Calcul Algébrique
se lit « somme pour k allant de zéro à cinq de deux puissance k ». n?1. ? h=0. 2h+1. 21 + ··· + 2n. = 20+1 + ··· + 2n?1+1 . L'indice de sommation ...
Chapitre 1 - Calculs de sommes
Pour représenter de façon plus condensée la somme des premiers entiers on écrit : 1+2+ ··· + n = n. ? k=1 k (prononcer « somme des k pour k allant de 1 à
Notations pour les sommes produits
https://www.ceremade.dauphine.fr/~viossat/PDFs/algebre1/2009-10/algebre1_indices_niveau1-0910.pdf
Programmes Python
Calcul de 1 + 2 + ··· + n : algorithme et programme en Python Lire n s ? 0. Pour k allant de 1 `a n faire s ? s + k. FinPour. Afficher s.
Exercices corrigés
Utilisez l'instruction break pour interrompre une boucle for d'affichage des entiers de 1 à 10 compris lorsque la variable de boucle vaut 5.
Maths vocab in English
— Beaucoup de théorèmes ont des noms différents en anglais pour des raisons histo- riques et culturelles. Par exemple le principe des tiroirs s'appelle en
Clipedia
Nous avons vu que la multiplication de deux matrices (A et B) quelconques n'est par l'expression « cij est la somme pour k allant de 1 à n des aik bkj.
Sommes et produits
Soit (amam+1
Thème 13: Le symbole de sommation ?
L'expression de cette somme se lira "La somme des c indice k pour k allant de 1 jusqu'à 365". L'indice de sommation k peut être remplacé par n'importe.
algorithmique.pdf
Fin Tant que. Syntaxe des instructions. Algorithme papier. Algobox. Calculatrice TI Calculatrice Casio. Pour I de1 à N ……… FinPour. POUR I ALLANT DE de1 à N.
[PDF] Calcul Algébrique
Pour tout entier n ? 1 la somme des n premiers entiers vaut n(n + 1)/2 n ? k=1 k =1+2+ ···
[PDF] Chapitre 1 - Calculs de sommes
Pour représenter de façon plus condensée la somme des premiers entiers on écrit : 1+2+ ··· + n = n ? k=1 k (prononcer « somme des k pour k allant de 1 à
Somme des 1/k - Les-Mathematiquesnet
219400.pdf
[PDF] [PDF] Séries - Exo7 - Cours de mathématiques
Donc si q ? 1 (Sn) n'a pas de limite finie donc la série ?k?0 qk diverge un changement d'indice pour se ramener à une somme à partir de 0
[PDF] Chapitre IV : Calculs algébriques I La somme ? et le produit ?
Pour tout k ? I décrire ak en fonction de k 2 En déduire une écriture de ?k?I ak en fonction de n! = ?n k=1 k
Exercices corrigés -Calculs algébriques - sommes et produits
Simplifier la somme $\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k k$ en faisant des sommations par paquets Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mtn^*$ on a $$S_n=\sum_{k=1}^n
[PDF] Somme des n premiers entiers naturels non nuls - PanaMaths
[1-4] Mai 2012 Algorithme PanaMaths ? Somme des n premiers entiers récurrence permet d'établir que pour tout entier naturel n non nul on a : ( )1
[PDF] Sommes produits récurrence - Normale Sup
18 sept 2010 · Exemple 1 : Calcul de la somme des entiers • Nous allons démontrer par récurrence que la propriété Pn : i=n ?
[PDF] Sommes et produits
Soient m ? Z et n ? Z avec m ? n Soit (amam+1 ··· an) une liste de nombres1 On définit la somme des ak pour k variant de m à n par n ? k=m
Sommes et produits
14 nov 2015 · Sommes de référence Somme d'une constante: Pour tout ( a n ) ? R × N ? k =0 n a = ( n + 1) × a Nombres triangulaires: Pour tout n
Comment calculer la somme de K ?
k = n (n + 1) 2 . La variable k est appelée indice de la somme; on utilise aussi fréquemment la lettre i comme variable d'indice.Comment calculer la somme des chiffres d'un nombre ?
