[PDF] [PDF] racinespdf - Mathématiques





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Chapitre 3 - Racines dun polynôme

Le seul polynôme ayant une infinité de racines est le polynôme nul. En particulier an1est l'opposé de la somme des racines et (1)na0 est le produit des ...



Chapitre 12 : Polynômes

7 feb 2014 Cette somme de polynômes est associative ((P+Q)+R = P+(Q+R)) ... Soit P ? K[X] et x ? K. On dit que x est une racine du polynôme P si ...



Relations entre racines et coefficients dun polynôme du second degré

Sans calculer ses racines on sait que leur somme vaut S = 5 et que leur produit vaut P = 6. Si l'on remarque que 2 est racine



Rappel. Le polynôme caractéristique dune matrice carrée A est det

17 dic 2012 Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique. Définition. On appelle la trace de A la somme des ...



Compléments sur les polynômes Formule de Taylor

4 Factorisation. Factorisation sur C. Somme et produit des racines. Factorisation sur R. Théorème de Rolle et polynômes. 5 Formule de Taylor-Lagrange.



02.Exercice 7 moyenne des racines dun polynôme et de sa dérivée

POLYNOMES 2 HEC.ESCP Soit P un polynôme appartenant `a Rn[X] de degré n



POLYNÔMES

Théorème (Identification des coefficients) Deux polynômes sont égaux si et (somme des racines) et ?1?2 = a0 a2. (produit des racines). • Polynômes de ...



Polynômes

24 gen 2022 La formule de degré de la somme n'est pas une égalité dans le cas ... Proposition (Somme et produit des racines d'un polynôme scindé).



Polynômes

Trouver les racines dans C du polynôme X4 + 12X ? 5 sachant qu'il possède deux racines dont la somme est 2. Exercice 65 [ 02177 ] [Correction]. Donner une 



Mon Cours de Maths

6/ Factorisation d'un polynôme. 7/ Donner un polynôme d'après ses racines. 8/ Somme et produit des racines. III/ Le signe d'un polynôme du second degré.



[PDF] Chapitre 3 - Racines dun polynôme

On dit que a est une racine de A si l'application polynomiale A : K ! K x 7 ! A(x) s'annule en a : A(a)=0 Proposition 3 5 Soient A un polynôme de 



[PDF] Relations entre racines et coefficients dun polynôme du second degré

ax2 ?aSx +aP où S est la somme et P le produit des deux racines on a alors : S = ? b a et P = c a Utilisation : L'équation x2 ?5x +6 a deux racines 



[PDF] Polynômes - Exo7 - Cours de mathématiques

partie 3 Racine d'un polynôme factorisation Tout polynôme de degré n admet n racines complexes Tout polynôme est donc une somme finie de monômes



[PDF] Chapitre 12 : Polynômes - Normale Sup

7 fév 2014 · Cette somme de polynômes est associative ((P+Q)+R = P+(Q+R)) commutative (P + Q = Q + P) admet pour élément neutre le polynôme nul (noté 



Relations entre coefficients et racines dun polynôme de K[X] scindé

On peut trouver des relations entre les coefficients d'un polynôme scindé et ses racines Par exemple si l'on a un polynôme de degré 2 scindé dans K [ X ] 



[PDF] Chapitre 3 Les polynômes - Institut de Mathématiques de Toulouse

Les degrés de la somme et du produit de deux polynômes s'expriment en fonction Définition 3 20 Un scalaire r ? K est dit racine ou zéro d'un polynôme P 



[PDF] Racines dun polynôme - Fun MOOC

Si ? = 0 : une racine réelle double x0 = -b 2a Si ? < 0 : deux racines complexes 1 / 5 Isabelle Gil - Racines d'un polynôme 



[PDF] racinespdf - Mathématiques

notion de polynôme irréductible puisqu'on s'intéresse aux racines exemple: calculer une somme de tangente équations dont les racines forment un 



[PDF] Polynômes - Xiffr

Trouver les racines dans C du polynôme X4 + 12X ? 5 sachant qu'il possède deux racines dont la somme est 2 Exercice 65 [ 02177 ] [Correction] Donner une 



[PDF] Polynômes

racines des polynômes dérivés ? Utiliser les coefficients d'un polynôme scindé pour calculer la somme ou le produit de ses racines

  • Comment calculer la somme des racines ?

