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Chapitre 1Suites r´eelles et complexes

Dans ce chapitre,Kd´esigne le corpsRdes nombres r´eels, ou le corpsCdes nombres complexes. PourK, nous noteronsle module de(´egal `a la valeur absolue de dans le cas r´eel). Nous appelleronsdistanceentre deux ´el´ementsetdeKle r´eel.

1.1 G´en´eralit´es

D´efinition 1.1.1.(1) Une suite `a valeurs dansKest une famille d"´el´ements deKin- dex´ee par l"ensembleNdes entiers naturels. La donn´ee d"une suite ()N´equivaut `a la donn´ee de l"application NK (2) Une sous-suite (ou suite extraite) d"une suite ()Nest une suite de la forme (k)No`u lessont des entiers tels que 0 1 2 Si ()Nest donn´ee par l"application:NK, alors (k)Nest donn´ee par l"application, o`uest d´efinie par() =. Une suite peut ˆetre d´efinie de plusieurs fa¸cons : - Par une formule explicite := 22 - Par une r´ecurrence :0= 1 et, pour toutN,+1=2+ 1 - Abstraitement :est le-i`eme nombre premier. Il arrive que les premiers termes d"une suite ne soient pas d´efinis. Par exemple, dans la suite 2 2 les termes0et1ne sont pas d´efinis. On notera ()2cette suite. ´Etant donn´ee une suite ()N, on a deux suites extraites importantes : la suite (2)Ndes termes pairs, et la suite (2+1)Ndes termes impairs. Exemple.La suite de Syracuse d"un nombre entierest d´efinie par r´ecurrence, de la mani`ere suivante :0=et pour tout entier0 : +1=? n

2siest pair

3+ 1 siest impair

Lothar Collatz a conjectur´e (en 1937) que, pour tout 0, il existe un indicetel que= 1. Une fois que le nombre 1 est atteint, la suite des valeurs 142142 se

r´ep`ete ind´efiniment. La conjecture reste ouverte aujourd"hui (2011). Elle a ´et´e v´erifi´ee par

ordinateur pour 262.

1.2 Convergence d"une suite r´eelle ou complexe

La d´efinition moderne de la limite, encore utilis´ee aujourd"hui, est donn´ee ind´epen- damment par Bolzano en 1816, et par Cauchy en 1821 dans sonCours d"analyse de l"´Ecole royale polytechnique. D´efinition 1.2.1.On dit qu"une suite ()Nd"´el´ements deKconvergeversKsi : pour tout 0, il existeNtel que, pour tout, on ait ou, avec des quantificateurs, 0N On dit qu"une suitedivergesi elle ne converge pas. Ceci se traduit de la fa¸con suivante : pour tout 0 (arbitrairement petit), il existe un rang (l"entier) `a partir duquel tous les termes de la suite sont `a une distanceinf´erieure `ade. Insistons sur le fait qued´epend de!

Exemples.a) Montrons que la suite (1

)1converge vers 0. Soit 0, on cherche un entiertel que, pour tout, on ait1 , c"est-`a-dire1. On constate que, si l"on pose=(1 ) + 1, alors1et donc, pour tout, on a bien1. Ainsi, pour montrer que () converge vers`a partir de la d´efinition, on fixe 0 et on cherche `a traduire la condition en une condition de la forme, l"entier´etant construit au cours du raisonnement. b) Probl`eme concret : comment calculer? Plus pr´ecis´ement, comment calculer des valeurs approch´ees deavec une pr´ecision arbitraire? Commeest irrationnel, son 3

´ecriture d´ecimale n"est ni finie, ni p´eriodique. Une m´ethode naturelle est de construire

une suite () dont on sait calculer les termes et qui converge vers. Alors, par d´efinition de la convergence, pour tout 0, il existe un rang`a partir duquelest une valeur approch´ee de`apr`es. Siest explicite en fonction de, alors on sait calculer une valeur approch´ee deavec une pr´ecision arbitraire. Pour exprimer le fait que () converge vers, nous dirons queest lalimitede () quandtend vers +, et nous noterons lim +=ou lim=ou encore+ Pour que cette notation ait un sens, il faut montrer qu"une suiteconvergente admet une unique limite! Proposition 1.2.2.Si une suite converge, sa limite est unique. D´emonstration.Soit () une suite convergeant vers deux limiteset. Soit 0. Alors, comme () converge vers 1N1 et, comme () converge vers, 2N2

Alors, pourMax(12), nous avons

=() + () + 2 Ceci ´etant vrai pour tout, on en d´eduit que= 0, donc que=. (Nous avons utilis´e le fait (trivial) suivant : si un r´eel positif est plus petit que toute quantit´e strictement positive, alors il est nul.)