Somme
1On fait l'addition de bas en haut, par exemple. Soit 43 + 36 + 12 = 91. 2On additionne par groupes de deux et de trois, par exemple. Soit 43 + 36 + 12 = 43 + (36 + 12) = 43 + 48 = 91.3On applique la preuve par 9. On additionne les chiffres de tous les nombres jusqu'à ce qu'on obtienne un nombre entre 0 et 10.Comment on calcule la somme algébrique ?
Pour calculer une somme algébrique :
1on transforme les soustractions en additions en rempla?nt les nombres relatifs soustraits par leurs opposés ;2on regroupe les termes positifs d'un côté et les termes négatifs de l'autre ;3on calcule les deux sommes séparément ;4on termine le calcul.En mathématiques, la somme de deux nombres est le résultat de leur addition. Les éléments additionnés s'appellent les termes de la somme.
11=1²,21+3=2²,31+3+5=3², etc.
Chapitre 1
Calculs de sommes
De nombreux exercices d"Olympiades font intervenir des calculs de sommes. Aussi est-il important, non seulement de connaître les formules permettant de calculer ces sommes (le plus souvent ces formules sont d"ailleurs rappelées dans les sujets propo- sés), mais aussi de savoir les retrouver par des approches différentes.1.1 Somme desnpremiers entiers
On considère, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à1, la somme : S n =1+2+···+(n-1) +n On cherche une formule explicite (ou encore une formule close) pour la sommeS n en fonction den.Nous allons l"établir de plusieurs façons.
Première méthode : par duplication.
On calcule2×S
n en présentant les calculs sur deux lignes : on écrit d"abord les termes de la somme dans l"ordre croissant de1ànsur la première ligne puis les mêmes termes dans l"ordre décroissant denà1sur la deuxième ligne; ensuite on ajoute les deux lignes terme à terme en colonne.On obtient ainsi :
S n =1+2+···+(n-1) +n S n =n+(n-1) +···+2+1 2S n =(n+1) + (n+1)+···+(n+1) + (n+1)2 Chapitre 1. Calculs de sommes
Le membre de droite de la dernière égalité comportentermes indexés de1ànpar les termes de la première ligne.On en déduit2S
n =n×(n+1). Proposition.Pour tout entier natureln≥1,1+2+···+n=n(n+1) 2. Deuxième méthode : par dénombrement sur une grillen×n.Donnons le principe en prenant l"exemple
d"une grille5×5.Au total, la grille compte5
2 =25carrés de côté unité et5carrés forment la grande diagonale. De chaque côté de la grande diagonale, on dé- nombre, en observant les carrés suivant les diago- nales montantes de la grille,1puis2puis3puis4 carrés(sur le dessin ci-contre, les diagonales mon- tantes de2et4carrés apparaissent grisées);onen compte donc1+2+3+4=S 4 Le nombre total de carrés de la grille5×5vaut donc aussi2S 4 +5.Ceci conduit à l"égalité :
5 2 =2S 4 +5soitS 4 =5 2 -52ou encoreS
4 =5×(5-1)2=(4 + 1)×42.
Le même raisonnement appliqué cette fois à une grille(n+1)×(n+1)donne alors S n =n(n+1) 2.Troisième méthode : par emploi d"un domino.
On remarque que pour tout entier naturelknon nul,
2k=(k+1)×k-k×(k-1).
On peut donc écrire :2×1=[(1+1)×1-1×(1-1)]soit2×1=[2×1-1×0]; de même,2×2=[3×2-2×1]puis2×3=[4×3-3×2],2×4=[5×4-4×3], etc., jusqu"à2×n=[(n+1)×n-n×(n-1)].
