[PDF] Systèmes linéaires Un système est de

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Chapitre 6

Systèmes linéaires

I-

R ésolutionsde ssy stèmesliné aires

I.1-

V ocabulaireDéfinition 1

On appellesystème linéaire(S) denéquations àpinconnues un système d"équations de la forme

(S)8 >>:a

11x1Åa12x2Å...Åa1pxpAEb1(L1)

a

21x1Åa22x2Å...Åa2pxpAEb2(L2)

............(Li) a n1x1Åan2x2Å...ÅanpxpAEbn(Ln)

où lesai jsont des nombres réels fixés appeléscoefficients du systèmeet les (bi)iAE1,...,nsont des réels

fixés qui constituent lesecond membredu système. Lesx1,...,xpsont lespinconnuesdu sytème. Par commodité, chaque équation est repérée par un nom :Lipouri-ème ligne.

Une solution du système est unp-uplet(x1;x2;¢¢¢;xp) pour lesquels toutes les équations sont vé-

rifiées. Résoudre le système (S), c"est trouver l"ensemble des solutions de ce système.Exercice 1

Résoudre les trois systèmes suivants :

1) (xÅyAE1 x¡yAE12)(xÅyAE1 xÅyAE23)(xÅyAE1 xÅyAE1Définition 2

Un système est dit :

²compatiblelorsqu"il admet au moins une solution,incompatibles"il n"en admet aucune. ²homogènelorsque le second membre est consitué uniquement de coefficients nuls. On appelle

système homogène associéà un système (S) le système obtenu en gardant les mêmes coefficients

et en remplaçant le second membre par des 0. ²de CramerlorsquenAEpet lorsque le système possède une unique solution.

²triangulairelorsqu"il est de la forme :8

>>:a

11x1Åa12x2Å...Åa1nxnAEb1

Åa22x2Å...Åa2nxnAEb2......AE

a nnxnAEbn

Enfin, deux systèmes sont ditséquivalentslorsqu"ils ont le même ensemble de solutions.Exercice 2

Justifier qu"un système homogène est compatible. Quel est l"ensemble des solutions d"un système

homogène de Cramer d"inconnues (x1;¢¢¢;xn)?Chapitre 6 -1/4- Systèmes linéaires

I.2-Lien av ecle sm atrices

Proposition 1

SoientAAE0

B @a

11...a1p... ......

a n1...anp1 C

A,XAE0

B @x 1... x p1 C

AetBAE0

B @b 1... b p1 C A. Alors, (x1;x2;¢¢¢;xn) est une solution du sys- tème (S) si et seulement siAXAEB.Exercice 3 Vérifier que la propriété précédente est vraie pour les systèmes de l"exemple 1.

Proposition 2

Un système est de Cramer si et seulement si la matrice associéeAest inversible. Dans ce cas, l"unique solution du système est donnée parXAEA¡1B.Exercice 4 Vérifier que la propriété précédente est vraie pour les systèmes de l"exemple 1.

Remarque 1

On a donc une première méthode pour résoudre les systèmes de Cramer : trouver l"inverse de la ma-

triceApuis l"unique solution du système par la formule ci-dessus. C"est la bonne méthode lorsqu"on

a déjà calculé l"inverse de la matriceAdans une question précédente.Cependant, ce n"est pas, en général, la méthode la plus rapide (en fait, calculer l"inverse deA

revient en quelque sorte à résoudre le système avec tous les seconds membres possibles alors qu"il

suffirait de le résoudre pour seul).De plus, la résolution des systèmes qui ne sont pas de Cramer (notamment siAn"est pas inver-

sible) ne peut se faire ainsi.Nous allons à présent décrire une méthode systématique (c"est à dire un algorithme) qui permet

de résoudre tous les systèmes linéaires, appeléealgorithme du pivot de Gauss. Ce n"est pas la seuleméthode, mais c"est sans doute la moins fastidieuse dès que le système est un peu gros (disons à

partir de 3 équations à 3 inconnues).Plusieurs variantes de cette méthode existe (il existe notamment un algorithme total et un algo-

rithme partiel).I.3-A lgorithmedu p ivotd eG auss

d"opérations permet toujours de se ramener à un système équivalent à celui de départ.Proposition 3

Les opération suivantes conduisent à un système équivalent au système précédent :

1.Li$Lj: échanger les lignesietj.