Nous avons clairement les ´equivalences :

lim=lim() = 0lim= 0 Si () converge, que peut-on dire des suites extraites de ()? Proposition 1.2.3.Toute suite extraite d"une suite convergente converge vers la mˆeme limite. D´emonstration.Soit () une suite convergente, de limite. Soit (k) une suite extraite de (). Comme la suiteest une suite strictement croissante d"entiers, nous avons pour tout. Soit 0, alors, comme () converge vers, il existetel que, pour tout, on ait . Mais alors, pour tout, nous avons et par cons´equentk , d"o`u le r´esultat. 4

Ceci fournit des crit`eres de divergence :- si on peut extraire de () une suite divergente, alors () diverge

- si on peut extraire de () deux suites convergeant vers des limites diff´erentes, alors () diverge Par exemple, la suite= (1)diverge : la suite des termes pairs converge vers 1, la suite des termes impairs converge vers1. Remarquons aussi que la modification d"un nombre fini de termes n"aaucune incidence sur la convergence d"une suite. D´efinition 1.2.4.On dit qu"une suite () estborn´ees"il existe un r´eel 0 tel que l"on ait N La proposition suivante fournit un autre crit`ere de divergence. Proposition 1.2.5.Toute suite convergente est born´ee. La r´eciproque est fausse. D´emonstration.Soit () une suite convergente, de limite. D"apr`es la d´efinition de la limite, et en fixant= 1, on trouve qu"il existe un entier1tel que, pour tout1, on ait 1 d"o`u, pour tout1, =+ () + 1

On en d´eduit que, pour toutN,

Max(+ 10111)

ainsi la suite () est born´ee. Pour voir que la r´eciproque est fausse, il suffit de consid´erer

la suite= (1), qui est born´ee mais divergente.

1.3 Op´erations sur les limites

Nous allons montrer que le passage `a la limite est compatible avec les lois du corpsK.

Commen¸cons par ´enoncer un lemme.

Lemme 1.3.1.Le produit d"une suite born´ee par une suite tendant vers0tend vers0. D´emonstration.Soit () une suite born´ee, alors il existe un r´eel 0 tel que : N 5 Soit () une suite tendant vers 0, montrons que () tend vers 0. Soit 0, alors en consid´erant le r´eel il existeNtel que, pour tout, . Nous avons donc, pour tout d"o`u le r´esultat. Th´eor`eme 1.3.2.Soient()et()deux suites convergentes de limites respectiveset . Alors (1)La suite(+)converge vers+ (2)La suite()converge vers (3)Supposons= 0. Alors la suite(1 n)est bien d´efinie `a partir d"un certain rang, et converge vers 1 D´emonstration.(1) Soit 0. Comme () converge vers, nous avons 1N1 2 et, comme () converge vers, 2N2 2

Soit=(12). Alors, pour, nous avons

2et 2 d"o`u, par l"in´egalit´e triangulaire ce qui montre que (+) converge vers+. (2) On peut ´ecrire La suite´etant convergente, elle est born´ee (proposition 1.2.5). Comme () tend vers 0, le lemme 1.3.1 nous dit que le produit() converge vers 0. De mˆeme, le produit ()converge vers 0. Ceci montre, d"apr`es (1), queconverge vers

0, ce qu"on voulait. (3) Non d´emontr´e.

Proposition 1.3.3.Soit()une suite complexe. Alors()converge versCsi et seulement si les suites r´eellesRe()etIm()convergent respectivement versRe()et Im(). 6 D´emonstration.La d´emonstration repose sur le fait suivant : soit=+un nombre complexe, alors

Max() +

l"in´egalit´e de droite d´ecoule de l"in´egalit´e triangulaire, celle de gauche d´ecoule de l"´ecriture

2+2.

