[PDF] Parallélogramme carrés.fm sur les côtés





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Chapitre 1 - Calculs de sommes

On considère pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1



Résumé du Cours de Mod`eles de Régression

10 janv. 2011 Démonstration Le minimum M(a b) en a



ECONOMETRIE

24 janv. 2016 Voir la démonstration à l'aide du modèle de régression multiple qui est ... où SCT = somme des carrés totale ou variabilité totale de yt ...



Nombres premiers sommes de deux carrés la démonstration de

Un théorème dû à Fermat s'énonce ainsi : « Tout nombre premier p de la forme. 1. 4 +. = n p est une somme de deux carrés ». La « démonstration de Don Zagier 



Chapitre 5 - Méthode des moindres carrés

propriété remarquable : c'est celle qui rend minimale la somme des carrés des écarts des valeurs observées yi `a la droite ˆyi = axi + b.



les entiers naturels qui sont somme de deux carres

plication l'addition et la parité. Produit : Si deux nombres sont sommes de deux carrés



Parallélogramme carrés.fm

sur les côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des aires des carrés construits sur ses diagonales. Ce qui suit ne constitue pas une démonstration 



Logique et calcul : Les preuves sans mots

(c) et (d) : deux démonstrations du théorème de. Pythagore. d'illustrer une démonstration par un ... La somme des carrés des n premiers.



LA SOMME DES CHIFFRES DES CARRÉS 1. Introduction Lobjet

montrant que la somme des chiffres des carrés écrits en base q ? 2 est que nous établissons ici peuvent être interprétés comme une démonstration de.



MODELES LINEAIRES

n?k (Somme des carrés de n v.a. N(01) qui vérifient k relations linéaires). • ??2 est un estimateur sans biais de ?2 et de variance.



[PDF] Chapitre 1 - Calculs de sommes

On cherche une formule explicite (ou encore une formule close) pour la somme Sn en fonction de n Nous allons l'établir de plusieurs façons Première méthode : 



démonstrations: somme des entiers carrés cubes - Gerard Villemin

SOMME des NOMBRES Démonstrations directes Méthode générale pour calculer la somme des entiers des carrés des cubes etc Elle repose sur l'utilisation 



[PDF] 1 Introduction 2 Décomposition de la somme totale des carrés

Le but de cette note est de préciser la signification des différents types de sommes de carrés (ainsi que les “philosophies” sous-jacentes) que l'on trouve 



[PDF] SOMMES DE CARRÉS DE FONCTIONS DÉRIVABLES par Jean

— La démonstration précédente montrerait tout aussi bien l'implication suivante : si en dimension n toute fonction positive C4 est somme (contrôlée) de 



[PDF] Somme de deux carrés

n ? r ? vp(n) est pair pour p ? 3[4] où vp(n) est défini par la décomposition en facteur premier de n : n = np?P pvp(n) 1 Page 2 Démonstration Idée : On 



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Un théorème dû à Fermat s'énonce ainsi : « Tout nombre premier p de la forme 1 4 + = n p est une somme de deux carrés » La « démonstration de Don Zagier 



[PDF] les entiers naturels qui sont somme de deux carres - MAThenJEANS

plication l'addition et la parité Produit : Si deux nombres sont sommes de deux carrés alors leur produit est somme de deux carrés Démonstration



[PDF] Sommes produits récurrence - Normale Sup

18 sept 2010 · La démonstration par récurrence est un schéma de démonstration que nous Exemple 2 : Calcul de la somme des carrés des entiers



[PDF] Théorème des deux carrés

Il s'ensuit qu'un entier premier impair somme de deux carrés d'entiers est congru à 1 modulo 4 2 p étant premier K = Z/pZ est un corps On a donc si x y 



[PDF] Sommes et produits

2 Sommes et produits 3/8 2 1 4 Sommes classiques Théorème 3 Somme des entiers des carrés des cubes Soit n un entier naturel On a :

  • Comment trouver la somme des carrés ?

    Cette fonction permet d'élever chaque valeur de la colonne au carré et de calculer la somme de ces carrés. En d'autres termes, si la colonne contient x1, x2, , xn, la somme des carrés est égale à (x1 + x2 + + x n 2).

