SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Si le premier terme est égal à 3 les premiers termes successifs sont : u0 = 3
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Si le premier terme est égal à 3 les premiers termes successifs sont : u0 = 3
Suites 1 Convergence
Si (u2n)n et (u2n+1)n sont convergentes de même limite l
Suite géométrique - Premi`ere S ES STI - Exercices Corrigés en
1?) La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier. 4?) Déterminer par le calcul
SUITES NUMERIQUES
Pour calculer u34 il faut auparavant calculer u1
Exercices sur les suites (1ères Techno) 1 Généralités : calculs de
La suite est-elle définie de façon explicite ou récurrente ? Calculer u1 et u2 et vérifier que la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
Modèle mathématique.
On dit qu'une suite un est une suite arithmétique s'il existe un u1 u2 est une somme de deux termes ; u1 u2 u3 est une somme de trois termes.
Suites arithmétiques et suites géométriques
terme est u12 si le premier terme est noté u1. 5°) Formule permettant de calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique :.
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Si le premier terme est égal à 3 les premiers termes successifs sont : u0 = 3
Chapitre 2: Suites arithmétiques et suites géométriques
est une suite arithmétique s'il existe un Exercice 2.24 : Calculer le septième terme d'une suite géométrique dont les ... a) Calculer u1 et u2.
[PDF] SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Si le premier terme est égal à 3 les premiers termes successifs sont : u0 = 3 u1 = 8 u2 = 13 u3 = 18 Une telle suite est appelée une suite arithmétique
[PDF] 1 ) suites arithmétiques - Pierre Lux
Plus généralement on montre de la même façon que toute suite un définie par un =an b ( où a?? et b?? ) est une suite arithmétique de raison a et de
[PDF] 1 Suites arithmétiques 2 Suites géométriques
La suite (un) est une suite arithmétique de raison r 1 On donne : u5 = 7r = 2 Calculer u1u25 et u100 2 On donne : u3
[PDF] Chapitre 2: Suites arithmétiques et suites géométriques
définie par récurrence est-elle une suite arithmétique ? Exercice 2 1 : Les suites suivantes sont-elles des suites arithmétiques ?
[PDF] Corrigé du Contrôle Continu no 1
Exercice 1 Soit (un)n?N la suite arithmétique de premier terme u0 = 117 et de raison r = ?3 1 Calculer u4 et u35 Puisque (un)n?N est arithmétique
[PDF] Suites arithmétiques et suites géométriques - dpernoux
On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre (ce nombre est appelé raison de la
[PDF] SUITES NUMERIQUES
Trouver toutes les suites géométriques telles que u0 = 1 et u2 = 1 Le truc en plus : pour démontrer qu'une suite est géométrique il suffit de prouver que le
[PDF] Suites arithmétiques et géométriques
u0 = 38 400 ; u1 = u0 ?400 = 38 000 ; u2 = u1 ?400 = 37 600 ; u3 = u2 ?400 = 37200 Plus généralement : un+1 = un ?400 On a une suite arithmétique de
[PDF] Suites numériques
Exemple : Pour la suite arithmétique de premier terme u0 = ?1 et de raison 2 on a : u0 +u1 +···+u50 = 51× ?1+(2×50?1) 2 = 51×49 = 2499 Le calcul ((à la
[PDF] Suites arithmétiques et géométriques
Suites arithmétiques et géométriques 3 1 Notion de suite une suite numérique est une succession de nombres réels chacun étant un terme de la suite
Comment calculer u1 et u2 ?
Ici, dans les expressions obtenues, on aura u1 en fonction de u0 ; u2 en fonction de u1 ; u3 en fonction de u2 Comme u0 = 1, on a u0+1 = ?3u0 +2 soit u1 = ?3?+2 = ?1 u1+1 = ?3u1 +2 soit u2 = ?3×(?1)+2 = 5 u3 = ?3u2 +2 = ?3?+2 = ?13 u4 = ?3u3 +2 = ?3×(?13)+2 = 41 u5 = ?3u4 +2 = ?3?+2 = ?121. 2.Comment calculer u2 suite géométrique ?
Calcul du terme de rang n Soit u une suite géométrique de premier terme u1 et de raison q. Ona: u2 = q ×u1 ; u3 = q ×u2 = q ×q ×u1 = q2u1 ; u4 = q × u3 = q × q2u1 = q3u1.Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?
