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VARIATIONS DUNE FONCTION

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Tableau de variation :

On a vu que si f est une fonction constante définie sur un intervalle I de IR alors f '(x) = 0 pour tout x de IR. On admettra la propriété réciproque à savoir 



VARIATIONS DES FONCTIONS

Une fonction croissante change l'ordre. Graphiquement la courbe représentative de f sur l'intervalle I " descend ". 2) Tableau de variation d'une 



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)

Dériver la fonction suivante sur l'intervalle 0;+????? : f (x) = On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien : ...



de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1

Dresser le tableau de variations de f sur [0; ?]. Pour la suite de l'exercice on étudiera la fonction sur l'intervalle ]?.



Terminale S - Continuité dune fonction Théorème des valeurs

Dans le tableau de variation ci-dessous la fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle ] – ? ; 3 ] et continue et strictement 



Théorème de la bijection : exemples de rédaction

On considère une fonction f : I ? R définie sur un intervalle I. Cette fonction est C? sur Pf =]0+?[ et son tableau de variation (com-.



Variation des fonctions

L'ensemble des nombres réels compris entre a et b est un intervalle fini qui Pour construire le tableau des variations de la fonction f sur D on ...



Première S - Extremums dune fonction

Si une fonction dérivable sur un intervalle I



LA DÉRIVÉE SECONDE

Définition intuitive : Une fonction f est dite convexe sur un intervalle si pour toute ces valeurs (un peu comme dans le tableau des variations).



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Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone Méthode : Déterminer graphiquement les 



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Pour étudier une fonction c'est à dire pour connaitre ses variations il faudra que l'on cherche le signe de la fonction dérivée Il faudra donc concrètement 



[PDF] Chapitre 7 - Variations dune fonction

7 1 1 Sens de variation Dire qu'une fonction est croissante sur un intervalle I revient à dire que lorsque la valeur de x augmente dans l'intervalle I la 



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Lorsque le sens de variations d'une fonction est donné par une phrase ou un tableau de variation comparer les images de 2 nombres d'un intervalle



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Dresser le tableau des variations de la fonction f qui à chaque valeur de t de l'intervalle [0; 24] fait correspondre la température f(t) en °C



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Théorème 1 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I Ca sert à déterminer le tableau de variations d'une fonction :



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Alors f (I) est un intervalle Autrement dit l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle maison sur le tableau de variations



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On ne peut exprimer les variations sur une réunion d'intervalles 4°) Tableau d'une fonction sur un intervalle inclus dans l'ensemble de définition Exemple :



[PDF] Voici la marche à suivre pour étudier une fonction f définie sur un

Etude du signe de f' • Si f est sous la forme ax + b ? Petit tableau de signe • Si f est sous la forme ax² + bx + c ? calcul du discriminant ? et



[PDF] Seconde - Fonctions sens variations extremums - Parfenoff org

Voici la courbe représentative d'une fonction sur l'intervalle [-2 ; 3]: 1) Décrire les variations de la fonction 2) Dresser son tableau de variation 3 

  • Comment déterminer la variation d'une fonction sur un intervalle ?

    Pour déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervalle I, on peut comparer les valeurs de f(a) et f(b) où a et b sont deux réels de l'intervalle I vérifiant a\\lt b.
  • On place les valeurs pour lesquelles f change de sens de variation dans la première ligne du tableau de variations. On trace une fl?he qui monte dans la deuxième ligne du tableau lorsque f est croissante et une fl?he qui descend lorsque f est décroissante.

Variation des fonctions

A. Intervalles

L'ensemble des nombres réels compris entre deux nombres a et b est un intervalle fini. L'ensemble des nombres supérieurs au nombre a et l'ensemble des nombres inférieurs au nombre a sont des intervalles infinis.

1- Intervalles finis

Considérons deux nombres réels a et b, tels que a1er cas : l'intervalle fermé [a,b] contient les nombres compris entre a et b, les nombres a et b étant inclus ; c'est

2ème cas : l'intervalle ouvert ]a,b[ contient les nombres compris entre a et b, les nombres a et b étant exclus ;

c'est donc l'ensemble des nombres réels x tels que a < x < b.

3ème cas : l'intervalle [a,b[ contient les nombres compris entre a et b, le nombre a étant inclus, mais b étant

4ème cas : l'intervalle ]a,b] contient les nombres compris entre a et b, le nombre a étant exclu, mais b étant

Remarque

C'est le sens des crochets (ouvert ou fermé) qui indique si les extrémités sont ou ne sont pas

incluses dans l'intervalle.

2- Intervalles infinis

Considérons un nombre réel a.

