APPLICATIONS LINEAIRES - MATRICES
III - SYSTEME de CRAMER. 3.1 Définition (S) est un système de CRAMER ssi. 1/ n=p. (La matrice des coéfficients A est carrée). 2/ detA ? 0 (le système {. }
MATRICES ET SYSTÈMES LINÉAIRES
Définition (Matrice coefficients
Systèmes déquations linéaires
On trouve la solution du système en inversant la matrice : Les formules de Cramer pour un système de deux équations sont les.
Matrices et systèmes linéaires
20 août 2017 Si n = p la matrice A est carrée de taille n et l'on note son ... Un système linéaire est dit de Cramer si sa matrice est inversible.
Résolution numérique dun système linéaire
Par exemple pour créer une matrice 3 × 4 à partir de ses une fonction gauss(A
PIVOT DE GAUSS - SYSTÈME DE CRAMER
Les systèmes auxquels on va s'intéresser dans la suite sont supposés linéaires et inversibles. Si la dimension de la matrice dim(A) = n est importante le nombre
Annexe C : Matrices déterminants et systèmes déquations linéaires
la matrice A des coefficients dans laquelle on a remplacé la ième colonne par la matrice des constantes. La résolution du système par la méthode de Cramer
Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires
La trace d'une matrice est la somme des éléments de sa diagonale. Page 5. Ift2421. 5. Chapitre 3. Méthode de Cramer.
Systèmes linéaires
(Systèmes de Cramer et matrices inversible) (admis). Un système linéaire (S) est de Cramer si et seulement si sa matrice associée et inversible et dans ce
Systèmes linéaires
Un système est de Cramer si et seulement si la matrice associée A est inversible. Dans ce cas l'unique solution du système est donnée par X = A?1B.
[PDF] FORMULES DE CRAMER - Toutes les Maths
Considérons un système (S) de trois équations linéaires à trois inconnues x Nous allons démontrer les formules de Cramer par analyse et synthèse
[PDF] Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires
Méthode de Cramer Si A x = b est un système de n équations avec n inconnues tel que det (A) ? 0 alors le système a une solution unique qui est
[PDF] APPLICATIONS LINEAIRES - MATRICES
3 1 Définition (S) est un système de CRAMER ssi 1/ n=p (La matrice des coéfficients A est carrée) 2/ detA ? 0 (le système { } est libre)
[PDF] Systèmes linéaires - Exo7 - Cours de mathématiques
Introduction aux systèmes d'équations linéaires Résolution par la méthode de Cramer substitution méthode de Cramer inverse d'une matrice
[PDF] Matrices et systèmes linéaires - Lycée dAdultes
20 août 2017 · Définition 11 : Système de Cramer Un système linéaire est dit de Cramer si sa matrice est inversible ?A ? GLn(K) B ? K n AX = B ? X = A
[PDF] Chapitre II : Déterminant dune matrice carrée et systèmes de Cramer
27 mar 2021 · (?1)k+j akj det(Akj ) Pr Abdellatif Sadrati F S T Errachidia Chapitre II : Déterminant d'une matrice carrée et systèmes de Cramer Page 8
[PDF] MATRICES ET SYSTÈMES LINÉAIRES - Christophe Bertault
1 1 MATRICES ADDITION MATRICIELLE ET MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE Pour tous A ? GLn() et B ? n le système de Cramer AX = B d'inconnue X ? n
[PDF] Chapitre 7 : Matrices et systèmes - Normale Sup
18 déc 2013 · Un système linéaire carré est de Cramer si et seulement si sa matrice associée A est inversible Dans ce cas l'unique solution du système est
Fiche explicative de la leçon : Règle de Cramer - Nagwa
Définition : Méthode de Cramer pour un système de deux équations linéaires à deux inconnues · ???? et de · ???? de la matrice des coefficients par les coefficients de
Comment résoudre un système par la méthode de Cramer ?
