Calcul Algébrique
k=0. 2k se lit « somme pour k allant de zéro à cinq de deux puissance k ». C'est une notation On suppose donc que le résultat est vrai pour l'entier n.
Chapitre 1 - Calculs de sommes
On considère pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1
Sommes et produits
n. ? k=0 a. Solution : 1. Cette notation est valable pour tout objet mathématique pour lequel une opération associative. « somme » a été définie (pour
Programmes Python
Lire n s ? 0. Pour k allant de 1 `a n faire s ? s + k. FinPour. Afficher s. Fin. #Entrée : n entier. #Sortie : somme s des entiers de 1 `a n.
Séries
n?+?. Sn. On appelle alors S = ?+? k=0 uk la somme de la série ?k?0 uk et on dit que Écartons tout de suite le cas q = 1
Notations pour les sommes produits
https://www.ceremade.dauphine.fr/~viossat/PDFs/algebre1/2009-10/algebre1_indices_niveau1-0910.pdf
Sommes et séries
k=a uk = ua + ua+1 +. ··· + ub pour les petites sommes. ?n+1 k=0 uk = ? n k=0 qk+1. Produit en puissance ? n k=0. 2k · 3k. Produit en somme ? n k=0.
CORRIGÉ DU DEVOIR LIBRE N?02
23 sept. 2011 Pour calculer cette somme trigo on passe en complexes . On calcule tout d'abord ... somme d'exponen- tielles imaginaires. E(x) = n. ? k=0.
Cours de mathématiques - Exo7
Voici ce que l'on fait pour calculer Sn avec n = 10. • On affecte d'abord la valeur 0 à la variable somme cela correspond à l'initialisation S0 = 0.
Chapitre IV : Calculs algébriques I La somme ? et le produit ?
0?i?5 est la famille 1 2
[PDF] Calcul Algébrique
1 1 Sommes et produits Nous commençons par les sommes L'écriture 5 ? k=0 2k se lit « somme pour k allant de zéro à cinq de deux puissance k »
[PDF] Chapitre 1 - Calculs de sommes
Pour représenter de façon plus condensée la somme des premiers entiers on écrit : 1+2+ ··· + n = n ? k=1 k (prononcer « somme des k pour k allant de 1 à
[PDF] Sommes et produits
Pour m>n la somme est vide et vaut 0 : n ? k=m ak = 0 Notation (Utilisation du symbole ?) L'usage des points de suspension pour définir la notation
[PDF] Chapitre IV : Calculs algébriques I La somme ? et le produit ?
Apportons une démonstration mathématique rigoureuse à partir de la définition et de la formule de Pascal Pour tout n ? N définissons la propriété Pn : « ?k
Exercices corrigés -Calculs algébriques - sommes et produits
Pour chaque question une seule réponse est juste Laquelle? La somme $\sum_{k=0}^n 2$ $$\mathbf a \textrm{ n'a pas de sens}\ \ \mathbf b
[PDF] Sommes produits récurrence - Normale Sup
18 sept 2010 · lettre sans changer la valeur de la somme On choisit traditionnellement les lettres i j k etc pour les indices de sommes • Dans une somme
[PDF] [PDF] Séries - Exo7 - Cours de mathématiques
n?+? Sn On appelle alors S = ?+? k=0 uk la somme de la série ?k?0 uk et on dit que Écartons tout de suite le cas q = 1 pour lequel Sn = n + 1
Somme des 1/k - Les-Mathematiquesnet
219400.pdf
Somme (arithmétique) - Wikipédia
En mathématiques la somme de deux nombres est le résultat de leur addition et à la sommer pour k allant de 0 jusqu'à n ce qui permet d'obtenir :
[PDF] CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis
k=0 k 2 Utilisez une méthode analogue pour retrouver les valeurs des sommes S2 = n ? k=1 k2 et S3 = n ? k=1 k3 Exercice 4 : Soit n ? N?
Comment calculer la somme de K ?
k = n (n + 1) 2 . La variable k est appelée indice de la somme; on utilise aussi fréquemment la lettre i comme variable d'indice.Comment calculer ? ?
? [terme général d'une suite arithmétique] = [nombre de termes] × [premier terme] + [dernier terme] 2 .Comment calculer la sommation ?
En mathématiques, la somme de deux nombres est le résultat de leur addition. Les éléments additionnés s'appellent les termes de la somme.
11=1²,21+3=2²,31+3+5=3², etc.Somme
1On fait l'addition de bas en haut, par exemple. Soit 43 + 36 + 12 = 91. 2On additionne par groupes de deux et de trois, par exemple. Soit 43 + 36 + 12 = 43 + (36 + 12) = 43 + 48 = 91.3On applique la preuve par 9. On additionne les chiffres de tous les nombres jusqu'à ce qu'on obtienne un nombre entre 0 et 10.