L'ensemble des nombres réels supérieurs à a est un intervalle infini qui correspond à une

demi-droite sur une droite graduée.

L'ensemble des nombres réels inférieurs à a est aussi un intervalle infini, il correspond à la

deuxième demi-droite. Pour noter les intervalles infinis on utilise le symbole ∞ qui représente l'infini. On peut distinguer 4 cas selon que le nombre a est ou non inclus dans l'intervalle.

1er cas : l'intervalle [a,+∞ [ contient les nombres supérieurs ou égaux à a ; c'est donc l'ensemble des nombres

2ème cas : l'intervalle ]a, +∞ [ contient les nombres strictement supérieurs à a ; c'est donc l'ensemble des

nombres réels x tels que a < x.

3ème cas : l'intervalle ]-∞, a ] contient les nombres inférieurs ou égaux à a; c'est donc l'ensemble des nombres

4ème cas : l'intervalle ] -∞, a [ contient les nombres strictement inférieurs à a; c'est donc l'ensemble des

nombres réels x tels que x < a.

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Remarque

Les crochets sont toujours ouverts du côté de l'infini puisqu'on ne peut pas l'atteindre.

B. Sens de variation d'une fonction

1- Fonctions croissantes

Une fonction f est croissante sur un intervalle I lorsqu'elle conserve l'ordre des nombres. Quels que soient les réels a et b de I, si a < b alors f (a) < f (b). Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction f "monte» sur l'intervalle I.

Exemple

La fonction f est croissante sur I.

La courbe monte.

Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f (x) augmentent aussi : f conserve l'ordre des nombres.

2- Fonctions décroissantes

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I lorsqu'elle inverse l'ordre des nombres. Quels que soient les réels a et b de I, si a f (b). Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction f "descend» sur l'intervalle I.

Exemple

La fonction f est décroissante sur I.

La courbe descend.

Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f (x) diminuent : f inverse l'ordre des nombres.

3- Tableau de variation

Soit f une fonction définie sur un intervalle D. Pour construire le tableau des variations de la fonction f sur D on détermine les intervalles I contenus dans D sur lesquels f est monotone, c'est à dire soit croissante, soit décroissante. On note les résultats obtenus dans un tableau où des flèches indiquent la croissance ou la décroissance de f .

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Exemple

Considérons la fonction f définie sur [-2 ;3] dont la courbe représentative est dessinée.

On observe que :

a) f est décroissante sur [-2; -1] b) f est croissante sur [1; 2] c) f est décroissante sur [2; 3] D'autre part f (-2)=2, f (-1)=-1, f (2)=3 et f (3)=2. Tout ceci peut être résumé dans le tableau de variations suivant :

C. Maximum et minimum d'une fonction

Lorsqu'on étudie une fonction on cherche souvent ses valeurs extrêmales ; par exemple, si on

s'intéresse à un bénéfice, on essaiera de faire en sorte qu'il soit maximal, par contre, on essaiera de

rendre une dépense minimale.

1- Définitions

On considère une fonction f définie sur un intervalle I et un nombre réel a appartenant à I.

a) Maximum d'une fonction On dit que f(a) est un maximum de f sur l'intervalle I si pour tout réel x de I on a f (x)  f (a). b) Minimum d'une fonction On dit que f(a) est un minimum de f sur l'intervalle I si pour tout réel x de I on a f (x)  f (a).

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f(x)-2-13 22
32
-1 c) Extrêmum d'une fonction On dit qu'une fonction admet un extrêmum sur l'intervalle I lorsqu'elle admet un maximum ou un minimum sur cet intervalle.

2- Etude d'un exemple

On considère la fonction f définie sur ℝ par f (x) = x² + 4x + 1.

1- En utilisant la calculatrice conjecturer l'existence d'un extrêmum de f sur ℝ.

2- Démontrer la conjecture précédente.

En faisant tracer la courbe représentant f sur la calculatrice on constate l'existence d'un minimum

égal à -3 et atteint pour x = -2.

Nous allons donc démontrer que pour tout réel x, f (x)  f (-2). Pour cela calculons f (x) - f (-2) et étudions son signe.

f (x) - f (-2) = x² + 4x + 1 - ((-2)² + 4 × (-2) + 1) = x² + 4x + 1 - (-3) = x² + 4x + 4.

On remarque alors que x² + 4x + 4 = (x + 2)². Or un carré est toujours positif. Cela montre donc que

f (x) - f (-2)  0 et finalement que f (x)  f (-2) . Le maximum de f sur ℝ est donc f(-2), il est bien égal à -3 et est atteint pour x =-2.

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