On en déduit la somme :
2×n+···+2×1=[(n+1)×n
Le membre de droite de l"égalité précédente s"appelleune somme domino.1.1. Somme desnpremiers entiers 3
Quel est le rapport avec le jeu de dominos? Dans la somme, chaque crochet fait penser à un domino et la somme se réduit, après simplification, à la somme des termes extrêmes de la même façon, qu"aux dominos, les dés jouables sont situés aux deux bouts de la chaîne.Par exemple:
[5×4-4×3]+[4×3? ffi =0 -3×2]+[3×2? ffi =0 -2×1]+[2×1? ffi =0 -1×0]=[5×4-1×0]Finalement, on obtient :
2×n+···+2×2+2×1=[(n+1)×n-1×0](principe des dominos)
Après factorisation par2du membre de gauche :
n =(n+1)×net on retrouve : S n =n(n+1) 2. Au passage, on a obtenu une formule pour la somme desnpremiers entiers naturels pairs :2+4+6+···+(2n-2) + 2n=[(n+1)×n-1×0] =n(n+1).
Le symbole de sommation?
Pour représenter de façon plus condensée la somme des premiers entiers, on écrit :1+2+···+n=
n k=1 k(prononcer " somme deskpourkallant de1àn»). Plus généralement,f(1)+f(2)+···+f(n)= n k=1 f(k)(prononcer " somme desf(k) pourkallant de1àn»).On écrira donc par la suite
n k=1 k=n(n+1) 2. La variablekest appelée indice de la somme; on utilise aussi fréquemment la lettre icomme variable d"indice. D"un point de vue algorithmique, la variablekjoue le rôle de la variablekd"une boucle itérative Pour - Fin pour.Observer l"analogie avec le programme suivant :
Traitement
AffecteràSla valeur0
Pourkallant de1jusqu"ànfaire
AffecteràSla valeurS+k
Fin pour
Sortie
AfficherS.
Si on exécute ce programme, il retourne, pour la valeur denchoisie, la somme des entiers de1àn.4 Chapitre 1. Calculs de sommes
Signalons aussi qu"une propriété importante du symbole?est sa linéarité : n k=1 (f(k)+g(k)) = n k=1 f(k)+ n k=1 g(k)et, pour tout réela, n k=1 (af(k)) =a n k=1 f(k). Nous avons rencontré la deuxième propriété avec la somme desnpremiers entiers naturels pairs : n k=1 (2k)=2 n k=1 k=2×n(n+1)2=n(n+1).
La première propriété peut être vue comme un réarrangement des termes de la somme initiale.1.2 Somme desnpremiers nombres impairs
Cette somme intervient fréquemment dans les exercices d"Olympiades académiques; il s"agit de donner une formule, en fonction den, de la somme :1+3+5+···+(2n-1) =
n k=1 (2k-1) Il est intéressant de calculer cette somme de plusieurs façons.Première méthode : par duplication.
On calcule le double de la somme :
S n =1+3+···+(2n-3) + (2n-1) S n =(2n-1) + (2n-3) +···+3+1 2S n =2n+2n+···+2n+2nOn en déduit2S
n =(2n)×nsoit après simplification par2:S n =n 2 Proposition.Pour tout entiern≥1,1+3+5+···+(2n-1) =n 21.3. Somme desnpremiers cubes 5
Deuxième méthode : par dénombrement sur une grille.Donnons le principe en prenant l"exemple
d"une grille5×5.Au total, la grille compte5
2 =25carrés de côté unité. Sur la grille, les " chevrons » alternativement grisés et clairs contiennent un nombre impair de carrés. Par conséquent,25s"obtient comme une somme de nombres impairs : 5 2 =25=1+3+5+7+9. On remarque que9=2×5-1. Sur une grillen×n, le raisonnement précédent conduit à l"égalité : n×n=n 2 =1+3+5+···+(2n-1).Troisième méthode : par emploi d"un domino.
L"identité remarquable :(k+1)
2 =k 2 +2k+1permet d"écrire un nombre impair comme différence de deux carrés consécutifs :2k+1=(k+1) 2 -k 2On obtient ainsi le domino?