Posons= Re() et= Im(), alors Re() =Re() et Im() =

Im(). Soit 0. Siest inf´erieur `a, alors, par l"in´egalit´e de gauche, il en est de mˆeme pourRe()et pourIm(). R´eciproquement, siRe()et Im()sont inf´erieurs `a2, alors par l"in´egalit´e de droiteest inf´erieur `a.

D"o`u le r´esultat.

Par exemple, la suite complexe

=1 + 1+?2+ 4+ 3? converge vers 2. Cependant, il n"est pas toujours commode de se ramener aux parties r´eelles et imaginaires : par exemple pour ´etudier la suite () o`uC.

1.4 Suites r´eelles

1.4.1 Passage `a la limite et in´egalit´es

Th´eor`eme 1.4.1.Soient()et()deux suites r´eelles convergentes telles que N Alors limlim D´emonstration.Par l"absurde : supposons que limlim. Alors la limite de la suite () est strictement positive, notons-la. En prenant=

2, on trouve que, pour

suffisamment grand,appartient `a [

2+2] = [232], donc est positif. Ceci

contredit l"hypoth`ese. D"o`u le r´esultat. Attention : les in´egalit´es strictes ne passent pas `a la limite. Par exemple, nous avons pour toutN,1

0 et pourtant lim1= 0.

Th´eor`eme 1.4.2(Th´eor`eme des gendarmes).Soient(),()et()trois suites r´eelles telles que : ()N () ()et()convergent vers une mˆeme limite. 7

Alors()converge vers.

D´emonstration.Nous avons, pour toutN,

0 Comme () et () convergent vers une mˆeme limite, la suite () tend vers 0. Soit

0, alors il existetel que, pour tout,

0 ce qui montre que () tend vers 0. Commeconverge vers, on en d´eduit que =() converge vers. Ce qu"on voulait.

Par exemple, l"encadrement

R1sin()1

permet de montrer que la suite ( sin() ) tend vers 0. Ce r´esultat s"applique aux suites complexes : soient () une suite complexe et () une suite r´eelle, satisfaisant 1)N

2) lim= 0

Alors la suite () tend vers 0. Par exemple, la suite =3+4 tend vers 0, car son module est major´e par 2 Exemple.Voici un exemple de calcul de limite, r´esumant l"ensemble destechniques que nous avons vues jusqu"ici. PourN, posons =2+ cos() +?(+ 1)(+ 2) En divisant num´erateur et d´enominateur paron trouve =2 +cos() +?(1 +1)(1 +2) les suites ( cos() ), (1) et (2) convergent vers 0. De plus, nous avons 1? (1 +1)(1 +2)(1 +1)(1 +2) donc le terme central converge vers 1 par le th´eor`eme des gendarmes. Ainsi, la suite () converge vers 2 +1. 8

1.4.2 Suites tendant vers l"infiniD´efinition 1.4.3.Soit () une suite r´eelle.

(1) On dit que () tend vers +si : pour tout 0, il existeNtel que, pour tout, on ait ou, avec des quantificateurs, 0N (2) On dit que () tend verssi () tend vers +. Une suite qui tend vers l"infini est divergente. Dans certains livres, on trouve mˆeme l"expression"() diverge vers +».

On introduit l"ensemble

R=R + que l"on appelle la droite r´eelle achev´ee. On note aussi

R= [+]

ce qui sugg`ere que

Rse comporte comme un intervalle ferm´e.

D´efinition 1.4.4.On d´efinit les op´erations alg´ebriques suivantes dans l"ensemble R. a)R,+= +et =. b) (+) + (+) = +, () + () = c)R,() = signe()(1) d) (+)(+) = +, (+)() =, ()() = + e) 1 = 0 Th´eor`eme 1.4.5.Soient()et()deux suites r´eelles admettant des limites (´eventuellement

infinies). Alors, chaque fois que les quantit´es ci-dessous sont bien d´efinies, on peut ´ecrire

