[PDF] TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES

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Chapitre 8: Trigonométrie (II)

TRIGONOMÉTRIE (II)

CORRECTION DES EXERCICES

ÉTUDES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Exercice1:

Émettons dans chaque cas, une conjecture quant à la parité de la fonction représentée en justifiant.

1.La fonctionf1est une fonction paire car sa courbe représentativeC1est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

2.La fonctionf2est une fonction impaire car sa courbe représentativeC2

est symétrique par rapport à l"origine du repère.

3.La fonctionf3n"est ni paire, ni impaire car sa courbe représentativeC3

n"est ni symétrique par à l"axe des ordonnées, ni symétrique par rapport

à l"origine du repère.

4.La fonctionf4est une fonction paire car sa courbe représentativeC4est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

Exercice2:

Émettons dans chaque cas, une conjecture quant à la parité de la fonction représentée en justifiant.

1.La fonctionf1est une fonction impaire car sa courbe représentativeC1

est symétrique par rapport à l"origine du repère.

2.La fonctionf2est une fonction paire car sa courbe représentativeC2est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

3.La fonctionf3est une fonction paire car sa courbe représentativeC3est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

4.La fonctionf4est une fonction paire car sa courbe représentativeC4est

symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

Exercice3:

1.Donnons le domaine de définition def.

SoitDfle domaine de définition def.

D f={x?R/4 + cos(x)?= 0}

Ainsi4 + cos(x)>0pour toutx?R.

D"oùDf=R

2.Calculonsf(-x).

f(-x) =-3

4 + cos(-x)

-3

4 + cos(x)carcos(-x) = cos(x)

=f(x)

3.Déduisons la parité de la fonctionf.

De ce qui précède on a:f(-x) =f(x).

D f=Rdonc pour toutx?Dfon a:-x?Dfet de plusf(-x) =f(x) On en déduit donc que la fonctionfest une fonction paire.

4.Montrons quefest une fonction périodique, de période2π.

Pour toutx?R,x+ 2π?Ret on a:

f(x+ 2π) =-3

4 + cos(x+ 2π)

-3

4 + cos(x)carcos(x+ 2π) = cos(x)

=f(x) c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

Par conséquent, la fonctionfest une fonction périodique de période2π

Exercice4:

Soitgune fonction définie surRpar

g(x) =⎷

2cos(2x) + 1.

1.Étudions la parité de la fonctiongsurR.

Pour toutx?R,-x?Ret on a:

g(-x) =⎷

2cos(-2x) + 1 =⎷2cos(2x) + 1 =g(x).

D"où la fonctiongest une fonction paire.

2.Étudions la périodicité de la fonctiongsurR.

g(x) =⎷

2cos(2x) + 1

2cos(2x+ 2π) + 1carcos(2x) = cos(2x+ 2π)

2cos(2(x+π)) + 1

=g(x+π) On a :g(x+π) =g(x)et on sait que pour toutx?R,x+π?R. Donc la fonctiongest une fonction périodique de périodeπ.

3.Résolvons l"équationg(x) = 0surR.

g(x) = 0?⎷

2cos(2x) + 1 = 0

?cos(2x) =-1 ⎷2 ?cos(2x) =-⎷ 2 2 ?cos(2x) = cos?3π 4? g(x) = 0?2x=3π

4+ 2kπou2x=-3π4+ 2kπaveck?Z

?x=3π

8+kπoux=-3π8+kπaveck?Z

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.3

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

SoitSl"ensemble solution de l"équationg(x) = 0

S=? -3π

8+kπ;3π8+kπ?

aveck?Z

Exercice5:

Soit la fonctionhdéfinie surRpar :

h(x) = sin(2x) + cos(x)sin(x).

1.Calculonsh(-x).

h(-x) = sin(-2x) + cos(-x)sin(-x) =-sin(2x)-cos(x)sin(x) =-(sin(2x) + cos(x)sin(x)) =-h(x)

2.Déduisons la parité de la fonctionh.

De ce qui précède on a:h(-x) =-h(x).

La fonctionhest définie surRdonc pour toutx?Ron a: -x?Ret de plush(-x) =-h(x).

D"où la fonctionhest une fonction impaire.

3.Calculonsh(x+π).

h(x+π) = sin(2(x+π)) + cos(x+π)sin(x+π) = sin(2x+ 2π) + (-cos(x))(-sin(x)) = sin(2x) + cos(x)sin(x) =h(x)

4.Déduisons la périodicité de la fonctionh.

