)nk+n2X2nå k=0 n k X k(1X)nk nå k=0 n k k(kn)Xk(1X)nkn(2X1)nå k=0 n k kX k(1X)nk +n2X2nå k=0 n k X k(1X)nk =n2nå k=0kn kn 1n k X k(1X)nkn2(2X1)nå k=0 n k kn Xk(1X)nk+n2X2
=n(n1)X(1X)n2(2X1)X+n2X2=nX2+nX=nX(1X): 2. ånk=0n
k x k(1x)nk=e2 Ensuite, la fonctionfest continue sur le segment[0;1]et donc est bornée sur ce segment. SoitMun majorant de la fonctionjfjsur[0;1]. k2Bn k f(x)fkn xk(1x)nk62Måk2Bn k x k(1x)nk Mais sik2B, l"inégalitéxkn
>afournit 161a 2n2(knx)2et donc
k2B n k x k(1x)nk6161a 2n2å
k2B n k (knx)2xk(1x)nk61a 2n2nå
k=0 n k (knx)2xk(1x)nk 1a 2n2nx(1x) =1a
2n 14 x12 2! 6 14a2n:
En résumé, pour tout réelx2[0;1]
jf(x)Bn(f)(x)j6e2 +2M14a2n=e2 +M2a2n. Maintenant, puisque lim
n!+¥M2a2n=0, il existe un entier naturel non nulNtel que pourn>N,M2a2n8e>0,9N2N=8n2N;8x2[0;1];(n>N) jf(x)(Bn(f))(x)j
Soite>0.9N>1 tel que8n>N,8y2[0;1],jg(y)Pn(y)j
9N2N=8n>N;8m>N;8x2R;jPn(x)Pm(x)j61.
Pourn>N, les polynômesPNPnsont bornés surRet donc constants. Par suite, pour chaquen>N, il existean2Rtel quePNPn=an(). Puisque la suite(Pn)converge simplement surR, La suite(an) = 0n(x) =xn1sin(nx)+xncos(nx).
Pourx2[a;a]etn2N,
jf0n(x)j6an1+an62an1. 9 0n,n>1, est normalement et donc uniformément sur[a;a].
En résumé,
• la série de fonctions de terme généralfn,n>1, converge simplement versfsur[a;a], • chaque fonctionfn,n>1, est de classeC1sur[a;a], • la série de fonctions de terme généralf0nconverge uniformément sur[a;a]. 0(x) =+¥å
n=1(xn1sin(nx)+xncos(nx)) =Im n=1xn1einx! +Re n=1xneinx! =Imeix1xeix +Rexeix1xeix =Imeix(1xeix)x 22xcosx+1
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