(1) lim(+) = lim+ lim (2) lim() = limlim (3) lim 1 =1lim

Rappel : une suite r´eelle () est

- croissante siN+1 - d´ecroissante siN+1 - monotone si elle est croissante ou d´ecroissante 9 Proposition 1.4.6.Soit()une suite r´eelle croissante. - Si()est major´ee, elle converge (vers sa borne sup´erieure) - Sinon,()tend vers+ D´emonstration.Supposons () major´ee. Soitla borne sup´erieure (le plus petit des majorants) de l"ensemble des termes de la suite (). Soit 0, alorsest strictement inf´erieur `a, donc n"est pas un majorant de (). Il existe donc un entiertel que La suite () ´etant croissante, on en d´eduit que, pour tout,

Il en r´esulte que, pour tout,

donc () converge vers. Un raisonnement analogue prouve que, si () n"est pas major´ee, elle tend vers +. On a une proposition analogue pour les suites d´ecroissantes. On en d´eduit : Th´eor`eme 1.4.7(Limite monotone).Toute suite r´eelle monotone a une limite, finie ou infinie. Th´eor`eme 1.4.8(Suites adjacentes).Soient()et()deux suites r´eelles telles que : -()est croissante -()est d´ecroissante -()converge vers0

Alors()et()convergent vers une mˆeme limite.

D´emonstration.Tout d"abord, remarquons que la suite () est d´ecroissante et converge vers 0, donc est `a termes positifs. Nous avons donc, pour toutN, +1+1 Ainsi, () est croissante major´ee par0, donc converge vers une limite finie. De mˆeme, () est d´ecroissante minor´ee par0, donc converge. Ainsietconvergent, et ont mˆeme limite puisque () converge vers 0. 10

1.4.3 Exemples

Limite d"une suite g´eom´etrique.

Lemme 1.4.9.SoitC,= 1. Si la suite()converge, sa limite est0. D´emonstration.Supposons en effet que () converge versC. Comme (+1) est une suite extraite de (), nous avons lim+1= lim et d"autre part, lim+1=lim donc=, d"o`u(1) = 0, d"o`u= 0 puisque= 1.

Suites g´eom´etriques r´eelles.

Proposition 1.4.10.Soitun nombre r´eel.

(1)si1, la suite()converge vers0 (2)si 1, la suite()tend vers+ D´emonstration.(1) Quitte `a remplacerpar, on peut supposer que[01[. Alors

la suite () est strictement d´ecroissante, minor´ee par 0. Elle converge donc vers un r´eel,

n´ec´essairement ´egal `a 0 d"apr`es le lemme. (2) Pour 1, la suite () est strictement croissante, donc admet une limite. Si cette limite ´etait finie,elle serait nulle d"apr`es ce qui pr´ec`ede. Or c"est impossible, puisque tous les termes de cette suite sont strictement sup´erieurs `a 1. Donc () tend vers +.

Suites g´eom´etriques complexes.

Proposition 1.4.11.Soitun nombre complexe.

(1)si1, la suite()converge vers0 (2)si1, la suite()diverge (3)si= 1et= 1, la suite()diverge

D´emonstration.Les points (1) et (2) d´ecoulent de la proposition pr´ec´edente. Le point (3)

d´ecoule du lemme.

Exemples.a) La suite (+ 4)diverge, car+ 4=171.

b) La suite ( +4

5)converge (nombre de module1).

c) Soit=4, alors pour toutNon a

8= 1 et8+1=

donc la suite () diverge (on a trouv´e deux suites extraites qui convergent vers des limites distinctes). 11 d) Soit=, alors d"apr`es la proposition ci-dessus la suite () diverge, c"est-`a-dire que cos() +sin() diverge. La formule suivante (d´emontr´ee dans le Livre IX des

´El´ements d"Euclide) permet de

calculer la somme despremiers termes d"une suite g´eom´etrique Proposition 1.4.12.Soitun ´el´ement deC,= 1, et soitun entier. Alors =0 =1+1 1

Si1, cette suite converge vers1

1.

Comparaison importante.

Proposition 1.4.13.Soitun r´eel quelconque. Alors lim != 0 D´emonstration.On peut supposer queest positif. Pour toutN, nous avons =1

La suite (

)1tend vers 0. Donc il existe0tel que, pour tout0, on ait12.