  • Comment additionner deux nombres au carré ?

    7 x 7 x 7 Le résultat est 147. Des nombres au carré peuvent s'additionner avec d'autres nombres au carré ou avec des nombres au cube, et vice versa. Le résultat est 172.

  • Comment calculer la somme des entier naturel ?

    Sn = n (n + 1) 2 . Au passage, on a obtenu une formule pour la somme des n premiers entiers naturels pairs : 2+4+6+ ··· + (2n ? 2) + 2n = [(n + 1) × n ? 1 × 0] = n (n + 1).
  • k = n(n + 1) 2 . k =1= 1(1 + 1) 2 . + (n + 1) . + (n + 1) = n(n + 1) 2 + (n + 1) .

M. Sarrouy à propos de l'exercice 482-31/34

Autour du théorème de Pythagore

I . Le problème

C'est l'exercice 482-3 du Bulletin n° 482 (mai-juin 2009) de l'APMEP.

1 . Énoncé

La somme des carrés des côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses diagonales.

Établir ce résultat et proposer un puzzle.

2 . Démonstration

Elle repose sur le théorème d'Al-Kashi.

Notations : ABCD est un parallélogramme, on pose , , et .

Dans le triangle ABD, :

Dans le triangle ABC, :

Donc .

Mais comme les angles en A et en B sont supplémentaires, on a

II . Interprétation géométrique

1 . Somme des carrés des côtés

Elle est représentée par la somme des aires des carrés construits sur les côtés du parallélogramme

aABCD==bADBC== dBD=d'AC= d ba d' B A CD d 2 a 2 b 2

2ab Acos-+=

d ba B A CD d' 2 a 2 b 2

2ab Bcos-+=

ba d' B A CD d 2 d' 2 +2a 2 2b 2

2ab Acos 2ab Bcos--+2a

2 2b 2

2ab A Bcos+cos()-+==

ABcos+cos 0=

d 2 d' 2 +2a 2 2b 2

M. Sarrouy à propos de l'exercice 482-32/34

ABCD.

2 . Somme des carrés des diagonales

Il s'agit de même de la somme des aires des carrés construits sur chacune des deux diagonales du parallélogramme ABCD.

3 . Conséquence

Démontrer la propriété équivaut donc à montrer que la somme des aires des carrés construits

sur les côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des aires des carrés construits sur ses

diagonales. Ce qui suit ne constitue pas une démonstration de cette propriété mais une double interprétation vue au travers du prisme de la démonstration du théorème de Pythagore par Euclide, les échanges de carrés rappelant en effet cette démonstration. III . Intermède : le théorème de Pythagore dans Les Éléments d'Euclide

Le théorème de Pythagore dans Les Éléments est l'énoncé de la proposition 47 du Livre I.

BA CD B A CD

M. Sarrouy à propos de l'exercice 482-33/34

1 . Énoncé

" Dans les triangles rectangles, le carré sur le côté sous-tendant l'angle droit est égal aux carrés

sur les côtés contenant l'angle droit. »

2 . Démonstration

• Situation

ABC est un triangle rectangle en A.

Démontrer le théorème consiste à montrer que l'aire d'un carré BCDE construit sur l'hypoténuse [BC] est égale à la somme des aires de carrés ABFG et ACIH respectivement construits sur les côtés [AB] et [AC] de l'angle droit. •1 re

étape

L'aire du carré ABFG est le double de l'aire du triangle BFC parce que le parallélogramme (carré) ABFG a même base [BF] que le triangle BFC et qu'il est dans les mêmes parallèles (BF) et (CG). Cette propriété est la proposition 41 du même livre. A B C A B C DEF GH I A B C DEF GH I

M. Sarrouy à propos de l'exercice 482-34/34

•2 e

étape

Dans les triangles BFC et ABE, on a , et leurs angles en B sont égaux, tous deux égaux à un droit plus l'angle en B du triangle ABC.

