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L2 ÉCONOMIEAnnée 2019-2020MODULE2 - OUTILSQUANTITATIFS

MATHÉMATIQUES POUR L"ÉCONOMISTE4

Polycopié de coursJulie Scholler

Table des matières

0.1 Généralités sur les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2 Nature d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.3 Propriétés de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.4 Suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1Suites récurrentes linéaires du premier ordre à coefficients constants et second membre constant21

1.2 Équations aux différences finies du premier ordre non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1 Suites récurrentes linéaires d"ordre 2 à coefficients constants sans second membre . . . . . . . 33

2.2 Suites récurrentes linéaires d"ordre 2 à coefficients constants avec second membre . . . . . . . 35

2.3 Étude complète d"une relation de récurrence linéaire à coefficients constants d"ordre 2 . . . . 37

3.1 Équations " primitives » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Équations différentielles du premier ordre non linéaires autonomes . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Structure de l"ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Résolution de l"équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Cas d"un second membre cosntant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5 Problème deCauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.6 Méthode de résolution complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1

TABLE DES MATIÈRES

2 n0?N) u:N-→R, n?-→un. u nest appelé leterme généralde la suite. Sonindiceourangestn.

On peut aussi définir des suites indexées sur l"ensembleJn0,+∞Jdes entiers supérieurs ou égaux à un entier

n0.,Une telle suite est notée(un)n>n0. En pratique, on commence souvent à0ou à1.

Pour ne pas alourdir les énoncés, nous considérons dans ce cours des suites définies surN, si rien de particulier

n"est précisé. La généralisation aux autres suites est triviale.

Il ne faut jamais oublier les parenthèses qui permettent de faire la différence entre une suite(un)n?Net son

terme généralunqui est un réel. Une suite peut être définie de différentes façons : •de façonexplicite: pour tout entier positifn, on aun=f(n); de façonrécurrente: pour tout entier positifn, on aun+1=f(un)ouun+k=f(un+k-1,un+k-2,...,un).

Exemples de suites définies explicitement :

•la suite de terme général :un= 3n2+ 5; •la suite de terme général :un=?1sinest pair,

0sinest impair.

Exemple de suites définies par récurrence :

•la suite(un)n?Ndéfinie paru0= 2et?n?N,un+1=⎷u n; •la suite(un)n?Ndéfinie parun= 1et?n?N,un+1=u0+u1+···+un. 3

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

On dit qu"une suite réelle(un)n?Nest

•croissante(resp.strictement croissante) si?n?N, un+1>un(resp.un+1> un); •décroissante(resp.strictement décroissante) si?n?N, un+16un(resp.un+1< un); •monotonesi elle est soit croissante soit décroissante;

•strictement monotonesi elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante.On définit de manière évidente la notion de suite croissante ou décroissante à partir d"un certain rang.

Pour montrer qu"une suite est croissante (respectivement décroissante), on peut utiliser l"une des

méthodes suivantes. •On montre que pour tout entier natureln, on aun+1-un>0(resp.un+1-un60). Si la suite est à termes strictement positifs, on montre que pour tout entier natureln, on aun+1u n>1(resp.un+1u n61). Étudions le sens de variation de la suite(un)n?Ndéfinie pour tout entier naturelnparnnn!.

On donne deux méthodes.

•SoitndansN?. On prendn >0pour de pas se retrouver par une division par0. u n+1u n=(n+1)n+1(n+1)!n nn!=(n+ 1)n+1n!n n(n+ 1)!=(n+ 1)(n+ 1)nn!n n(n+ 1)!= (n+ 1)?n+ 1n n1n+ 1=?n+ 1n n >1 car n+ 1n >1, ce qui prouve que la suite est strictement croissante à partir de l"indice1.

De plus,u0= 1 =u1donc la suite est croissante.

