EQUATIONS DIFFERENTIELLES
II : Equations différentielles linéaires du second ordre solution particulière avec second membre b2 alors y1 + y2 est solution particulière avec ...
- FICHE DE COURS CHAPITRE SUR LES EQUATIONS
Equation différentielle linéaire du second ordre (E) AVEC second membre à fonction f(t) = -t2 – 2t – 2 est une solution particulière de cette équation.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES I Définition et notation
2/ Solution de l'équation différentielle avec second membre. Propriété: La solution générale de l'équation : ay''+by'+cy=d avec a
Les équations différentielles en physique
On cherche une solution particulière de l'équation avec second membre. La forme canonique d'une équation différentielle du deuxième ordre est :.
Équations différentielles
degré 2 on cherche une solution particulière de la même forme : différentielle linéaire d'ordre 1
Équations différentielles appliquées à la physique
Jun 19 2017 On détermine une solution particulière de l'équation avec second membre. Comme celui-ci est constant
Math S2 PeiP Chapitre 2 Équations différentielles linéaires du
C'est un phénomène général pour les équations (différentielle ou non) li- néaires avec un second membre. Soit y0 une solution particulière de (E).
C3. Équations différentielles dordre 1
II. Équation « primitive ». Équation « primitive » Solution d'une équation différentielle linéaire ... Résolution de l'équation avec second membre.
Chapitre 4 EQUATIONS DIFFERENTIELLES
4.1 Equations différentielles linéaires du premier ordre. 4.1.1 Présentation du probl`eme 4.1.2 La solution générale de l'équation sans second membre.
Polycopié de cours
2.2 Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants avec second membre . . . . . . . 35. 2.3 Étude complète d'une relation de récurrence
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Equation différentielle linéaire du second ordre (E) AVEC second membre à fonction f(t) = -t2 – 2t – 2 est une solution particulière de cette équation
[PDF] EQUATIONS DIFFERENTIELLES
I : Equations différentielles linéaires du premier ordre 1) Définition a) Equation homogène (ou équation sans second membre) b) Equation avec second membre
[PDF] Équations di érentielles linéaires du 1er et du 2nd ordre à coe cients
Second membre trigonométrique Principe de superposition Exemples 3 Équations différentielles du 2nd ordre Définitions Solution générale de l'équation
[PDF] 13 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND
RESOLUTION de L'EQUATION SANS SECOND MEMBRE (II) On forme l'équation du second degré appelée équation caractéristique ar br c IIc 2
[PDF] Résolution dune équation différentielle du second ordre à
Soit une équation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants vérifiée par la fonction x(t) : ax + b ?x + cx = s (E) avec (a b
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13 avr 2021 · 2 Équation différentielle linéaire de second ordre ver une solution particulière et de lui ajouter la solution générale de l'équation
[PDF] Chapitre 4 EQUATIONS DIFFERENTIELLES
4 1 Equations différentielles linéaires du premier ordre 4 1 1 Présentation du probl`eme 4 1 2 La solution générale de l'équation sans second membre
Équations différentielles du 2ème ordre
Suivant la forme du second membre une méthode d'identification des coefficients permet de déterminer la solution particulière \(y_{p}\) de (E) (E) \(y'' + A y
[PDF] Math S2 PeiP Chapitre 2 Équations différentielles linéaires du
C'est un phénomène général pour les équations (différentielle ou non) li- néaires avec un second membre Soit y0 une solution particulière de (E)
[PDF] Équations différentielles - Exo7 - Cours de mathématiques
Exemple 4 1 y? + 5x y = ex est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre 2 y? +
Comment trouver la solution particulière d'une équation différentielle du second ordre ?
Recherche d'une solution particulière de ( E )
La dérivée de h ( t ) = a est h ? ( t ) = . On identifie avec le second membre de l'équation différentielle = . En résolvant le système obtenu, on trouve [ a = 4 ] . La fonction h ( t ) = est donc une solution particulière de = .Comment résoudre une équation différentielle avec second membre ?
b) Equation avec second membre : Considérons l'équation ay" + by' + cy = d(x). Soit y0 solution de cette équation. On remarque alors que, comme dans le cas des équations du premier ordre : Page 9 - 9 - i) si z est solution de l'équation homogène associée, alors y0 + z est solution de l'équation complète.Comment trouver une solution particulière d'une équation différentielle ?
Méthode : Pour trouver une solution particulière de y +a(x)y = ?(x), on peut chercher sous la forme x ?? C(x)h(x) où h est solution de l'équation homogène. Lorsqu'on a le choix, il est conseillé de préférer les autres méthodes, qui donnent souvent des calculs moins lourds.- C'est une équation différentielle du second ordre car elle fait intervenir la dérivée seconde de y. C'est une équation linéaire, c'est-`a-dire que, si y1 et y2 sont solutions de l'équation u(y) = f(x), alors u(y1 ? y2)=0. On est ainsi amené `a résoudre l'équation sans second membre u(y)=0.