De ce qui précède, on a :h(x+π) =h(x).

hest définie surRet on sait que pour toutx?R,x+π?R. On conclut donc que la fonctionhest périodique de périodeπ. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.4

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

Exercice6:

Soit la fonctionfdéfinie surRpar :

f(x) = cos(4x)-cos(x)cos(2x)

1.Calculonsf(-x).

f(-x) = cos(-4x)-cos(-x)cos(-2x) = cos(4x)-cos(x)cos(2x)carcos(-X) = cos(X) =f(x)

2.Déduisons la parité de la fonctionf.

De ce qui précède on a :f(-x) =f(x).

La fonctionfest définie surRdonc pour toutx?Ron a: -x?Ret de plusf(-x) =f(x).

D"où la fonctionfest une fonction paire.

3.Calculonsf(x+ 2π).

f(x+ 2π) = cos[4(x+ 2π)]-cos(x+ 2π)cos[2(x+ 2π)] = cos(4x+ 2×4π)-cos(x)cos(2x+ 2×2π) = cos(4x)-cos(x)cos(2x) =f(x)

4.Déduisons la périodicité de la fonctionf.

De ce qui précède, on a:f(x+ 2π) =f(x).

fest définie surRet on sait que pour toutx?R,x+ 2π?R. On conclut donc que la fonctionfest une fonction périodique de période

2π.

Exercice7:

Montrons que pour tout réelxon a:

1.(cos(x) + sin(x))2+ (cos(x)-sin(x))2= 2

On a: c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.5

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

(cos(x) + sin(x))2= cos2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin2(x) (cos(x)-sin(x))2= cos2(x)-2cos(x)sin(x) + sin2(x)

Ainsi on a:

(cos(x) + sin(x))2+ (cos(x)-sin(x))2 = cos

2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin2(x)

+ cos

2(x)-2cos(x)sin(x) + sin2(x)

= 2cos

2(x) + 2sin2(x)

= 2(cos

2(x) + sin2(x))

= 2×1carcos2(x) + sin2(x) = 1 = 2

Ce qu"il fallait montrer.

2.(cos(x) + sin(x))2-(cos(x)-sin(x))2= 4cos(x)sin(x)

(cos(x) + sin(x))2-(cos(x)-sin(x))2 = cos

2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin2(x)

-(cos2(x)-2cos(x)sin(x) + sin2(x)) = cos

2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin2(x)

-cos2(x) + 2cos(x)sin(x)-sin2(x) = 4cos(x)sin(x)

Ce qu"il fallait montrer.

Exercice8:

On considère la fonctiongdéfinie pour tout réelxparg(x) = 1-2cos(x).

1.Montrons que la fonctiongest périodique et précisons sa période.

La fonctiongest définie surRet pourx?R, on ax+ 2π?R. De plus,g(x+ 2π) = 1-2cos(x+ 2π) = 1-2cos(x) =g(x). D"où la fonctiongest une fonction périodique de période2π.

2.a.Représentons à l"aide de la calculatrice la fonctiongsur l"intervalle

[-2π;2π]. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.6

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

b.Donnons à partir d"une lecture graphique une conjecture de la parité deg. La courbe représentative de la fonctiongest symétrique par rapport à l"axe des ordonnées donc la fonctiongest une fonction paire. c.Prouvons la conjecture précédente.La fonctiongest définie surRet pour toutx?R, on a-x?R.

De plus,g(-x) = 1-2cos(-x) = 1-2cos(x) =g(x).

D"où la fonctiongest bien une fonction paire.

?2≥ -2cos(x)≥ -2

Ce qu"il fallait montrer.

4.Donnons à partir du graphe degles solutions de l"équationg(x) = 3

dans l"intervalle[-2π;2π]. A partir du graphe de la fonctiongon déduit que l"équationg(x) = 3 admet dans l"intervalle[-2π;2π]deux solutions que sont:-πetπ. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.7

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

5.Résolvons dans l"intervalle[-2π;2π]l"équationg(x) = 3et comparons

avec le résultat précédent. g(x) = 3?1-2cos(x) = 3 ? -2cos(x) = 2 ?cos(x) =-1 Les valeurs dexappartenant à l"intervalle[-2π;2π]et vérifiant la con- ditioncos(x) =-1sont :x=-πetx=π. Ainsi, les nombres réels-πetπsont solutions de l"équationg(x) = 3. D"où la confirmation du résultat de la question précédente.