•SoitndansN. u n+1-un=(n+ 1)n+1(n+ 1)!-nnn!=(n+ 1)n(n+ 1)n!(n+ 1)-nnn!=(n+ 1)nn!-nnn!=(n+ 1)n-nnn!>0,

etun+1-un>0sin >0. ce qui prouve que la suite est croissante et strictement croissante à partir de

l"indice 1. 4

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

•On dit qu"une suite(un)n?Nestmajoréesi ?M?R,?n?N, un6M. •On dit qu"une suite(un)n?Nestminoréesi ?m?R,?n?N, un>m. •On dit qu"une suite(un)n?Nestbornéesi elle est minorée et majorée : ?m?R,?M?R,?n?N, m6un6M. ou de manière équivalente Montrons que la suite(un)n?Ndéfinie pour tout entier naturelnparun=(-1)nn+ 1est bornée. Pour toutn?N, on an+ 1>1donc1n+ 161puisque la fonctionx?→1x est décroissante sur[1,+∞[. Par ailleurs, on a|(-1)n|= 1donc finalement,|un|61.

Ainsi,(un)n?Nest bornée.

Définition informelle :Une suite(un)n?Nest dite convergente s"il existe un nombre??Rtel que, si on attend suffisamment

On dit qu"une suite(un)n?Nconvergevers un réel?, et on notelimn→+∞un=?ouun-→n→+∞?, si et

seulement si ?ε?R?+,?n0?N,?n>n0,|un-?|< ε. ce qui revient à dire ?ε?R?+,?n0?N,?n>n0, un?]?-ε,?+ε[. Ainsi, une suite converge vers?si, quelque soitε(aussi petit que l"on veut), on peut trouver un rangn0(dépendant deε) à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l"intervalle Si la suite converge, alors à partir du rangn0, tous les termes sont dans la bande de largeur2ε. Si on diminueε, alors le rang à partir duquel les termes sont dans la bande sera supérieur ou égal àn0.??+??-?n

0++++++++

5

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Toute suite convergente est bornée.

La réciproque est fausse : il existe des suites bornées qui ne convergent pas.

La suite(un)n?Ndéfinie par

?n?N, un:= (-1)n Quand une suite est convergente, sa limite est unique.

On dit qu"une suite(un)n?N

•a pourlimite+∞, et on notelimn→+∞un= +∞ouun-----→n→+∞+∞, si et seulement si

?A?R,?n0?N,?n>n0, un> A.

•a pourlimite-∞, et on notelimn→+∞un=-∞ouun-----→n→+∞-∞, si et seulement si

?A?R,?n0?N,?n>n0, un< A.

•estdivergentesi et seulement si elle admet pour limite+∞ou-∞ou n"admet pas de limite.Ainsi, une suite diverge vers+∞si, quelque soit le réelA,

il existe un rangn0(dépendant deA) à partir duquel les termes de la suite sont supérieurs àA. Si on augmenteA, alors le rang à partir duquel les termes seront supérieurs àAsera supérieur ou égal àn0.A n

0+++++++++++++++

Il ne faut pas confondre la notion de suite divergente et de suite n"admettant pas de limite. •Toute suite qui tend vers+∞est minorée. •Toute suite qui tend vers-∞est majorée.6

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Soient(un)n?Net(vn)n?Ndeux suites réelles. Soient?et??deux réels. •Si(un)n?Nconverge vers?et(vn)n?Nconverge vers??, alors(un+vn)n?Nconverge vers?+??. •Si(un)n?Nest minorée et(vn)n?Ntend vers+∞, alors la suite(un+vn)n?Ntend vers+∞. •Si(un)n?Nest majorée et(vn)n?Ntend vers-∞, alors la suite(un+vn)n?Ntend vers-∞.

En particulier, on a les résultats suivants.

•Si(un)n?Ntend vers un réel ou+∞et(vn)n?Ntend vers+∞, alors la suite(un+vn)n?Ntend vers+∞. Si(un)n?Ntend vers un réel ou-∞et(vn)n?Ntend vers-∞, alors la suite(un+vn)n?Ntend Si(un)n?Ntend vers+∞et(vn)n?Ntend vers-∞, alors on ne peut rien direa priori.

C"est uneforme indéterminée: il n"existe pas de théorème général mais la limite peut exister.

•Si pour tout entier natureln,un=netvn=-n+?, où?désigne un réel, alorsun+vn-----→n→+∞?.

