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Numérations : en base10décimale, dans d"autres bases ; Opérations élémentaires :+,-,×,÷

Denis Vekemans

1 Principes de numération dans l"ensemble des entiers naturels

1.1 À propos de notre système de numération usuel ...

Dans la base décimale, celle que nous utilisons habituellement, l"écriture du nombre 2 050 dégage

que le nombre en question est somme de 2 milliers et de 5 dizaines. Elle induit également que 2 050 =

2×1 000+5×10 = 2×103+0×102+5×101+0×100. On peut voir, à travers cette écriture le rapport

privilégié au nombre 10 duquel la base décimale tire son nom. aveck+ 1 chiffres en base décimale. On dit que notre système de numération décimal est

1.décimal(les échanges d"une classe à la classe juste à droite se font à 10 pour1 : 1 dizaine vaut 10

unités, 1 centaine vaut 10 centaines, ... et par conséquent, 1 centaine vaut 100 unités, ...)

2. etde position(selon sa place dans le nombre, un même chiffre peut tantôt avoirun statut de

dizaines, tantôt de milliers, ... et donc changer de valeur; pour signifier une absence dans une certaine classe, on utilise un zéro de position; ...)

Certains préfixes sont utilisés en base décimale pour abréger des écritures s"achevant par de nombreux

zéros : - 1k= 1 000 (lire "un kilo" vaut mille unités); - 1M= 1 000 000 (lire "un méga" vaut un million d"unités); - 1G= 1 000 000 000 (lire "un giga" vaut un milliard d"unités). Exercice 1Combien valent 30M, 47G, et 21ken unités?

Solution 1

?Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais

cedex ; France 1 - 30M= 30 000 000, - 47G= 47 000 000 000, - et 21k= 21 000. Désignations des classes pour les grands nombres en base 10. unité(100)millier(103) million(106)milliard(109) billion(1012)billiard(1015) trillion(1018)trilliard(1021) quadrillion(1024)quadrilliard(1027)

Dans ce tableau,

- de la colonne de gauche à la colonne de droite, le rapport est de mille : par exemple, un billiard

vaut mille billions;

- d"une ligne à la suivante, le rapport est d"un million : par exemple, un trillion vaut un million de

billions.

Exercice 2

1. Écrire en lettres le nombre

1 000 060 800 000 000 005 070.

2. Écrire en chiffres, en base 10, le nombre "Douze-billiard-quatre-vingt-dix-millions".

Solution 2

1. "Un-trilliard-soixante-billiard-huit-cent-billion-cinq-mille-soixante-dix".

2.

12 000 000 090 000 000.

1.2 Dans d"autres bases ...

On peut aussi écrire un nombre entier naturelnen n"importe quelle baseboùbest un entier naturel

supérieur ou égal à 2 :

où les entiers naturelsa0,a1,a2,...,aksont strictement inférieurs àb(ce sont les chiffres permettant

d"écrire le nombrendans la baseb). aveck+ 1 chiffres en baseb.

On rappelle :b0= 1;b1=b.

2 Cette écriture peut aussi être abrégée comme suit :n=ak...a2a1a0(b). Familièrement, la base 2 s"appelle la base binaire, la base 60 s"appelle la base sexagésimale. Exercice 3Écrire 120 en base 7. Écrire 421 en base 5. Écrire 100 en base 2.

Solution 3

1. (a)Première démarche. Les puissances successives de 7 sont 70= 1, 71= 7, 72= 49, 73= 343,...

Dans 120, la plus grande puissance de 7 qui entre est 49 et elle rentre deux fois; on donc

120 = 2×72+ 22.

On continue, dans 22, la plus grande puissance de 7 qui entre est 7et elle rentre trois fois; on a donc 120 = 2×72+ 3×7 + 1 =

231(7).

(b)Deuxième démarche. La division euclidienne de 120 par 7 donne 120 = 17×7 + 1. Mais 17 n"étant pas un chiffre de la base 7, on continue et la division euclidienne de 17 par 7 donne : 17 = 2×7 + 3. Cette fois, 2 est un chiffre de la base 7, donc on écrit

120 = 17×7 + 1

= (2×7 + 3)×7 + 1 = 2×72+ 3×7 + 1

231(7)

Autre disposition de cette deuxième démarche : 120

1 120 = 17×7 + 1

17

3 17 = 2×7 + 3

2 On lit le nombre en base 7 en remontant les chiffres :231(7).

2. (a)Première démarche. Les puissances successives de 5 sont 50= 1, 51= 5, 52= 25, 53= 125,

5

4= 625,...