C3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
D"ORDRE1
Julie Scholler - Bureau B246
mars 2020I. IntroductionÉquation différentielle ordinaire
les solutions sont des fonctions relation entre la fonction et un certain nombre de ses dérivéesExemple K ?(t) =I(t)-δK(t)avec 0< δ <1II. Équation " primitive »
Équation " primitive »
SoientIun intervalle etgune fonction deIdansR.
?t? I,y?(t) =g(t) Les solutions sont les primitives degsurI.Exemples ?t?R?+,y?(t) =1t2? ?C?R,?t?R?+,y(t) =-1t
+C•Coût marginal :C?(Q) =2e-0.2QetC(0) =90•
Taux de formation du capital :?t?R+,K?(t) =I(t)
Par exemple avecI(t) =3t12
etK(0) =0III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1 ?t?R+,K?(t) =I(t)-δK(t)avec 0< δ <1 III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1 Équation différentielle linéaire d"ordre 1Toute équation de la forme
?t? I,y?(t) +a(t)y(t) =b(t)(E) avecaetbdeux fonctions continues surI. b: second membresiaest constante, l"équation est dite à coefficients constantsSolution d"une équation différentielle linéaire
f:I →Rest une solution de l"équationy?+ay=bsurIsi et seulement si la fonctionfest dérivable surI la fonctionfvérifie ?t? I,f?(t) +a(t)f(t) =b(t).III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1 Soientδ?]0;1[etIla fonction constante égale ài ?t?R+,K?(t) =I(t)-δK(t) ? ?t?R+,K?(t) +δK(t) =iLa fonctiont?→e-δt+iδ est une solution.Est-ce la seule solution? III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1 ?t?I,y?(t) +a(t)y(t) =b(t)(E)Équation homogène associée ?t?I,y?(t) +a(t)y(t) =0 (EH)Solutions d"une équation différentielle homogène L"ensemble des solutions de(EH) :y?+ay=0 sur l"intervalleIest S H:=? ?I→R t?→λe-A(t);λ?R?oùAdésigne une primitive surIde la fonctiona.III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1
Exemple
Élasticité constante
Soitα?R.
?x?R?+,y?(x)xy(x)=α III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1 Cas d"une équation homogène à coefficient constant (EH) :y?+ay=0, avecaest un réel S H:=? ?R→R t?→λe-at;λ?R? ?.Soita>0. Représentation graphique de courbes représentatives de différentes solutions de(EH)III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1Résolution de l"équation avec second membre
?t?I,y?(t) +a(t)y(t) =b(t)(E) Soitf0une solution de l"équation différentielle linéairey?+ay=b. Alors l"ensembleSdes solutions de l"équationy?+ay=best S=? f0+f;f? SH?
oùSHdésigne l"ensemble des solutions de l"équation différentielle linéaire homogèney?+ay=0. III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1 Soientδ?]0;1[etIla fonction constante égale ài. ?t?R+,K?(t) +δK(t) =i(E)?t?R+,K?(t) +δK(t) =0(EH)Solutions de(EH):? ?R→R t?→λe-δt;λ?R? ?Une solution particulière :t?→iδSolutions de(E):?
?R→R t?→λe-δt+iδ;λ?R? ?III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1 Cas à coefficient constant et second membre constantSoientaetbdansR?.
?t?I,y?(t) +ay(t) =b(E)Alors l"ensemble des solutions de(E)est
S:=? ?R→R t?→ba +λe-at;λ?R? III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1 ?t?R,y?(t) +y(t) =e2t(E)La fonctiont?→13 e2test une solution de(E).Cas à coefficient constant et second membre exponentielSoientaetmdansR?.