•Si pour tout entier natureln,un=n2etvn=-n, alorsun+vn-----→n→+∞+∞. •Si pour tout entier natureln,un=netvn=-n2, alorsun+vn-----→n→+∞-∞. Si pour tout entier natureln,un=netvn=-n+(-1)n, alors la suite de terme généralun+vn= (-1)n Soit(un)n?Nune suite réelle. Soitλun réel non nul. •Si la suite(un)n?Nconverge vers le réel?, alors la suite(λun)n?Nconverge versλ?. •Si la suite(un)n?Ntend vers+∞, alors la suite(λun)n?Ntend vers?+∞siλ >0 -∞siλ <0. •Si la suite(un)n?Ntend vers-∞, alors la suite(λun)n?Ntend vers?-∞siλ >0 +∞siλ <0. •Si la suite(un)n?Nn"admet pas de limite, alors la suite(λun)n?Nn"admet pas de limite.7

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Soient(un)n?Net(vn)n?Ndeux suites réelles. Soient?et??deux réels. 1. Si (un)n?Nconverge vers0et(vn)n?Nest bornée, alors(unvn)n?Nconverge vers0. 2. Si (un)n?Nconverge vers?et(vn)n?Nconverge vers??, alors(unvn)n?Nconverge vers???. 3. Si (un)n?Ntend vers+∞et si, à partir d"un certain rang, •(vn)n?Nest minorée par une constante strictement positive, alors(unvn)n?Ntend vers+∞.

•(vn)n?Nest majorée par une constante strictement négative, alors(unvn)n?Ntend vers-∞.

4. Si (un)n?Ntend vers-∞et si, à partir d"un certain rang, •(vn)n?Nest minorée par une constante strictement positive, alors(unvn)n?Ntend vers-∞.

Montrons que dans le cas de la forme indéterminée "0×+∞», tous les cas peuvent se présenter.

•Si pour tout entier naturelnnon nul,un=?n , où?désigne un réel, etvn=n, alorsunvn-----→n→+∞?. •Si pour tout entier naturelnnon nul,un=1n

2etvn=n, alorsunvn-----→n→+∞0+.

•Si pour tout entier naturelnnon nul,un=-1n

2etvn=n, alorsunvn-----→n→+∞0-.

•Si pour tout entier naturelnnon nul,un=1n etvn=n2, alorsunvn-----→n→+∞+∞. •Si pour tout entier naturelnnon nul,un=-1n etvn=n2, alorsunvn-----→n→+∞-∞. Si pour tout entier naturelnnon nul,un=(-1)nnetvn=n, alorsunvn= (-1)nn"admet pas de limite. 8

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Soit(un)n?Nune suite réelle et soit?un réelnon nul. 1. Si la suite (un)n?Nconverge vers le réel non nul?, alors la suite?1u n? converge vers le réel1? 2. Si la suite (un)n?Ntend vers+∞ou-∞, alors la suite?1u n? converge vers0.

3.Si la suite(un)n?Nconverge vers0et si tous ses termes sont strictement positifs (respectivement

négatifs) à partir d"un certain rang, alors la suite?1u n?

Dans le cas de la forme indéterminée "10

», les différentes possibilités sont+∞,-∞ou pas de limite. •Si pour tout entier naturelnnon nul,un=1n , alorslimn→+∞1u n= limn→+∞n= +∞. •Si pour tout entier naturelnnon nul,un=-1n , alorslimn→+∞1u n= limn→+∞-n=-∞. Si pour tout entier naturelnnon nul,un=(-1)nn+ 1, alors la suite de terme général1u n=n+ 1(-1)nn"admet pas de limite.

On peut retenir

10 += +∞», "10 -=-∞» et "1∞ = 0», mais ces abréviations ne doiventpasêtre utilisées dans la rédaction d"une solution. 9

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

rang.

Soient?un réel et??un réel non nul.