Dans 421, la plus grande puissance de 5 qui entre est 125 et elle rentre trois fois; on donc

421 = 3×53+ 46.

On continue, dans 46, la plus grande puissance de 5 qui entre est 25 et elle rentre une fois; on a donc 421 = 3×53+ 1×52+ 21. On continue, dans 21, la plus grande puissance de 5 qui entre est 5et elle rentre quatre fois; on a donc 421 = 3×53+ 1×52+ 4×5 + 1 =

3141(5).

(b)Deuxième démarche. La division euclidienne de 421 par 5 donne 421 = 84×5 + 1. 3 Mais 84 n"étant pas un chiffre de la base 5, on continue et la division euclidienne de 84 par 5 donne : 84 = 16×5 + 4. Mais 16 n"étant toujours pas un chiffre de la base 5, on continueet la division euclidienne de 16 par 5 donne : 16 = 3×5 + 1. Cette fois, 3 est un chiffre de la base 5, donc on écrit

421 = 84×5 + 1

= (16×5 + 4)×5 + 1 = ((3×5 + 1)×5 + 4)×5 + 1 = 3×53+ 1×52+ 4×5 + 1

3141(5)

Autre disposition de cette deuxième démarche : 421

1 421 = 84×5 + 1

84

4 84 = 16×5 + 4

16

1 16 = 3×5 + 1

3 On lit le nombre en base 5 en remontant les chiffres :3141(5). 3. 100

0 100 = 50×2 + 0

50

0 50 = 25×2 + 0

25

1 25 = 12×2 + 1

12

0 12 = 6×2 + 0

6

0 6 = 3×2 + 0

3

1 3 = 1×2 + 1

1 On lit le nombre en base 5 en remontant les chiffres :1100100(2). NB : Pour convertir l"écriture d"un nombrende la base décimale en la baseb:

1. On obtienta0, qui est le dernier chiffre du nombren, comme reste dans la division eulidienne den

parb, cette division fournissant le quotientq0.

2. On obtientai(tant que le quotientqi-1est plus grand quebau sens large, en incrémentantide

1 à chaque fois) comme reste de la division euclidienne deqi-1parb, cette division fournissant le

quotientqi.

3. On obtientak, qui est le premier chiffre du nombren, égal àqk-1.

Puis,n=

ak...a1a0(10). 4 Exercice 4Transcrire le nombre12345(6)dans notre système décimal.

Solution 4

1.Première démarche. Par lecture directe :12345(6)= 1×64+ 2×63+ 3×62+ 4×6 + 5 =

1 296 + 432 + 108 + 24 + 5 = 1 865.

2.Deuxième démarche. En utilisant les divisions euclidiennes :

n

5n=m×6 + 5

m

4m=l×6 + 4

l

3l=k×6 + 3

k

2k= 1×6 + 2

1 En partant d"en bas, on remonte dans le tableau et 1 865

5 1 865 = 310×6 + 5

310

4 310 = 51×6 + 4

51

3 51 = 8×6 + 3

8

2 8 = 1×6 + 2

1

Conclusion :12345(6)= 1 865.

Exercice 5Transcrire le nombre123(4)en base 2. Ensuite, transcrire le nombre33210323123(4)en base 2.

Solution 5

123(4)= 1×42+ 2×4 + 3×1

= 1×24+ 2×22+ 3×1 = 1×24+ (1×2 + 0)×22+ (1×2 + 1)×1 = 1×24+ 1×23+ 0×22+ 1×2 + 1

11011(2)

Il nous a suffit de coder chacun des chiffres en base 4 sur deux chiffres en base 2 (0 en base 4 est réécrit

00 en base 2, 1 est réécrit 01, 2 est réécrit 10 et 3 est réécrit 11).

Appliquant ce même principe, on obtient directement : Analyse de productions d"élèves[Lille (1999)] Sujet 5

Solution

Volet didactique[Lille (1999)]

Sujet

Solution

Volet didactique[sujet d"examen 2013-2014]

Sujet

Solution

2 Les techniques opératoires

2.1 L"addition

1. 678 + 987 =XXX

En base 10,1 1 1

6 7 8 + 9 8 7

1 6 6 5

2.