Pour appliquer la méthode de Cramer, on doit déterminer ? , ? ? et ? ? . On commence par ? : ? = ? 8 ? 4 9 ? 6 = ( ? 8 × ? 6 ) ? ( ? 4 × 9 ) = 4 8 + 3 6 = 8 4 . Avec ce résultat, non seulement on a trouvé ? , mais comme ? est non nul, on a montré qu'il y a une solution unique au système d'équations.Comment savoir si une matrice est de Cramer ?
Un système carré (i.e. avec autant d'équations que d'inconnues) est dit de Cramer si le déterminant de sa matrice est non nul.Comment résoudre un système par la méthode matricielle ?
1Etape 1. Réduire la forme du système. 2Etape 2. Identifier les coefficients des inconnues. 3Etape 3. Traduire le système sous forme matricielle. 4Etape 4. Multiplier les deux membres de l'égalité par la matrice inverse. 5Etape 5. Déduire les valeurs des inconnues.- Un système d'équation se traduit par le produit matriciel AX = B. Ce système admet une unique solution si A est inversible : X = A-1B.
Chapitre 10
Systèmes linéaires
Table des matières
1 Définitions - Premiers exemples.
31.1 Définitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Les différents cas possibles pour les systèmes linéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Résolution dans des cas très simples
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1 Résolution par substitution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2 Systèmes triangulaires (ou échelonnés)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Pivot de Gauss5
2.1 Opérations Élémentaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Pivot de Gauss
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Écriture matricielle d"un système linéaire.
62Systèmes linéairesECS1 - Mathématiques
Systèmes linéaires3Dans tout ce chapitre,KdésigneraRouC.1 Définitions - Premiers exemples.
1.1 DéfinitionsDéfinition 1. (Système linéaire)
Soitpetndeux entiers non nuls. On appelle système linéaire denéquations àpinconnues un système de la
forme : (S) :? ?????a1,1x1+...+a1,pxp=y1
a2,1x1+...+a2,pxp=y2
a n,1x1+...+an,pxp=yn système etx1, x2,...,xpsont lesinconnuesdu système.Résoudre un tel système c"est trouvertouslesp-uplets(x1, x2,...,xp)?Kpqui vérifientsimultanémentles
néquations.Exemple 1. Les trois systèmes ci-dessous sont linéaires.Exemple 2.Les deux systèmes ci-dessous ne sont pas linéaires.Définition 2. (Systèmes équivalents, système incompatible)
Deux systèmes(S)et(S?)sont ditséquivalentss"ils ont les mêmes solutions.Un système(S)est ditincompatibles"il n"admet pas de solution.Définition 3. (Systèmes homogènes, système homogène associé)
Un système(S)est dithomogènesi son second membre est nul.On appellesystème homogène associéà un système(S)le système(H)obtenu en remplaçant tous les
seconds membrebipar0.ECS1 - Mathématiques4Systèmes linéaires1.2 Les différents cas possibles pour les systèmes linéaires
On a trois cas possibles pour un système linéaire ànéquations etpinconnues : Sin > p, il y plus d"équation que d"inconnues. il y a alors deux cas possibles : -Soit le système ne possède aucune solution (il est dit incompatible).-Soit lorsqu"on résout le système on obtient des équations redondantes et alors, en les supprimant on
Sin=p, on dit qu"on aun système carré d"ordren. Il y a alors trois cas possibles :-Soit le système possède une et une seule solution.On dit alors qu"il s"agit d"un système de Cramer.
-Soit le système possède une infinité de solution -Soit le système ne possède aucune solution (il est dit incompatible).Sin < p, il y a deux possibilités :
-Soit le système possède une infinité de solution -Soit le système ne possède aucune solution (il est dit incompatible).1.3 Résolution dans des cas très simples
1.3.1 Résolution par substitutionExemple 3.
Résolvons le système ci-dessous par substitution : (S) :?x+ 3y= 22x+ 7y= 1Remarque.
Cette méthode est souvent fastidieuse dès que le nombre d"équations ou d"inconnues est supérieur à2.