Exercice9:

Donnons l"expression de la dérivée de chacune des fonctions définies et dériv- ables surRci-dessous.

1.f(x) =-5cos(x)-3x.

Pour toutx?R,f?(x) = 5sin(x)-3

2.g(x) = 3x2sin(x)

Pour toutx?R,

g ?(x) = (3x2)?sin(x) + 3x2(sin(x))? = 6xsin(x) + 3x2cos(x)

D"oùg?(x) = 6xsin(x) + 3x2cos(x)

3.h(x) =x2-2cos(-3x+ 4).

Pour toutx?R,

h ?(x) = (x2)?-2[cos(-3x+ 4)]? = 2x-2×[-(-3x+ 4)?]sin(-3x+ 4) = 2x-2×3sin(-3x+ 4) = 2x-6sin(-3x+ 4)

D"oùh?(x) = 2x-6sin(-3x+ 4)

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.8

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

4.u(x) = 3xsin(3x-4).

Pour toutx?R,

u ?(x) = (3x)?sin(3x-4) + 3x[sin(3x-4)] = 3sin(3x-4) + 3x(3x-4)?cos(3x-4) = 3sin(3x-4) + 3x×3cos(3x-4) = 3sin(3x-4) + 9xcos(3x-4)

D"oùu?(x) = 3sin(3x-4) + 9xcos(3x-4)

Exercice10:

On considère les fonctions définies surI?[-π,π]ci-dessous. Déterminons pour chacune d"elle, l"ensemble de définition et de dérivabilité puis déterminons la fonction dérivée.

1.f(x) = sin(2x+ 3) + 3x.

Les fonctionsx?→sin(2x+ 3)etx?→3xsont définies et dérivables sur Ren particulier sur[-π;π]donc la fonctionfest définie et dérivable sur[-π;π]comme somme de deux fonctions définies et dérivables sur Pour toutx?R,f?(x) = (2x+ 3)?cos(2x+ 3) + 3 = 2cos(2x+ 3) + 3.

D"oùf?(x) = 2cos(2x+ 3) + 3.

2.f(x) =2sin(x).

SoitDfle domaine de définition de la fonctionf. D f={x?[-π;π]/sin(x)?= 0}.

Posonssin(x) = 0.

sin(x) = 0?sin(x) = sin(0) ?x= 0 + 2kπoux=π+ 2kπ ?x= 2kπoux=π+ 2kπ Ainsi,xétant dans l"intervalle[-π;π]on obtientx= 0,x=-πet x=π. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.9

Chapitre 8: Trigonométrie (II)

D"oùDf=]-π;0[?]0;π[.

La fonctionx?→sin(x)est une fonction définie et dérivable surDfet ne s"annule pas. Ainsi, la fonctionfest dérivable surDfcomme l"inverse d"une fonction dérivable surDfet qui ne s"annule pas.

Pour toutx?Df,

f ?(x) = 2×-(sin(x))? sin2(x) = 2×-cos(x) sin2(x) -2cos(x) sin2(x)

D"oùf?(x) =-2cos(x)

sin2(x)

3.f(x) = sin(-3x+ 5)cos(-3x+ 5).

Les fonctionsx?→sin(-3x+ 5)etx?→cos(-3x+ 5)sont définies et dérivables surRen particulier sur[-π;π]. Ainsi, la fonctionfest définie et dérivable sur[-π;π]comme produit de deux fonctions définies et dérivables sur[-π;π].

Pour toutx?[-π;π];

f ?(x) = (sin(-3x+ 5))?cos(-3x+ 5) + (cos(-3x+ 5))?sin(-3x+ 5) =-3cos(-3x+ 5)cos(-3x+ 5)-(-3)sin(-3x+ 5)sin(-3x+ 5) =-3cos2(-3x+ 5) + 3sin2(-3x+ 5) = 3sin

2(-3x+ 5)-3cos2(-3x+ 5)

D"oùf?(x) = 3sin2(-3x+ 5)-3cos2(-3x+ 5)

4.f(x) =1 + sin(x)cos(x).

SoitDfle domaine de définition de la fonctionf. D f={x?[-π;π]/cos(x)?= 0}. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.10quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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