1234(5)+4321(5)=XXX(5)

En base 5,1 1 1 1

1 2 3 4

+ 4 3 2 1

1 1 1 1 0

3.

101010(2)+1110101(2)=XXX(2)

En base 2,1 1

1 0 1 0 1 0

+ 1 1 1 0 1 0 1

1 0 0 1 1 1 1 1

4.

En base 60,1

(20) (20) (20) + (20) (30) (40) (40) (51) (0) 6

Exercice 6[Lyon (2004)] Toto additionne deux nombres entiers avec la méthode habituelle, et trouve

499 sans faire d"erreur. Combien de retenues a-t-il effectuées?

Solution 6Le chiffre 9 des unités du résultat a-t-il pu être obtenu en posant une retenue?

Si oui, la somme des chiffres des unités des deux nombres additionnés était supérieure ou égale à 19

(au moins 10 pour la retenue, qui est additionnée au chiffre-nombre 9 des unités du résultat). Cependant,

la somme des chiffres des unités vaut au plus 9 + 9 = 18. Il est donc impossible que le chiffre 9 des unités

du résultat ait été obtenu en posant une retenue! Le chiffre 9 des dizaines du résultat a-t-il pu être obtenu en posant une retenue?

Si oui, la somme des chiffres des unités des deux nombres additionnés était supérieure ou égale à 19

(au moins 10 pour la retenue, qui est additionnée au chiffre-nombre 9 des unités du résultat et sachant

qu"aucune retenue ne provient du calcul du chiffre des unitésdu résultat). Cependant, la somme des chiffres

des unités vaut au plus 9 + 9 = 18. Il est donc impossible que le chiffre 9 des unités du résultat ait été

obtenu en posant une retenue!

L"obtention d"une somme de deux nombres entiers égale à 499 estdonc réalisée sans retenue!

2.2 La soustraction

Pour la pose de la soustraction dex-y, on rencontre généralement deux processus

-par échangesdansa, on procède chiffre par chiffre en commençant par le rang le plus à droite (les

unités, puis les dizaines, puis les centaines,..., et quand pour un certain rang

- le chiffre dexest plus grand ou égal à celui dey, il n"y a pas problème et le chiffre obtenu est

la différence des deux chiffres; - le chiffre dexest strictement plus petit que celui dey, on emprunte 1 au rang de gauche qu"on transforme en 10 du rang actuel (aspectdécimalde la numération) : par exemple, on convertit une dizaine en dix unités, une centaine en dix dizaines,...

Remarque. Un inconvénient de cette méthode est qu"elle est à réitérer lorsqu"on est amené à em-

prunté à 0, comme dans 104-27 : au rang des unités, 4-7 ne fournit pas un chiffre, on emprunte

donc une dizaine, mais 104 ne comporte pas de dizaine, on doitdonc emprunter une centaine au rang des centaines et transformer d"abord la centaine en dix dizaines, puis une des dizaines en dix unités. -par compensationdansa, on procède chiffre par chiffre en commençant par le rang le plus à droite (les unités, puis les dizaines, puis les centaines,..., et quand pour un certain rang

- le chiffre dexest plus grand ou égal à celui dey, il n"y a pas problème et le chiffre obtenu est

la différence des deux chiffres; - le chiffre dexest strictement plus petit que celui dey, on rajoute 10 du rang actuel qu"on compense en retirant une dizaine supplémentaire au rang de gauche (aspectdécimalde la 7 numération; mais aussi l"aspect du sensécartde la soustraction :si on rajoute une même quantité à deux termes, l"écart entre ces deux termes ne change pas) : par exemple, si on a besoin de dix unités, on compense en soustrayant une dizaine supplémentaire, ou si on a besoin de dix dizaines, on compense en soustrayant une centaine supplémentaire,...

Remarque. Un inconvénient de cette méthode est que le sens écart de la soustraction qu"elle met

en jeu n"est pas évidente pour un élève, l"algorithme est plus difficile à mémoriser car il n"est pas

forcément toujours bien compris.

Méthode par compensation

1. 987-789 =XXX

En base 10,91817

-7 8 9 1 1 1 9 8 2.

4321(5)-1234(5)=XXX(5)

En base 5,4 31211

-1 2 3 4 1 1

3 0 3 2

3.