1.3.2 Systèmes triangulaires (ou échelonnés)Exemple 4.
(S) :? ?x+3y+2z= 22y+5z= 4
4z= 8 Il est facile de résoudre ce système parremontées successives.ECS1 - MathématiquesSystèmes linéaires5Exemple 5.
(S) :?-x+2y-z= 0 y-2z= 5Dans ce système, le nombre d"inconnues est supérieure au nombre d"équations. On peut choisir dans la
deuxième équation de laisser une inconnue "libre". On est nous-même libre de choisir quelle inconnue sera libre.2 Pivot de Gauss2.1 Opérations ÉlémentairesDéfinition 4. (Opérations élémentaires)
Soit(S)un système. On appelle opérations élémentaires l"une des opérations suivantes :
1.Li↔Lj,i?=j:échange des lignesietj.
2.Li←aLi,a?= 0:multiplication d"une ligne par un scalaire non nul.
3.Li←Li+bLj,i?=j:addition d"un multiple de la lignejà la lignei.
4.Li←aLi+bLj,a?= 0eti?=j(Combinaison des deux opérations précédentes.)Proposition 1. (Opérations élémentaires et systèmes équivalents)(admis)
Lorsqu"on applique l"une des opérations élémentaires à un système(S), on obtient un système équivalent à(S).
2.2 Pivot de Gauss
Cette méthode procède en deux temps :
Élimination successive des inconnues à l"aide des opérations élémentaires pour passer du système initial à
un système triangulaire équivalent. Remontée du système triangulaire obtenu.Exemple 6. (S1) :? ?x+ 2y+ 3z= 23x+y+ 2z= 1
2x+ 3y+z= 0(S2) :?
?3x-y+ 2z= 1 -x+ 2y-3z= 2 x+ 2y+z= 0 (S3) :? ?y-z= 12x+y+z= 3
x+z= 1(S4) :? ?y-z= 12x+y+z= 1
x+z= 1Proposition 2. (Caractérisation d"un système de Cramer par le pivot de Gauss)(admis)Un système carré(S)est un système de Cramer si on peut trouver un pivot non nul à chaque étape du pivot de
Gauss.ECS1 - Mathématiques
6Systèmes linéaires3 Écriture matricielle d"un système linéaire.
Définition 5. (Écriture matricielle d"un système linéaire)On considère le système :
(S) :? ?????a1,1x1+...+a1,pxp=y1
a2,1x1+...+a2,pxp=y2
a n,1x1+...+an,pxp=ynOn pose
A=( (((a1,1a1,2···a1,p
a2,1a2,2···a2,p
a n,1an,2···an,p) )));X=( ((((x 1 x 2... x p) ))))etY=( (y 1 y2...yn)
Le système(S)s"écrit alors :
AX=Y. Cette écriture est appeléeécriture matricielle du système(S).Résoudre(S)revient donc à résoudre l"équation matricielle associée.Proposition 3. (Systèmes de Cramer et matrices inversible)(admis)
Un système linéaire(S)est de Cramer si et seulement si sa matrice associée et inversible et dans ce cas l"unique
solution du systèmeAX=YestX=A-1Y.Exemple 7.Montrons que la matriceA=( (2 7 3 3 9 41 5 3)
)est inversible et calculons son inverse.ECS1 - Mathématiquesquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] relier 9 points en 3 traits sans lever le crayon
[PDF] enigme relier 9 points sans croiser
[PDF] relier 9 points en 4 traits sans croiser
[PDF] exercices gratuits écrits professionnels
[PDF] problème des 9 points
[PDF] heure légale fermeture restaurant
[PDF] relier 9 points en 1 trait
[PDF] fermeture tardive restaurant
[PDF] enigme relier 6 points sans croiser
[PDF] horaire fermeture bar de nuit
[PDF] infraction fermeture tardive débit de boissons
[PDF] heure legale ouverture bar
[PDF] amende pour fermeture tardive
[PDF] infraction fermeture tardive bar