Comment reconnaître une suite arithmétique et géométrique ? Une suite arithmétique est une suite qui pour chaque terme ajoute le même nombre réel au terme précédent. Une suite géométrique est une suite qui pour chaque terme multiplie le même nombre au terme précédent.- On considère une suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1=f(un) où f est une fonction donnée. De plus, le premier terme u0 est également connu. Si l'exercice demande de calculer u1, on peut se servir de la relation un+1=f(un) en rempla?nt n par 0.
Exo7 Suites
1 Convergence
Exercice 1Montrer que toute suite convergente est bornée. Montrer qu"une suite d"entiers qui converge est constante à partir d"un certain rang.Montrer que la suite(un)n2Ndéfinie par
u n= (1)n+1n n"est pas convergente. Soit(un)n2Nune suite deR. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si(un)nconverge vers un réel`alors(u2n)net(u2n+1)nconvergent vers`. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, il en est de même de(un)n. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, de même limite`, il en est de même de(un)n. Soitqun entier au moins égal à 2. Pour toutn2N, on poseun=cos2npq 1.Montrer que un+q=unpour toutn2N.
2. Calculer unqetunq+1. En déduire que la suite(un)n"a pas de limite.SoitHn=1+12
++1n 1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n>0 :1n+16ln(n+1)ln(n)61n 2.En déduire que ln (n+1)6Hn6ln(n)+1.
3.Déterminer la limite de Hn.
4. Montrer que un=Hnln(n)est décroissante et positive. 15.Conclusion ?
On considère la fonctionf:R!Rdéfinie par
f(x) =x39 +2x3 +19 et on définit la suite(xn)n>0en posantx0=0 etxn+1=f(xn)pourn2N: 1. Montrer que l"équation x33x+1=0 possède une solution uniquea2]0;1=2[: 2.Montrer que l"équation f(x) =xest équivalente à l"équationx33x+1=0 et en déduire queaest
l"unique solution de l"équationf(x) =xdans l"intervalle[0;1=2]: 3. Montrer que la fonction fest croissante surR+et quef(R+)R+. En déduire que la suite(xn)est croissante. 4. Montrer que f(1=2)<1=2 et en déduire que 06xn<1=2 pour toutn>0: 5.Montrer que la suite (xn)n>0converge versa:
Exercice 8Posonsu2=112
2et pour tout entiern>3,
u n= 1122 113
2 11n 2
Calculerun. En déduire que l"on a limun=12
Déterminer les limites lorsquentend vers l"infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser en
quelques mots la méthode employée. 1.1 ; 12
;13 ;:::;(1)n1n 2.2 =1 ; 4=3 ; 6=5 ;:::; 2n=(2n1);:::
3.0 ;23 ; 0;233 ;:::; 0;2333 ;:::
4. 1n 2+2n2++n1n
2 5. (n+1)(n+2)(n+3)n 3 6.1+3+5++(2n1)n+12n+12
7. n+(1)nn(1)n 2 8.2n+1+3n+12
n+3n 9.1=2+1=4+1=8++1=2npuisp2 ;
q2 p2 ; r2 q2 p2 ;::: 10. 113+19 127
++(1)n3 n 11. pn+1pn 12. nsin(n!)n 2+1 13.
Démontrer la formule 1 +22+32++n2=16
n(n+1)(2n+1); en déduire limn!¥1+22+32++n2n 3.On considère les deux suites :
u n=1+12! +13! ++1n!;n2N; v n=un+1n!;n2N:Montrer que(un)net(vn)nconvergent vers une même limite. Et montrer que cette limite est un élément de
RnQ. Soita>0. On définit la suite(un)n>0paru0un réel vérifiantu0>0 et par la relation u n+1=12 u n+au nOn se propose de montrer que(un)tend verspa.
1.Montrer que
u n+12a=(un2a)24un2: 2. Montrer que si n>1 alorsun>papuis que la suite(un)n>1est décroissante. 3.En déduire que la suite (un)converge verspa.