10100010(2)-1110101(2)=XXX(2)

En base 2,11011101010 110

-1 1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 1

4.

En base 60,(40)(1)(40)(1)(40)

-(30) (40) (50) 1 1 (9) (59) (50) Analyse de productions d"élèves[Aix-Marseille, Corse, Montpellier, La Martinique (2001)] Sujet

Solution

Analyse de productions d"élèves[D"après Créteil, Paris, Versailles (2004)] 8

SujetSolution

2.3 La multiplication

Pour clarifier l"algorithme, les retenues additives ne sont plus notées.

1. 57×892 =XXX

En base 10,8 9 2

×5 7

6 2 4 4

+ 4 4 6 0

5 0 8 4 4Table de 8921×892 = 892

2×892 = 1 784

3×892 = 2 676

4×892 = 3 568

5×892 = 4 460

6×892 = 5 352

7×892 = 6 244

8×892 = 7 136

9×892 = 8 028

2.

33(5)×34(5)=XXX(5)

En base 5,3 4

×3 3

2 1 2 + 2 1 2

2 3 3 2Table de 341×34 = 34

2×34 = 123

3×34 = 212

4×34 = 301

3.

10100010(2)×1110101(2)=XXX(2)

En base 2,1 0 1 0 0 0 1 0

×1 1 1 0 1 0 1

1 0 1 0 0 0 1 0

+ 1 0 1 0 0 0 1 0 + 1 0 1 0 0 0 1 0 + 1 0 1 0 0 0 1 0 + 1 0 1 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0Table de 101000101×10100010 = 10100010

Exercice 7[Créteil, Paris, Versailles (1999)] On considère le nombreA= 92865317×814975.

1. Déterminer le nombre de chiffres deA.

9

2. Démontrer que le chiffre des dizaines est 7 et que le chiffre des unités est 5.

3. Les calculatrices courantes ne donnent pas directement tous les chiffres du nombreA. Sans utiliser

la technique opératoire de la multiplication, c"est-à-diresans poser l"opération 92 865 317×814 975,

décrire un procédé qui utilise une calculatrice affichant dix chiffres et qui permette de déterminer

tous les chiffres du nombreA.

Solution 7

1. 9×107<92 865 317<108et 8×105<814 975<9×105, d"où 72×1012< A <9×1013, ou

encore 7×1013< A <9×1013et le nombreApossède 14 chiffres. 2.

92 865 317 =a×100 + 10 + 7

(oùaest le nombre de centaines de 92 865 317), et

814 975 =b×100 + 70 + 5

(oùbest le nombre de centaines de 814 975), donc

A= (a×100 + 10 + 7)×(b×100 + 70 + 5)

=a×b×10 000 +a×7×1 000 +a×5×100 +b×1 000 + 7×100 + 5×10 +7×b×100 + 7×7×10 + 7×5 (en développant) =c×100 + 50 + 490 + 35 (oùcest un entier qu"on ne cherche pas à calculer) =d×100 + 75 (oùdest un entier qu"on ne cherche pas à calculer) etAa 5 pour chiffre des unités et 7 pour chiffre des dizaines. 3.

92 865 317×814 975 = (9 286×10 000 + 5 317)×814 975

= 7 567 857 850×10 000 + 4 333 222 075 (7 567 857 850 et 4 333 222 075 sont des résultats donnés par la calculette) = 75 678 578 500 000 + 4 333 222 075 = 75 682 911 722 075 (en posant l"addition)

Volet didactique[Guadeloupe, Guyane (2004)]

Sujet

Solution

10

2.4 La division euclidienne

Pour clarifier l"algorithme, les compensations soustractivesne sont plus notées.

1. 987÷37 =XXX

En base 10,9 8 7

-7 4 2 4 7 -2 2 2 2 5 3 7

2 6Table de 371×37 = 37

2×37 = 74

3×37 = 111

4×37 = 148

5×37 = 185

6×37 = 222

7×37 = 259

8×37 = 296

9×37 = 333

2.

4321(5)÷12(5)=XXX(5)

En base 5,4 3 2 1

-4 1 2 2 -1 2 1 0 1 -4 1 1 0 1 2

3 1 3Table de 121×12 = 12

2×12 = 24

3×12 = 41

4×37 = 103

quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36

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