Méthode 1 :Algorithme du pivot de Gauss (total)

Pour résoudre le système (S) :

1. on rédig e" résolvonsle s ystèmepar la méth odedu p ivotde G auss» 2. on éc ritles mat riceAetBcôte à côte. 3. on ch oisitpar miles c oefficientsnonnulsdeAun coefficientai j, appelé lepivot, que l"on entoure,

dans une ligne et une colonnes qui ne contiennent pas d"autre pivot. Si c"est impossible on passe à

l"étape 6 4. on réécritletableauaprèsavoireffectuerlesopérationsLkÃLk¡akja i jLioubienLkÃai jLk¡akjLi pour toutk6AEiet on indique les opérations effectuées 5. on r eproduitl "étape3 6.

O nc oncluten f onctionde la situation :

(a) si t ousles c oefficientsd "unelign esont n uls,sau fson secon dmemb re: le système n "apas d e solution. (b) sinon ,t outesl esinc onnuesdan sles colo nnessa nsp ivotsont des paramètres, et peuvent prendre n"importe quelle valeur dansR. On écrit le système correspondant au tableau final

avec les inconnues, et on exprime les solutions en isolant les inconnues des colonnes à pivot.Remarque 2

Une méthode alternative, (algorithme partiel du pivot de Gauss), consiste à n"effectuer l"étape 4 que

dans des colonnes contenant le plus de termes nuls possibles. De plus, il faut toujours privilégier les

pivots les plus simples, les coefficients égaux à 1 étant l"idéal.On peut s"écarter légèrement de cette algorithme pour :

²simplifier une ligne avec l"opérationLiÃ1¸ Li(cela permet par exemple d"obtenir un pivot égal à

1).²conclure directement que le système est incompatible lorsque deux lignes sont manifestement

contradictoires.²supprimer une ligne identique (ou proportionelle) à une autre.²trouver une combinaison qui trivialise la résolution.Exercice 5

1. R ésoudreles systèmes s uivantsà l "aided "una lgorithmed upiv otde G auss:

3xÅ2yAE4

x¡yAE18 :3xÅ2yAE4 x¡yAE1

4xÅyAE38

:3xÅ2yAE4 x¡yAE1

4xÅyAE5½

x¡yAE1

2x¡2yAE28

:xÅ3yAE1 xÅ2yAE4

3xÅ10yAE08

:4xÅyÅzAE2 x¡yÅzAE0

3xÅ2yAE28<

:x¡yAE1 y¡zAE2 z¡xAE32.R ésoudres uccessivementl essyst èmessu ivants: xÅyÅzAE1,½xÅyÅzAE1

2x¡3yÅzAE0,8

:xÅyÅzAE1

2x¡3yÅzAE0

3x¡7yÅzAE¡1,8

>:xÅyÅzAE1

2x¡3yÅzAE0

3x¡7yÅzAE¡1

x¡yÅ2zAE0,8 >>>>:xÅyÅzAE1

2x¡3yÅzAE0

3x¡7yÅzAE¡1

x¡yÅ2zAE0 ¡4y¡5zAE2Chapitre 6 -3/4- Systèmes linéaires

II-P ivotde G ausset i nversed "unema trice

II.1- C aractérisationdes mat ricesinv ersibleset piv otde G auss

La proriété suivante, admise, permet de caractériser les matrices inversibles à l"issue de l"algorithme

du pivot de Gauss, effectué sur la matrice sans l"augmenter d"un second membre.Proposition 4

Le nombre de pivots obtenus dans la résolution d"un système par la méthode de Gauss (qu"elle

soit totale ou partielle) ne dépend pas du choix des pivots. Ce nombre est appelé lerang du système

ou lerang de la matrice. Un système est de Cramer lorsqu"il y a autant de pivot que d"inconnue et d"équation.

Par conséquent, une matrice carrée de taillenest inversible si et seulement si on anpivot à l"issue

d"un algorithme du pivot de GaussExercice 6

La matriceAAE0

@1 2 3 4 5 6

7 8 91

A est-elle inversible?Remarque 3 Si la question est uniquement de savoir si une matrice est inversible ou non, il est alors beaucoup plus économique en terme de calcul de ne faire qu"un algorithme partiel.Proposition 5

Un matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses termes diagonaux sont non nulsII.2-Dé terminationd el "inversed "unem atricep arla mé thodedu p ivotd eG auss

Pour calculerA¡1on appliquant l"algorithme du pivot de Gauss total sur la matriceAavec comme second membre Id n, en le prolongeant jusqu"à obtenir la matrice identité à la place deA. La matrice obtenue à la place de Id nest alorsA¡1.Exercice 7 1.

Vér ifierqu eAAE0

@2 0 1

0 2¡1

1 0 11

A

est inversible et l"inverser par par la méthode du pivot de Gauss.2.R etrouvert ousles résu ltatssur l esma tricesc arréed et aille2 e nap pliquantcett eméth ode.

Chapitre 6 -4/4- Systèmes linéaires

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