Sommes et s´eries
1 Synth`ese sommes finies
D´efinitions
?b k=auk=ua+ua+1+···+ubpour les petites sommes.?n+1
k=0uk=?n k=0uk+un+1et?0 k=0uk=u0pour les r´ecurrences.1.1 Op´erations
Chasles(d´ecoupage horizontal) Valable uniquement si toutes les bornes sont en ordre croissant! Lin´earit´e(d´ecoupage vertical) Somme de sommes. Factorisationdes constantes par rapport `a l"indice de sommation. R´eindexationChange les deux bornes et le contenu. Mais ce n"est pas le meilleur moyen pour rectifier les bornes.Pourx?= 1,calculer (1-x)?n
k=0kxket en d´eduire?n k=0kxk. D´erivationPour les sommes finie!x→x0se d´erive enx→0.Calculer?n
k=1k·xk-1 Simplification diagonaleIl faut avoir exactement?n k=0uk+1-uk= u n+1-u0 In´egalit´esMontrer que pour toutk≥2 :1k en d´eduire un majorant de?n k=11k 21.2 Sommes usuelles
b k=0k=n(n+1)2 :?n k=0k2=n(n+1)(2n+1)6 ?n k=0k3=n2(n+1)24 k=aqk=?b-a+ 1 siq= 1 q a1-qb-a+11-qsiq?= 1?n k=0? n k?akbn-k= (a+b)n1.3 M´ethodesConstantessi elles sont en facteur!?n
k=02k+ 1Borne sup´erieure?n+2
k=0k2Borne inf´erieure
?n k=3k2Puissance manquante
?n k=0? n k?Puissance en puissancek?n
k=0q2kPuissance en produit par une constante
?n k=0qk+1Produit en puissance
?n k=02k·3kProduit en somme
?n k=0(k+ 1)(k+ 2) BinˆomeO`u doit on retrouver l"indice de sommation? O`u retrouve-t-on la puissance? Calculer?n k=0? n-1 k+1?Ecriture factorielle de
?n (n+ 1)! = (n+ 1)·n! uniquement sin≥0Transformation du coefficient : sym´etrie?n
k?=?n n-k?, Pascal?n k?+?n k+1?=?n+1 k+1?,par factoriellek·?n k?=n·?n-1 k-1? Formule changeanteJusqu"`a un indice (apparaˆıt souvent en proba- bilit´es)?3n k=0|n-k|.Suivant la parit´e?nk=0kpairk2:?2n
k=0k(-1)k1.4 Sommes doubles
BasiquesDistinguer variables et constantes.?n
i=0? i j=0i·jPermutation de sommes?n
i=1? n j=isomme pour tous les couples d"entiers (i,j) tels que : j=1? j i=1Calculer?n
i=1? n j=iijSynthse sommes et sriesPage 1/ 2
2 Cours s´eries
2.1 D´efinition
S´erienot´ee?
k≥1uk: s´erie de terme g´en´eral (uk)k≥1et de premier indice 1.S´erie convergentesignification?
Somme de la s´erienot´ee?+∞
k=1ukest? Aboslue convergenteSi elle est absolument convergente alors elle est convergente.Contre exemple?
Int´erˆet : crit`eres de convergence.
2.2 Usuelles
G´eom´etriques et d´eriv´eesConvergent si|q|<1 et divergent sinon.?++∞ k=0qk=11-q:?++∞ k=1kqk-1=1(1-q)2:?++∞ k=2k(k-1)qk-2=2(1-q)3 k=0kqk=q(1-q)2:?++∞ k=0k2qk=q(q+1)(1-q)3ExerciceD´emontrer les deux premi`eres.
Exponentiellesconvergent?+∞
k=0xkk!=exClassique
n=0? n k?2kn!ressemble `a une somme binomiale mais ...
Riemann?
k≥11k2.3 Op´erations
M´efianceChercher l"erreur :?+∞
k=02k= 20+?+∞ k=12k= 1 + 2?+∞ k=12k-1= 1 + 2?+∞ k=02kDonc (1-2)?+∞
k=02k= 1 et?+∞ k=02k=-1 somme de termes positifs! Conclusion? ..................................................... Prudence : on repart de la somme partielle.2.4 Crit`eres de convergence pour les s´eries `a termes positifs. RappelUne suite croissante et ............ est convergente, une suite croissante et non .........tend vers +∞. LemmeUne s´erie `a termes positifs est croissante. (Signification? Le d´emontrer). Que peut-on en d´eduire suivant qu"elle est major´ee ou non. si? k≥0vkconverge alors? k≥0ukconverge (par majoration de termes positifs) si? k≥0ukdiverge alors? k≥0vkdiverge (par minoration de termes positifs) PreuveLes sommes partielles v´erifient les mˆemes in´egalit´es. Puis on a convergence ou divergence par minoration ou majoration. Th´eor`emeSivn≥0 etun≥0 et queun=o(vn) alors si? k≥0vkconverge alors? k≥0ukconverge (par majoration de termes positifs) si? k≥0ukdiverge alors? k≥0vkdiverge (par minoration de termes positifs) PreuveQue signifieun=o(vn)? et il existe un rangn0`a partir duquel On est alors ramen´e au th´eor`eme pr´ec´edent.Th´eor`emeSiun≂vnet quevn≥0 alors?
k≥0ukconverge si et seulement si? k≥0vkconverge. (par ´equivalence de termes positifs) PreuveQue signifieun≂vn? et il existe un rangn0`a partir duquel 12 d"o`u12 vnet la convergence ou la divergence par application du premier th´eor`eme. M´ethodeUn ´equivalent est une s´erie de r´ef´erence. Sinon, on fait apparaˆıtre un terme qui tend vers 0 fois une s´erie de r´ef´erence. ExerciceMontrer que la s´erie de terme g´en´eral? (-1)kln(k)·e-k? k≥1converge.Synthse sommes et sriesPage 2/ 2quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] somme cos k theta
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