1. Si (un)n?Nconverge vers?et(vn)n?Nconverge vers??, alors la suite?unv n? n?Nconverge vers?? 2. (a) Si(un)n?Nconverge vers?et(vn)n?Nconverge vers0et si tous ses termes sont strictement positifs à partir d"un certain rang, alors la suite?unv n? n?Nconverge vers?+∞si? >0 -∞si? <0. (b) Si(un)n?Nconverge vers?et(vn)n?Nconverge vers0et si tous ses termes sont strictement négatifs à partir d"un certain rang, alors la suite?unv n? n?Nconverge vers?-∞si? >0 +∞si? <0. 3. (a) Si(un)n?Ntend vers±∞et(vn)n?Nconverge vers??, alors ?unv n? n?N converge vers ?±∞si??>0 ?∞si??<0. (b)

Si(un)n?Ntend vers±∞et(vn)n?Nest

?minorée par une constante strictement positive majorée par une constante strictement négative alors la suite?unv n? n?Nconverge vers?±∞

Les formes indéterminées sont "∞∞», "00» et "∞0» (pour le dernier, si le quotient n"est pas de signe

constant à partir d"un certain rang, alors il n"y a pas de limite).

En revanche, "∞0

+» et "∞0 -» ne sont pas des formes indéterminées.

Dans le cas de la forme indéterminée "+∞+∞», tous les cas non négatifs peuvent se présenter.

•Si pour tout entier natureln,un=?n, où?est dansR?+, etvn=n, alorsunv n-----→n→+∞?. •Si pour tout entier natureln,un=netvn=n2, alorsunv n-----→n→+∞0+. •Si pour tout entier natureln,un=n2etvn=n, alorsunv n-----→n→+∞+∞. Si pour tout entier natureln,un=n(2 + (-1)n)etvn=n, alors la suite de terme généralunv n= 2+(-1)n n"a pas de limite. Soit(un)n?Nune suite qui tend vers?(un réel ou+∞ou-∞). Soitfune fonction telle quef(x)-→x→?λ(un réel ou+∞ou-∞). Alors la suite(f(un))n?Ntend versλ. En particulier, sifest une fonction continue au point?, alors f(un)-→n→+∞f(?).10

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

•Soit(un)n?Nune suite qui tend vers?(un réel ou+∞ou-∞).

Alors la suite(eun)n?Ntend vers?

??+∞si?= +∞ e ?si??R

0si?=-∞

•Soit(un)n?Nune suite strictement positive qui tend vers?(un réel positif ou+∞).

Alors la suite(ln(un))n?Ntend vers?

??+∞si?= +∞ ln(?)si??R?+ -∞si?= 0 •-Soit(un)n?Nune suite strictement positive qui tend vers?(un réel positif ou+∞). Pour tout réelαdansR?+, la suite(uαn)n?Ntend vers? ??+∞si?= +∞

αsi??R?+

0si?= 0

-Soit(un)n?Nune suite strictement positive qui tend vers?(un réel positif ou+∞). Pour tout réelαdansR?-, la suite(uαn)n?Ntend vers? ??0si?= +∞

αsi??R?+

+∞si?= 0 Soient(un)n?N,(vn)n?Net(wn)n?Ntrois suites réelles. •Si les suites(un)n?Net(wn)n?Nadmettent la même limite réelle?et si ?n?N, un6vn6wn. alors la suite(vn)n?Nconverge et admet pour limite?. •Si la suite(un)n?Ndiverge vers+∞et si ?n?N, un6vn, alors la suite(vn)n?Ndiverge vers+∞. •Si la suite(vn)n?Ndiverge vers-∞et si ?n?N, un6vn,

Pour tout entierndansN?, on a-16(-1)n61donc-1n

6(-1)nn

61n

Or les suites?1n

n?N?et?-1n n?N?convergent vers0.Ainsi, d"après le théorème de convergence par encadrement, la suite ?(-1)nn n?N? converge, et sa limite est 0.

Pour tout entier natureln,n-16n+ (-1)n.

Or la suite(n-1)n?Ntend vers+∞.

D"après le théorème de divergence par minoration, on en déduit que la suite(n+ (-1)n)n?Ntend vers+∞.

11

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Toute suite réelle monotone admet une limite (finie ou infinie). 1.

Soit (un)n?Nune suite croissante.

•Si la suite(un)n?Nest majorée par un réelM, alors elle converge vers un réel?6M. •Si la suite(un)n?Nn"est pas majorée, alors elle diverge vers+∞. 2.

Soit (un)n?Nune suite décroissante.

•Si la suite(un)n?Nest minorée par un réelm, alors elle converge vers un réel?>m.

Ce théorème ne donne pas la limite de la suite mais est utilisé pour prouver l"existence de la limite.

Soit(un)n?Nune suite.