    Si le trinôme ax2+bx+c admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme S et leur produit P vérifient : S=a?b et P=ac.

  • Comment déterminer la somme des racines d'un polynôme de degré 3 ?

    Recherche de racine(s) et signe d'un polynôme : Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée ? qu'on appelle le discriminant. ? = b² - 4ac.

  • Comment calculer les racines d'un polynôme ?

    – Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ? K est appelé un polynôme constant. Si a0 = 0, son degré est 0.

En¯n on passera aux relations coe±cients racines et aux sommes de Newton en donnant des applications par

de Steiner... commencera par Q(c'est facile, il y a un nombre ¯ni de test µa faire), puis surRavec les lemmes de Rolle,

R), de Laguerre (surC)

pas de formule par radicaux; polyn^ome d'interpolation de Lagrange: partage de secret; polyn^omes orthogonaux avec les points de Gauss; n valeurs propres distinctes est un ouvert connexe de M n(C)), calcul de l'intersection de deux coniques 2). code BCH holder, telle que P par exemple par dichotomie (Ciarlet p.123).

Le lemme de Descartes.

Diverses majorations du module des racines d'un polyn^ome. 1

²Points de Gauss.

Ellipse de Steiner.

Gauss-Lucas avec application.

Transcendance de¼.

Sommes de Newton

Polyn^ome de Tchebychev: en particulier on montre que sup x2[¡1;1]jP(x)j ¸1 2 n¡1oµu 2 n¡1.

Questions

x2Q.

SoitP(X) =anXn+¢¢¢+a1X+a0un polyn^ome µa coe±cient dansZ. Montrez que sia=best une racine

rationnelle de Palorsbjanetaja0puis que pour toutm2Z, (bm¡a)jP(m).

Soient®;¯;°;±les racines complexes deX4¡2X3+aX2+bX¡1; trouveza;bpour que l'on ait®+¯=°+±

et®¯=¡°±et donnez les racines. a;b;c, forment un triangle isocµele rectangle enA, estc2+b2¡ un triangle rectangle isocµele est 27q2¡50p3= 0. racine multiple de 8< x

2+y2+z2= 2

x

3+y3+z3= 2

x

4+y4+z4= 2

Soienta1;¢¢¢;andes nombres strictement positifs; montrez que (a1¢¢¢an)1=n·a1+¢¢¢+an

n les polyn^omes µa coe±cients SoitP(X) =adXd+¢¢¢+a02C[X] avecad6= 0. Montrez que si®est une racine deP, on a j®j ·M:= sup

0·i jadj)1 d¡i SoientPetQdeux polyn^omes non constants deC[X] tels que l'ensemble des racines deP(resp.

P¡1) soit

2 t Montrez que les racines sont continues en le polyn^omes.

Montrez que l'ensemble des matrices complexe µa valeurs propres distinctes, est un ouvert connexe de

l'ensemble des matrices. Calculer le discriminant du polyn^omeP(X) =X3+pX+q (i) (ii)

En calculant la suite de SturmS(P;P0).

R[X][Y], i.e. comme des polyn^omes enYµa coe±cients dansR[X]. Trouver

P= 0 etQ= 0.

SoientAetBdeux polyn^omes deK[X] oµuKest un corps. Fabriquez un polyn^ome dont les racines sont les sommes d'une racine de A(X) =B(Y¡X) = 0). Construisez un polyn^ome µa coe±cients entiers qui possµedep 2 + 3p

7 pour racine.

Exercice 1.

montrez quex2Q. (deg± (n+ 1)=2 et donc soit v Q(x)>(degQ)=2 soitvR(x)>(degR)=2 et par hypothµese

Exercice 2.

Palorsbjanetaja0puis que pour toutm2Z,

(bm¡a)jP(m). a nan(resp. a

0bn): on conclut en disant queaetbsont pris premiers entre eux.

P(X) de sorte qu'il existeQ(X) µa coe±cients entiers tel queP(X) = (bX¡a)Q(X) et donc (bm¡a) diviseP(m).

Exercice 3.

Soient®;¯;°;±les racines complexes deX4¡2X3+aX2+bX¡1; trouveza;bpour que l'on ait

®+¯=°+±et

®¯=¡°±et donnez les racines.