?t?I,y?(t) +ay(t) =emtAlors la fonction
?t?→1m+aemtsim?=-a t?→temtsim=-aest une solution particulière.III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1Exemple
?t?R?+,y?(t)-1t y(t) =1 Cherchons une solution particulièref0de la formef0(t) =g(t)t. III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1Méthode de la variation de la constante
Consiste à rechercher une solutionf0sous la forme f0(t) =λ(t)e-A(t),
oùλest une fonction dérivable surIet oùAdésigne une primitive dea.III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1Principe de superposition
Soient
b1etb2deux fonctions continues surI f1une solution dey?+ay=b1 f2une solution dey?+ay=b2 Alors pour tout réelλ, la fonctionλf1+f2est une solution de l"équation différentielley?+ay=λb1+b2. III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1 Problème de CauchySoientt0ety0deux réels. On appelleproblème de Cauchyde(E) de conditiony(t0) =y0le système (Et0,y0) :? ?y ?+ay=b y(t0) =y0 Le problème de Cauchy(Et0,y0)admet uneuniquesolution.Exemple aveca constant×(t0,y0)III. Équation différentielle linéaire d"ordre 1Modèle d"ajustement du prix
DemandeQd(t) =α-βP(t) (α,β >0)
OffreQs(t) =-γ+δP(t) (γ,δ >0)
AjustementP?(t) =q(Qd(t)-Qs(t)) (0 ?(t) +q(β+δ)P(t) =q(α+γ)Solutions :S=? ?R +→R ?Comportement asymptotique :limn→+∞P(t) =α+γβ+δ IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Soient deux intervallesIetJ, une fonctiony:I → Jet une fonction continuef:J →R. y ?(t) =f?y(t)?,?t? IIV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes Exemples
y ?(t) =2?y(t)pour toutt?R• y?(t) =2?y(t)pour toutt?R y(t) =t2×1[0;+∞[(t)est solution y(t) = (t-k)2×1[k;+∞[(t)est solution pour tout réelk• y?(t) =2?y(t)pour toutt?Rety(0) =0Les fonctionst?→0 ett?→t2×1[0;+∞[(t)sont solutionsy(t) =(t-k)2×1[k;+∞[(t)est solution pour tout réelk>0•
y?(t) =2?y(t)pour toutt?Rety(0) =1 y(t) = (t+1)2×1[-1;+∞[(t)est solution IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Problème de Cauchy
(Pt0,y0) :? ?y ?(t) =f(y(t)) y(t0) =y0avecy0? J,t0? IUnicité de la solution Sifest de classeC1surJ, alors il existe un intervalle ouvertcontenantt0(]t0-ε;t0+ε[) tel qu"il existe une unique solution au
problème de Cauchy(P)définie sur cet intervalle.IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes Conséquence
On considère le problème de Cauchy suivant
(Pt0,y0) :? ?y ?(t) =f(y(t)) y(t0) =y0avecy0? J,t0? I avecfestC1surJ. Soient deux solutions de(P):yetz.
S"il existeτtel quey(τ) =z(τ), alors on ay(t) =z(t), pour tout réelt." Deux courbes de solutions ne peuvent pas s"intersecter. » IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
y ?(t) =f?y(t)?,?t? I(E)Point d"équilibre Un pointy?? Jest appelé point d"équilibre de(E)sif(y?) =0.Un point d"équilibre est un état d"équilibre de(E).RemarqueSifadmet un point d"équilibrey?, alors la fonction constante égale
ày?est une solution de(E)(définie surR).IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes Intervalle de définition des solutions
Exemples
y?(t) =y(t)ety(0) =1 y(t) =etdéfinie surR• y?(t) =y2(t)ety(0) =1 y(t) =11-tdéfinie sur]- ∞;1[ IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Unicité de la solution
Il existe un intervalle maximalTcontenantt0tel que(P)admet une unique solution surT.Solution maximale On appelle solution maximale au problème de Cauchy(P)une fonction deTdansR, solution de(P), qui ne peut pas être prolongée sur un intervalle plus grand queT.Exemples y?(t) =y(t)ety(0) =1 y(t) =etdéfinie surRest une solution maximale y?(t) =y2(t)ety(0) =1 y(t) =11-tdéfinie sur]- ∞;1[est une solution maximaleIV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Proposition
Soityune solution maximale de(E).
On suppose quefest de classeC1surJ.
S"il existet? Ttel quey(t) =y?, alorsy(t) =y?, pour tout t? T.Conséquence Toute fonction solution est monotone car sa dérivée ne peut pas changer de signe. IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Théorème d"existence globale
Soityune solution maximale de(P)définie surT.
Siy(T)est bornée, alorsT=R.Différentes situations Avect-?R? {-∞}ett+?]t-;+∞[
T=]t-;+∞[etlimt→+∞y(t) =??R
T=]t-;+∞[etlimt→+∞y(t) =±∞
T=]t-;t+[etlimt→t+y(t) =±∞
Dans le dernier cas, on dit que la solution explose en temps fini.IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Limites possibles
Soityune solution maximale de(E)définie sur]t-;+∞[. Siyconverge, alors elle converge vers un point d"équilibre. IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Exemples d"étude qualitative
Exemple complet
y ?(t) =ay(t)-by2(t),aveca>0,b>0Modèle d"ajustement de prix DemandeQd(t) =p(t)-2
OffreQs(t) =8p(t)
Ajustementp?(t) =α(Qd(t)-Qs(t)) (α >0)
p ?(t) =αp(t)-2-8αp(t)IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes Modèle de Solow
k ?(t) =sf(k(t))-gk(t)(S) k: capital f: production s: taux d"épargne (0g: taux de croissance de la population (g>0)On suppose que la fonction de productionfest strictement concave et quef(0) =0 etf?(0)>gs Existe-il un état d"équilibre?