•On appellesuite extraite des termes d"indices pairsla suite(u2n)n?N.

Soit(un)n?Nune suite. Soit?un réel ou+∞ou-∞.La suite(un)n?Nadmet pour limite?si et seulement si les suites(u2n)n?Net(u2n+1)n?Nadmettent

Pour montrer qu"une suite est divergente, il suffit de déterminer une sous-suite divergente ou deux sous-suites

Soit(un)n?Nune suite. Soit?un réel ou+∞ou-∞. Pour tout entier natureln, le terme qui suitu2ndans la suite(u2n)n?Nestu2(n+1)=u2n+2. Pour tout entier natureln, le terme qui suitu2n+1dans la suite(u2n+1)n?Nestu2(n+1)+1=u2n+3. •La suite((-1)n)n?N, qui est bornée par-1et1, n"admet pas de limite. En effet, la suite des termes d"indices pairs est constante et prend la valeur1donc converge vers1. 12

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

La suite des termes d"indices impairs est constante et prend la valeur-1donc converge vers-1. Comme les limites de deux suites extraites sont différentes, la suite diverge sans limite. •La suite(n(-1)n)n?N, qui n"est pas bornée, n"admet pas de limite. En effet, la suite(2n)n?Ndes termes d"indices pairs tend vers+∞. La suite(-(2n+ 1))n?Ndes termes d"indices impairs tend vers-∞. Comme les limites de deux suites extraites sont différentes, la suite diverge sans limite.

Soientaetbdeux réels tel quea >0etb >1. Alors

•limn→+∞n an!= 0,•limn→+∞b nn!= 0,•limn→+∞n ab n= 0,•limn→+∞n!n Par ordre de prépondérance croissante on a ainsi : •les suites puissances strictement positives; •les suites exponentielles de basea >1; •la suite factorielle; •la suite de terme généralnn. On appellesuite arithmétiquederaisonr?Rtoute suite(un)n?Ntelle que

?n?N, un+1=un+r.Une telle suite est entièrement déterminée par sa raison et par son premier terme (ou n"importe quel terme).

La suite(un)n?Ndéfinie par

u

0= 1et?n?N, un+1=un+ 3

est l"unique suite arithmétique de premier terme1et de raison3. Pour montrer qu"une suite(un)n?Nest arithmétique, on montre que pour tout entier natureln, la différenceun+1-unest constante, c"est-à-dire ne dépend pas den. Le réel ainsi trouvé est la raison de la suite arithmétique.13

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Soit(un)n?Nune suite arithmétique de raisonr.

•Si la raisonrest strictement positive, alors la suite(un)n?Nest strictement croissante.

•Si la raisonrest strictement négative, alors la suite(un)n?Nest strictement décroissante.

•Si la raison est nulle, alors la suite est constante égale à son premier terme.Démonstration.

?n?N, un+1-un=un+r-un=r.r >0r <0r= 0××××××× u 0u 1u 2u 3u 4u 5u 0u 1u 2u 3u 4u 5u 0u 1u Toute suite arithmétique de raison strictement positive est minorée et non majorée. Le terme général d"une suite arithmétique(un)n?Nde raisonrest u n=u0+nr.Démonstration.

C"est trivial par récurrence sur l"entiern.

1.

Initialisation : u0=u0+ 0×r.

2. Hérédité : soit nun entier naturel tel queun=u0+nr. Alors u n+1=un+rpar définition de la suite(un)n?N =u0+nr+rd"après l"hypothèse de récurrence =u0+ (n+ 1)r. Soit(un)n?Nune suite arithmétique de raisonr?R. Alors pour tout entier natureln, n k=0u k= (n+1)u0+un2 et?p?Jn,+∞J,n? k=pu k= (n-p+ 1)???? nombre de termespremier terme ????up+dernier terme????un2 .14

CHAPITRE 0. SUITES NUMÉRIQUES

Démonstration.

n k=0u k=n? k=0(u0+kr) =n? k=0u 0+rn? k=0k= (n+ 1)u0+n(n+ 1)2 r= (n+ 1)u0+un2 n k=pu k=n-p? k=0u p+k=n-p? k=0u p+kr=n-p? k=0u p+rn-p?quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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