Preuve :On a donc

®+¯+°+±= 2 = 2(®+¯),®¯°±= 1 =¡(®¯)2de sorte que®;¯(resp.°;±) sont

les racines de X

2¡X+i(resp.X2¡X¡i). En outre on a (¯+®)(°+±) + (®¯+°+±) =¡a= 1 et

®¯(°+±) +°±(®+¯) =b= 0.

Exercice 4.

a;b;c, forment un triangle isocµele rectangle enA, estc2+b2¡ triangle rectangle isocµele est

27q2¡50p3= 0.

Preuve :Une CNS pour queABCsoit rectangle isocµele enAestb¡a=§i(c¡a), soit (b¡a)2+ (c¡a)2= 0, dans la CNS a;b;cet de les remplacer parpetq; on aa2+b2+c2= (a+b+c)2¡2p=¡2pde sorte que la CNS soita=3q

3a2= 2pdevient 27q2¡50p3= 0.

3 x

2+y2+z2= 2

x

3+y3+z3= 2

x

4+y4+z4= 2

Preuve :Les relations de Newton donnent 2 =¾21¡2¾2=¾31¡3¾2¾1+ 3¾3=¾41¡4¾2¾21+ 4¾3¾1+ 2¾22soit

1(¾31=6¡2¾1+8=3) = 0. Les

2=¡1;1;7 et¾3= 2;0;¡6. Les

triplets (x;y;z) sont alors les racines des polyn^omes X

3¡X¡2,X3¡2X2+X,X3+ 4X2+ 7X+ 6.

Exercice 6.

Soienta1;¢¢¢;andes nombres strictement positifs; montrez que(a1¢¢¢an)1=n·a1+¢¢¢+an

n tous les polyn^omes µa coe±cients lna1+¢¢¢+lnan n

·lna1+¢¢¢+an

n . On P(X) =Xn¡¾1Xn¡1+¢¢¢+(¡1)n¾n, soit (¾2n)1=n·¾21¡2¾2 n

·3=n,

soit n·3. Une inspection cas par cas donneX§1,X2§X¡1,X3+X2¡X¡1 etX3¡X2¡X+ 1.

Exercice 7.

n, on notejjPjj=janj+¢¢¢+ja0j;jj jjest une norme surCn[X]. (i)

Pourz2C, une racine deP, montrez quejzj ·jjPjj

janj. (ii) que pour tout² >0, il existek0tel que pour toutk¸k0, il y a au moins pracines dePkdans la boule de centrezet de rayon². a nzn=¡(an¡1zn¡1+¢¢¢+a0) janjjzjn·(Pn¡1 i=0jaij)jzjn¡1· jjPjj jzjn¡1et donc jzj ·jjPjj janj. jjPkj a Mtel

0 et de rayon

zet de rayon², est de cardinalp. On raisonne par l'absurde et supposons que pour toutk02N, il existek¸k0tel que le cardinal I kest peut extraire une sous-suite (PÃ(k))k2Ntelle que p·i·njz¡xÃ(k);ij ¸²

La suite

((xÃ(k);1;¢¢¢;xÃ(k);n))k2Nprend ses valeurs dans le compactKn. Quitte µa en extraire une sous-suite, on

peut supposer que pour tout

1·i·n,xÃ(k);iconverge versyi. En particulier pour tout

p·i·n,jyi¡zj ¸².

OrPÃ(k)(X) =aÃ(k);nQn

i=1(X¡xÃ(k);i) converge vers

P(X) =anQn

i=1(X¡yi) ce qui fournit la contradiction.

Exercice 8.

Montrez que l'ensemble des matrices complexe µa valeurs propres distinctes, est un ouvert connexe de

l'ensemble des matrices. A (Si en n det(P1z+ chemin qui relie P

2dansGLn(C).

n 4 Exercice 9.SoitP2Z[X],P=a0+a1X+¢¢¢+adXd, avecad6= 0,®iles racines deP. On pose: sepP= inf® i6=®jj®i¡®jj:

En posant

C=jadj+ sup1·i·d¡1jaij, montrez que pour

d¸3: sepP¸(2C)¡d(d¡1) 2 +1:

Preuve :(a) Supposons d'abord que les racines dePsont simples. On peut supposer, quitte µa changer les indices,

que sepP=j®1¡®2j. Soit D(P)2Zle discriminant deP. On a donc 1· jD(P)jpuisque les racines sont simples par hypothµese et

1· jadj2d¡2Y

i