On en déduit (proposition 4 du livre I) qu'ils sont isométriques et de là qu'ils ont même

aire. L'aire du carré ABFG est donc égale au double de l'aire du triangle ABE. •3 e

étape

Comme à la première étape, l'aire du rectangle BEKJ est le double de l'aire du triangle BEA parce que le parallélogramme (rectangle) BEKJ a même base [BE] que le triangle BEA et qu'il est dans les mêmes parallèles (BE) et (AK). • Conclusion partielle

BF BA=BC BE=

A B C DEF GH I A B C DEF GH I J K

M. Sarrouy à propos de l'exercice 482-35/34

Le carré ABFG et le rectangle BEKJ ont même aire. • Conclusion On démontrerait de même que le carré ACIH a même aire que le rectangle CDKJ.

De là, on peut affirmer que l'aire du carré BCDE est égale à la somme des aires des carrés

ABFG et ACIH.

3 . Illustration dynamique de la démonstration par Euclide du théorème de Pythagore à l'aide du

logiciel GeoGebra Il s'agit de l'utilisation du fichier Pythagore.ggb qui est en annexe.

IV . Première utilisation de la démonstration du théorème de Pythagore par Euclide dans le cas d'un

triangle quelconque

1 . Situation

ABC est un triangle. On distinguera deux cas selon que le triangle n'a aucun angle obtus ou que l'angle en A est obtus. Sur ses côtés on construit les carrés ABFG, BCDE et ACIH. A B C DEF GH I J K A BC A BC

M. Sarrouy à propos de l'exercice 482-36/34

2 . Application de la méthode au carré ABFG

On commence par prolonger les segments [GA] et [BC] de façon à placer le point d'intersection J des droites (GA) et (BC). L'aire du carré ABFG est le double de celle du triangle BFJ (voir plus haut au théorème de

Pythagore).

A BC DEF G H I DEA BCF GH I A BC DEF G H I J DEJ A BCF GH I

M. Sarrouy à propos de l'exercice 482-37/34

Soit K le point de la demi-droite [BE) tel que .

Dans les triangles BFJ et BHK, on a donc , et leurs angles en B sont

égaux, tous deux égaux à un droit plus l'angle en B du triangle ABC. On en déduit qu'ils sont

isométriques et par suite qu'ils ont même aire. L'aire du carré ABFG est donc égale au double de l'aire du triangle ABK. L'aire du rectangle BKLN est le double de l'aire du triangle ABK. A BC DEF G H I J DEJ A BCF GH I

BK BJ=

BF BA=BK BJ=

A BC DEF G H I J K DEJ A BCF GH I K

M. Sarrouy à propos de l'exercice 482-38/34

Par conséquent, l'aire du carré ABFG est égale à celle du rectangle BKLN.

Dans le cas où le triangle ABC n'a aucun angle

obtus, ceci peut aussi être énoncé sous la forme : l'aire du carré ABFG est égale à la somme de l'aire des rectangles BEMN et EKLM. Il est à noter que le rectangle EKLM est extérieur au carré BCDE construit sur le côté [BC] du triangle ABC.Dans le cas où l'angle en A est obtus, on peut dire que l'aire du carré

ABFG est égale à la différence entre

l'aire du rectangle BEMN et celle du rectangle EKLM. Dans ce cas, le rectangle EKLM est intérieur au carré BCDE construit sur le côté [BC] du triangle ABC. A BC DEF G H I K LN DELN OA BCF GH I K A BC DEF G H I K LN M DELN MO A BCF GH I K

M. Sarrouy à propos de l'exercice 482-39/34

3 . Application de la méthode au carré ACIH

Comme précédemment, on commence par prolonger les segments [HA] et [BC] pour placer le point d'intersection O des droites (HA) et (BC). L'aire du carré ACIH est le double de celle du triangle ICO. P désigne le point de la demi-droite [CD) tel que . Dans les triangles ICO et ACP, on a donc , et leurs angles en C sont

égaux puisque tous deux égaux à un droit plus l'angle en C du triangle ABC. Ils sont par suite

isométriques et ont même aire. L'aire du carré ACIH est donc égale au double de l'aire du triangle ACP. A BC DEF G H I O DEO A BCF GH I A BCquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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