(k+1) 2 -k 2 et S n n 2 -(n-1) 2 (n-1) 2 -(n-2) 2 +···+?1 2 -0 2 ?=n 21.3 Somme desnpremiers cubes
On s"intéresse dans cette section à la somme des premiers cubes : 1 3 +2 3 +···+n 3 n k=1 k 3 Il est remarquable que cette somme soit égale au carré de la somme desnpremiers entiers :Proposition.Pour tout entiern≥1,1
3 +2 3 +···+n 3 =(1+2+···+n) 2Démontrons-le avec le principe des dominos :
?k(k+1) 2? 2 -?k(k-1) 2? 2 =?k(k+1)2+k(k-1)2?
×?k(k+1)2-k(k-1)2?
k(k+1) 2? 2 -?k(k-1) 2? 2 =k 2×k=k
3Le principe des dominos donne alors :
n k=1 k 3 =?n(n+1) 2? 2 -?1(1-1) 2? 2 =?n(n+1) 2? 2 On peut retrouver ce résultat géométriquement à l"aide d"une grille carrée.6 Chapitre 1. Calculs de sommes
Sur la figure ci-dessus, on observe que la taille des carrés varie de1à5sur une grille15×15où15=1+2+3+4+5.
Regardons pour commencer les carrés de côtés impairs, disposés en " chevrons » sur la grille, et coloriés par de petits points; les carrés de taille3sont au nombre de3, ceux de taille5au nombre de5donc le " chevron de taille3» représente3×3×3=3 3 petits carrés de la grille, et celui de taille5représente le cube5 3 Observons maintenant les carrés de côtés pairs, de tailles2et4, coloriés en gris clair. Ces carrés, au nombre de2et4respectivement, ne forment pas tout à fait un " chevron » parce que deux d"entre eux se recouvrent et laissent une partie de la grille apparente; il suffit alors de remarquer que le chevauchement des carrés a la même aire que la partie de la grille apparente (cette aire vaut le quart d"un carré). De plus, les carrés de côtés2et4représentent respectivement2×2×2=2 3 et4×4×4=4 3 petits carrés de la grille. Il ne reste plus qu"à exprimer le nombre total de petits carrés de la grille de deux façons différentes :15×15 = 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 ce qui donne bien : (1+2+3+4+5) 2 =1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 Ce raisonnement s"étend à une grille de taillem×moùm=1+2+···+n.1.4. Somme desnpremiers carrés 7
1.4 Somme desnpremiers carrés
Entre la somme desnpremiers entiers et celle desnpremiers cubes, on trouve logi- quement la somme desnpremiers carrés, à savoir : 1 2 +2 2 +3 2 +···+n 2 n k=1 k 2Proposition.Pour tout entiern≥1,
1 2 +2 2 +3 2 +···+n 2 =n(n+1)(2n+1)6=n(n+
1 /2)(n+1) 3. On utilise une nouvelle fois le principe des dominos.Partons de l"identité :(k+1)
3 -k 3 =3k 2 +3k+1.Après sommation :(n+1)
3 -1 3 =3× n k=1 k 2 +3× n k=1 k+n Or n k=1 k=n(n+1)2donc :(n+1)
3 -(n+1)=3× n k=1 k 2 +3×n(n+1) 2. (n+1)? (n+1) 2quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] somme de k=0 ? n de 1
[PDF] somme cos k theta
[PDF] 1 2 somme cos kx
[PDF] une somme
[PDF] somme definition maths
[PDF] somme département
[PDF] un produit
[PDF] analyse production d élève crpe
[PDF] cerfa 2731
[PDF] impot gouv cerfa 2731
[PDF] cerfa 2731 version 2017
[PDF] ecris chaque nombre comme somme d'un nombre entier et d'une seule fraction décimale inférieure ? 1
[PDF] comment decomposer une fraction
[PDF] ecris chaque nombre comme somme d'un nombre entier et d'une seule fraction decimale