4. En utilisant la relation un+12a= (un+1pa)(un+1+pa)donner une majoration deun+1paen fonction deunpa. 5.Si u1pa6ket pourn>1 montrer que
u npa62pa k2 pa 2n1 6.Application : Calculer
p10 avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenantu0=3.Soientaetbdeux réels,a Soient u0etv0des réels strictement positifs avecu0 Indication pourl"exer cice1 NÉcrire la définition de la convergence d"une suite(un)avec les "e". Comme on a une proposition qui est vraie pour toute>0, c"est en particulier vrai poure=1. Cela nous donne un "N". Ensuite séparez la suite en deux : regardez lesn constante.Indication pourl"exer cice3 NOn prendra garde à ne pas parler de limite d"une suite sans savoir au préalable qu"elle converge ! Vous pouvez utiliser le résultat du cours suivant : Soit(un)une suite convergeant vers la limite`alors toute sous-suite(vn)de(un)a pour limite`.Indication pourl"exer cice4 NDans l"ordre c"est vrai, faux et vrai. Lorsque c"est faux chercher un contre-exemple, lorsque c"est vrai il faut le prouver.Indication pourl"exer cice5 NPour la deuxième question, raisonner par l"absurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes. Pour chacune des majorations, il s"agit de f airela somme de l"inég alitéprécédente et de s"aperce voirque Que f aitune suite décroissante et minorée ? Indication pourl"exer cice7 NPour la première question : attention on ne demande pas de calculera! L"existence vient du théorème des Pour la dernière question : il faut d"une part montrer que(xn)converge et on note`sa limite et d"autre part il avec des entiers.Indication pourl"exer cice11 N1.C"est un calcul de réduction au même dénominateur . suffit pour la précision demandée.Indication pourl"exer cice12 NPourlapremièrequestionetlamonotonieilfautraisonnerparrécurrence. Pourlatroisièmequestion, remarquer que sifest décroissante alorsffest croissante et appliquer la première question.Indication pourl"exer cice13 N1.Re garderce que donne l"inég alitéen éle vantau carré de chaque coté. Une suite croissante et majorée con verge; une suite décroissante et minorée aussi. Indication pourl"exer cice14 NOn noterafn:[0;1]!Rla fonction définie parfn(x) =ånk=1xk1: On sait que fn(an) =0. Montrer par un calcul quefn(an1)>0, en déduire la décroissance de(an). En02[a;b]et pour toutn2N;un+1=f(un):
3 1.On suppose ici que fest croissante. Montrer que(un)nest monotone et en déduire sa convergence vers
une solution de l"équationf(x) =x. 2.Application.Calculer la limite de la suite définie par :
u 0=4 et pour toutn2N;un+1=4un+5u
n+3: 3. On suppose maintenant que fest décroissante. Montrer que les suites(u2n)net(u2n+1)nsont monotones et convergentes. 4.Application.Soit
u 0=12 et pour toutn2N;un+1= (1un)2: Calculer les limites des suites(u2n)net(u2n+1)n.
1. Soient a;b>0. Montrer quepab6a+b2
2. Montrer les inég alitéssui vantes( b>a>0) :
a6a+b2 6beta6pab6b:
3. Montrer que un6vnquel que soitn2N.
(b) Montrer que (vn)est une suite décroissante.
(c) Montrer que (un)est croissante En déduire que les suites(un)et(vn)sont convergentes et quelles ont même limite. Soitn>1.
1. Montrer que l"équation
nå k=1xk=1 admet une unique solution, notéean, dans[0;1]. 2. Montrer que (an)n2Nest décroissante minorée par12 3. Montrer que (an)converge vers12
Indication pour
l"exer cice 6 N1.En se rappelant que l"intégrale calcule une aire montrer :
1n+16Z
n+1 ndtt 61n
2. La limite est +¥.
4. Calculer un+1un.
5. 2=(k1)(k+1)k:k. Puis simplifier l"écriture deun.Indication pourl"exer cice10 N1.Montrer que (un)est croissante et(vn)décroissante.
5 2.Montrer que (un)est majorée et(vn)minorée. Montrer que ces suites ont la même limite.
3. Raisonner par l"absurde : si la limite `=pq
alors multiplier l"inégalitéuq6pq 6vqparq! et raisonner
Pour montrer la décroisance, montrer
un+1u n61. 3. Montrer d"abord que la suite con verge,montrer ensuite que la limite est pa. 4. Penser à écrire u2n+1a= (un+1pa)(un+1+pa).
5. Raisonner par récurrence.
6. Pour u0=3 on au1=3;166:::, donc 36p106u1et on peut prendrek=0:17 par exemple etn=4 Petites manipulations des inég alités.
3. (a) Utiliser 1.
(b) Utiliser 2.
(c) C"est une étude de la fonction fn.
2.
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