SERIES NUMERIQUES
quand la série converge. Définition 3. Pour une série convergente ? n ? 0 un
Sommaire 1. Convergence des Séries Numériques
Le reste d'ordre n de la série est alors noté rn et il vaut : rn = s ?sn. Définition : La nature d'une série est le fait qu'elle converge ou diverge.
1 Séries : propriétés générales
On dit que la série de terme général un est convergente si la suite (Sn) a Pour chaque n ? N le reste d'ordre n de cette série est : Rn = S ? Sn =.
Séries numériques
Allez à : Correction exercice 15. Exercice 16. Etudier la convergence des séries de terme général : Les trois dernières sommes s'annulent et il reste.
Séries
Par contre si elle est convergente
Séries numériques
29 avr. 2014 une somme partielle il faut examiner le reste. Définition 4. Soit ? un une série convergente de somme s
Chapitre 8 : Séries
2 déc. 2010 Celui-ci est resté célèbre par sa position très sceptique ... C'est là l'idée d'une série (convergente) en mathématiques : une somme d'un ...
SÉRIES ET INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
vn–k = zn la série (? wn) est absolument convergente. Il reste à montrer que sa somme est le produit des sommes des deux séries. On a en effet :.
Sur lensemble de convergence absolue dune série trigonométrique
pi j s'iiimtx converge absolu- ment en XQ sans converger partout. Il est
Sommaire 1. Convergence des Séries Numériques
Le reste d'ordre n de la série est alors noté rn et il vaut : rn = s ? sn. Définition : La nature d'une série est le fait qu'elle converge ou diverge.
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Etudier la convergence de la série numérique de terme général : Les trois dernières sommes s'annulent et il reste
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Par contre si elle est convergente sa somme est évidemment modifiée Une façon pratique d'étudier la convergence d'une série est d'étudier son reste : le
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Le reste d'ordre n de la série est alors noté rn et il vaut : rn = s ?sn Définition : La nature d'une série est le fait qu'elle converge ou diverge
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Exercice 6 (1) Montrer que la série de terme général un = n ?1 + ln n ? ln(n + 1) est convergente (2) En déduire que la suite an =1+
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quand la série converge Définition 3 Pour une série convergente ? n ? 0 un de somme S et de sommes partielles Sn on appelle reste d'ordre n (ou de
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Soit ? an une série convergente à termes strictement positifs Soit ? un une série à termes positifs convergente On note le reste d'ordre n
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29 avr 2014 · une somme partielle il faut examiner le reste Définition 4 Soit ? un une série convergente de somme s et (sn) la suite des sommes
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donne la convergence absolue de la série ? dn Dans le cas x = 1 il reste qn = n donc la série ? qn diverge grossi`erement aussi
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De Cauchy à nos jours les séries restent au cœur du cours de taupe et fournissent u une série convergente à termes ? 0 de restes Rn = ?
Qu'est-ce que le reste d'une série ?
Reste d'ordre n.
Si la série ? u n est convergente et de somme , le nombre défini par r n = s ? s n est appelé reste d'ordre de la série ? u n .Comment prouver qu'une série est convergente ?
Théorème : Si la série (de réels positifs) ?n?un? ? n ? u n ? converge, alors la série ?nun ? n u n converge. On dit alors que la série est absolument convergente.Comment majorer le reste d'une série ?
Le théorème qui concerne la majoration du reste et l'encadrement de la somme est énoncé pour le cas d'une série de terme général u n = ( ? 1 ) n v n avec v n ? 0 , le passage à l'autre cas étant immédiat.- un = 0. Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement. (vk+1 ?vk) = vn+1 ?v0 Les suites (sn) et (vn+1) sont de même nature, il en est de même de (vn).
BULLETIN DE LAS. M. F.JEANARBAULT
Surl"ensembledeconvergenceabsolued"une
sérietrigonométrique Bulletin de la S. M. F., tome 80 (1952), p. 253-317 © Bulletin de la S. M. F., 1952, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Bulletin de la S. M. F. » (http: //smf.emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html) implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/ conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression dece fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/SUR L'ENSEMBLE DE CONVERGENCE ABSOLUE
D'UN ESÉRIE
TRIGONOMÉTRIQUE;
PA R M. Jea nARBAULT
INTRODUCTION
I C'est dan s la thèse deFàto u (1906 qu'es t apparu e pou r l a premièr e fois L* problème de l a convergence absolue des séries trigonométriquesL'auteu
r v montre que tout poin t de l'ensemble de convergence absolue est centre de symétriede cet ensemble. En 1912, M. A. Denjoy dans les Comptes rendus de l'Académie desSciences
montre que si un e série trigonométriqueïpn
sinÇnx-}- cp^),pn o converge absolumen t sur u n ensemble de mesure positive, l a série converge abso- lumen t partout la série des coefficient s Ip, iétan
t elle-même convergente. Coremarquable théorème, conséquence des propriétés de la mesure pose le problème de la caractérisation des ensembles de convergence absolu e d'un e série telle qu e JSp/i diverge. La question aété
reprise ensuit e pa rNiemytzki(i926)
qu i remarqu e qu e s i u n ensemble est un e base du continu c'est-à-dire s i tout point d'unintervalle(a, (3) peut se mettre sous la forme î^iXi; Xi € ê : \i entier le î étant fini, c'est-
à-dire
ne comprenant qu'u n nombre fin i de termes toute série trigonométrique qui converge absolument sur converge absolumen t partoutAppelons
base de convergence u n ensemble ayan t cette dernière propriété. Le résulta t deNiemylzki - cette forme de l'exposé des résultats est due à Zygmund ( i935) _ s'énonce un e base d u continu est un e base de convergence. Lusi n avait remar- qué auparavan t (1915 qu e tou t ensemble de convergence absolue est de première catégorie et de type Fo-. Un résiduel est du reste, base du continu autremen t di tun sous-groupe de R ne peut être un résiduel. Ce n'est qu'en 1988 que l e problème fai t de nouveaux progrès avec
Marcin-
kiewicz.Celui-ci
appelle ^-ensemble ou ensemble de type N- u n ensemble tel qu'il existe un e série trigonométriqu e absolumen t convergente su r sans.l'êtrepartout. Il est trivial que si ê est un N-ensemble, toute partie de ê l'est égale-
ment. Les ensembles de type N sont donc le s parties des ensembles de conver- gence absolue.Marcinkiewicz
montre auss i u n résultat fondamenta l la réunio n de deuxN-ensembles
peu têtre
un e base d u continu et donne u n exemple effectif .M. R. Salem ensuite, en 1941, publie deux Mémoires sur le sujet. Dans le pre- mier i l indiqu e qu'à tou tN-ensemble,
on peu t adjoindre u n point, donc u n nombr e fin i sans que la réunio n cesse d'êtr e N don c aucu nN-ensemble
n'es t saturé - 254 - Dans l e second il remarqu e que 2p sin/îa* a u n ensemble de convergence dédui t de celui dequotesdbs_dbs32.pdfusesText_38[PDF] cours series numeriques résumé
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