[PDF] CPGE Brizeux Corrigé du devoir maison 8.

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PCSI A Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2015-2016

C o r r i g é d u d e v o i r m a i s o n 8

Q u e l q u e s r a i s o n n e m e n t s p a r r e c u r r e n c e e t u n e e q u a t i o n d i f f e r e n t i e l l e

Exercice 1. Une

equation differentielle L'ensemble des solutionsS0des solutions surRde(E0)est : S

0=?R→R

x?→αcos(x) +βsin(x)? ???(α;β)?R2?

On linearise ensuitex?→cos3(x).On obtient :

?x?R,14 cos(3x) +34 cos(x).

En appliquant le principe de superposition, on trouve tous calculs faits comme solution particuliere de(E)sur

R: f:x?→ -132 cos(3x) +38 sin(x)x. Ainsi donc l'ensembleSdes solutions surRde(E)est l'ensemble des fonctions de la forme : x?→ -132 cos(3x) +38 sin(x)x+αcos(x) +βsin(x)?(α;β)?R2?.

Exercice 2. Une in

egalite Posons pour tout entier natureln≥1la propriete

P(n) : k=11n+k≥12 •On a1? k=111 +k=12 .La proprieteP(1)est donc vraie. •Soitn?Ntel queP(n)est vraie. n+1? k=11n+ 1 +kj=k+1=n+2? j=21n+j =-1n+ 1+( n? j=11n+j) +12n+ 1+12(n+ 1) n? j=11n+j) +?12n+ 1-12n+ 2? Or n? j=11n+j≥12 par hypothese de recurrence et12n+ 1-12n+ 2≥0pour tout entiern≥1.Par consequent : k=1n+ 11n+ 1 +k≥12 1

Exercice 3. Une famille d'int

egrales

Pour tout entier naturel natureln,on pose

I n=? π2

0cosn(θ)dθ.

1.•I0=?

π2

0dθ=π2

•I1=? π2

0cosθdθ= [sin(θ)]θ=π2

θ=0= 1.

•On a : I 2=? π2

0cos2θdθ

12 π2

0dθ+12

π2

0cos(2θ)dθ

π4 +?sin(2θ)2

θ=π2

θ=0

=π4 •On a I 3=? π2

0cos3θdθ

π2

0(1-sin2θ) cos(θ)dθ

x=sin(θ)=? 1 0 (1-x2)dx x-x33 x=1 x=0 23
2.

E ectuonsl ec hangementde v ariableθ=π2

-tde classeC1sur[0;π2 ]dansIn.On adθ=-dtet : I nθ=π2 -t=-? 0 π2 cos n(π2 -t)dt π2

0cosn(π2

-t)dt

Or pour tout reelt:

cos(π2 -t) = sin(t).

Par consequent,

I n=? π2

0sinn(θ)dθ,

la variable d'integration etant muette!

Vous aurez note que c'est l'integrale sous cette forme qui est utilisee dans la suite de l'exercice ...

3.

Soi tn?N.

2 (a)P ourt outr eelθ,posons u(θ) =sinn+1(θ)n+ 1etv(θ) = cosθ. Les fonctionsuetvsont de classe surRet pour tout reelθ u ?(θ) = cos(θ) sinn(θ) ;v(θ) =-sin(θ).

La formule d'integration par parties conduit a :

π2

0cos2(θ) sinn(θ)dθ=?sinn+1(θ)n+ 1cos(θ)?

θ=π2

θ=0+1n+ 1?

π2

0sinn+2(θ)dθ

In+2n+ 1

(b) S achantqu ecos2(θ) = 1-sin2(θ)pour tout reelθ,on en deduit que : π2

0cos2(θ) sinn(θ)dθ=In-In+2.

D'apres la question precedente, on en deduit que

I n-In+2=In+2n+ 1.

D'ou pour tout entier natureln:

I n+2=n+ 1n+ 2In.4.P osonsp ourt outn?N

P(n) : n(n!)2π2 Montrons queP(n)est vraie pour tout entier naturelnpar recurrence. •I0=π2 ,d'apres la question 1. De plus :(2n)!4 n(n!)2π2 n=0=0!4

0(0!)2π2

=π2

P(0)est donc vraie.

•Soitn?Ntel queP(n)est vraie. Montrons qu'alorsP(n+ 1)est vraie.

On a :

I

2(n+1)=I2n+2=2n+ 12n+ 2I2n

2n+ 12n+ 2(2n)!4

n(n!)2π2 (2n+ 2)(2n+ 1)(2n)!(2n+ 2)24n(n!)2π2 (2n+ 2)!4(n+ 1)24n(n!)2π2 (2(n+ 1))!4 n+1(n+ 1)!2π2

La propriete est donc vraie au rangn+ 1

•Par principe de recurrence, on en deduit que pour toutn?N: I

2n=(2n)!4

n(n!)2π2 Rem. I 2n=? 2n n?4 nπ2 3

5.O np roceded el aman ierep arun r aisonnementpar r ecurrencep our etablirqu ep ourt outn?N:

I

2n+1=4n(n!)2(2n+ 1)!.

Les integrales de l'exercice sont les integrales de Wallis. 4quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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