Alors, pour0, nous avons

0? =1? ?12? 0

Comme la suite (

1

2)0converge vers 0, on en d´eduit le r´esultat.

1.5 Valeurs d"adh´erence

Nous avons vu que toute suite convergente est born´ee. La r´eciproque est fausse, mais on aimerait quand mˆeme dire quelque chose sur les suites born´ees. D´efinition 1.5.1.On dit qu"un nombreest valeur d"adh´erence d"une suite () s"il existe une sous-suite de () qui converge vers. 12 Th´eor`eme 1.5.2(Bolzano-Weierstrass).Toute suite born´ee d"´el´ements deKposs`ede (au moins) une valeur d"adh´erence. D´emonstration.Il suffit de montrer le th´eor`eme pourK=R. Soit () une suite r´eelle born´ee. Nous construisons par r´ecurrence une suite d"intervalles [], de la fa¸con sui- vante. - Le point de d´epart est un intervalle [00] contenant tous les termes de la suite () (c"est possible puisque () est born´ee). - Supposons [] construit, et contenant une infinit´e de termes de la suite ().

Alors au moins l"un des deux intervalles [k+k

2] et [k+k2] contient une infinit´e de

termes de la suite. On pose [+1+1] =? [k+k

2] si celui-ci contient une infinit´e de termes de la suite

k+k

2] sinon

Par construction nous avons, pour tout, les propri´et´es suivantes :

1) [] contient une infinit´e de termes de la suite ()

2) [+1+1][]

3)=00 2 En particulier les suites () et () sont adjacentes, donc convergent vers une limite commune. En outre, on construit une suite d"entiers () strictement croissante de la fa¸con suivante : on pose0= 0 et, supposantconstruit, on choisit+1strictement sup´erieur `atel quek+1appartienne `a [+1+1], un tel choix ´etant toujours possible puisque [+1+1] contient une infinit´e de termes de la suite (). On constate que la suite extraite (k) obtenue satisfait k et donc (k) converge versd"apr`es le th´eor`eme des gendarmes. Ce qu"on voulait. Remarquons que la suite construite dans notre preuve convergevers la plus petite valeur d"adh´erence de la suite (). Exemples.a) La suite= (1)admet deux valeurs d"adh´erence :1 et 1. b) La suite= (1)n"admet aucune valeur d"adh´erence (notons qu"elle n"est pas born´ee). c) La suite= sin() admet tout ´el´ement de [11] comme valeur d"adh´erence! 13

1.6 Suites de Cauchy

Comment exprimer qu"une suite converge sans connaˆıtre sa limite `a l"avance? Au lieu de dire que les termes de la suite se rapprochent d"une certainelimite, on va dire que les termes de la suite se rapprochent les uns des autres. D´efinition 1.6.1.On dit qu"une suite () d"´el´ements deKest unesuite de Cauchysi la condition suivante est v´erifi´ee : pour tout 0, il existeNtel que, pour tous, on ait Lemme 1.6.2.Toute suite convergente est de Cauchy. D´emonstration.Soit () une suite convergeant versK. Soit 0, alors il existe

Ntel que, pour tout,

2 mais alors, pournous avons donc () est de Cauchy.

Lemme 1.6.3.Toute suite de Cauchy est born´ee.

D´emonstration.Soit () une suite de Cauchy. D"apr`es la d´efinition, en fixant= 1, on trouve qu"il existe un entiertel que, pour tout, on ait 1

En prenant=on trouve que, pour tout,

=+ () + 1

On en d´eduit que, pour toutN,

Max(+ 1011)

ainsi la suite () est born´ee. Lemme 1.6.4.Si une suite de Cauchy admet une valeur d"adh´erence, alors elle converge vers cette valeur. 14 D´emonstration.Soit () une suite de Cauchy admettant une valeur d"adh´erence, mon- trons que () converge vers. Soit 0. Comme () est de Cauchy, il existeN tel que, pour tout, on ait 2 D"autre part, on peut choisir une suite (k)Nextraite de () qui converge vers. Il existe donc un entiertel que, pour tout, on ait k 2 Comme la suiteest strictement croissante, on sait quepour tout. Ainsi, pour

Max(), nous avons simultan´ementet. D"o`u

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