k ?est un état d"équilibre sif(k?) =gs k?quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Soient deux intervallesIetJ, une fonctiony:I → Jet une fonction continuef:J →R. y ?(t) =f?y(t)?,?t? IIV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomesExemples
y ?(t) =2?y(t)pour toutt?R• y?(t) =2?y(t)pour toutt?R y(t) =t2×1[0;+∞[(t)est solution y(t) = (t-k)2×1[k;+∞[(t)est solution pour tout réelk•y?(t) =2?y(t)pour toutt?Rety(0) =0Les fonctionst?→0 ett?→t2×1[0;+∞[(t)sont solutionsy(t) =(t-k)2×1[k;+∞[(t)est solution pour tout réelk>0•
y?(t) =2?y(t)pour toutt?Rety(0) =1 y(t) = (t+1)2×1[-1;+∞[(t)est solutionIV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Problème de Cauchy
(Pt0,y0) :? ?y ?(t) =f(y(t)) y(t0) =y0avecy0? J,t0? IUnicité de la solutionSifest de classeC1surJ, alors il existe un intervalle ouvertcontenantt0(]t0-ε;t0+ε[) tel qu"il existe une unique solution au
problème de Cauchy(P)définie sur cet intervalle.IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomesConséquence
On considère le problème de Cauchy suivant
(Pt0,y0) :? ?y ?(t) =f(y(t)) y(t0) =y0avecy0? J,t0? I avecfestC1surJ.Soient deux solutions de(P):yetz.
S"il existeτtel quey(τ) =z(τ), alors on ay(t) =z(t), pour tout réelt." Deux courbes de solutions ne peuvent pas s"intersecter. »IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
y ?(t) =f?y(t)?,?t? I(E)Point d"équilibreUn pointy?? Jest appelé point d"équilibre de(E)sif(y?) =0.Un point d"équilibre est un état d"équilibre de(E).RemarqueSifadmet un point d"équilibrey?, alors la fonction constante égale
ày?est une solution de(E)(définie surR).IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomesIntervalle de définition des solutions
Exemples
y?(t) =y(t)ety(0) =1 y(t) =etdéfinie surR• y?(t) =y2(t)ety(0) =1 y(t) =11-tdéfinie sur]- ∞;1[IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Unicité de la solution
Il existe un intervalle maximalTcontenantt0tel que(P)admet une unique solution surT.Solution maximale On appelle solution maximale au problème de Cauchy(P)une fonction deTdansR, solution de(P), qui ne peut pas être prolongée sur un intervalle plus grand queT.Exemples y?(t) =y(t)ety(0) =1 y(t) =etdéfinie surRest une solution maximale y?(t) =y2(t)ety(0) =1y(t) =11-tdéfinie sur]- ∞;1[est une solution maximaleIV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Proposition
Soityune solution maximale de(E).
On suppose quefest de classeC1surJ.
S"il existet? Ttel quey(t) =y?, alorsy(t) =y?, pour tout t? T.Conséquence Toute fonction solution est monotone car sa dérivée ne peut pas changer de signe.IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Théorème d"existence globale
Soityune solution maximale de(P)définie surT.
Siy(T)est bornée, alorsT=R.Différentes situationsAvect-?R? {-∞}ett+?]t-;+∞[
T=]t-;+∞[etlimt→+∞y(t) =??R
T=]t-;+∞[etlimt→+∞y(t) =±∞
T=]t-;t+[etlimt→t+y(t) =±∞
Dans le dernier cas, on dit que la solution explose en temps fini.IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Limites possibles
Soityune solution maximale de(E)définie sur]t-;+∞[. Siyconverge, alors elle converge vers un point d"équilibre.IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomes
Exemples d"étude qualitative
Exemple complet
y ?(t) =ay(t)-by2(t),aveca>0,b>0Modèle d"ajustement de prixDemandeQd(t) =p(t)-2
OffreQs(t) =8p(t)
Ajustementp?(t) =α(Qd(t)-Qs(t)) (α >0)
p ?(t) =αp(t)-2-8αp(t)IV. ED non linéaire d"ordre 1 autonomesModèle de Solow
k ?(t) =sf(k(t))-gk(t)(S) k: capital f: production s: taux d"épargne (0Existe-il un état d"équilibre?
k ?est un état d"équilibre sif(k?) =gs k?quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] comment développer une mémoire extraordinaire dominic o brien pdf
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