Chapitre 3 - Racines dun polynôme
Le seul polynôme ayant une infinité de racines est le polynôme nul. En particulier an1est l'opposé de la somme des racines et (1)na0 est le produit des ...
Chapitre 12 : Polynômes
7 feb 2014 Cette somme de polynômes est associative ((P+Q)+R = P+(Q+R)) ... Soit P ? K[X] et x ? K. On dit que x est une racine du polynôme P si ...
Relations entre racines et coefficients dun polynôme du second degré
Sans calculer ses racines on sait que leur somme vaut S = 5 et que leur produit vaut P = 6. Si l'on remarque que 2 est racine
Rappel. Le polynôme caractéristique dune matrice carrée A est det
17 dic 2012 Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique. Définition. On appelle la trace de A la somme des ...
Compléments sur les polynômes Formule de Taylor
4 Factorisation. Factorisation sur C. Somme et produit des racines. Factorisation sur R. Théorème de Rolle et polynômes. 5 Formule de Taylor-Lagrange.
02.Exercice 7 moyenne des racines dun polynôme et de sa dérivée
POLYNOMES 2 HEC.ESCP Soit P un polynôme appartenant `a Rn[X] de degré n
POLYNÔMES
Théorème (Identification des coefficients) Deux polynômes sont égaux si et (somme des racines) et ?1?2 = a0 a2. (produit des racines). • Polynômes de ...
Polynômes
24 gen 2022 La formule de degré de la somme n'est pas une égalité dans le cas ... Proposition (Somme et produit des racines d'un polynôme scindé).
Polynômes
Trouver les racines dans C du polynôme X4 + 12X ? 5 sachant qu'il possède deux racines dont la somme est 2. Exercice 65 [ 02177 ] [Correction]. Donner une
Mon Cours de Maths
6/ Factorisation d'un polynôme. 7/ Donner un polynôme d'après ses racines. 8/ Somme et produit des racines. III/ Le signe d'un polynôme du second degré.
[PDF] Chapitre 3 - Racines dun polynôme
On dit que a est une racine de A si l'application polynomiale A : K ! K x 7 ! A(x) s'annule en a : A(a)=0 Proposition 3 5 Soient A un polynôme de
[PDF] Relations entre racines et coefficients dun polynôme du second degré
ax2 ?aSx +aP où S est la somme et P le produit des deux racines on a alors : S = ? b a et P = c a Utilisation : L'équation x2 ?5x +6 a deux racines
[PDF] Polynômes - Exo7 - Cours de mathématiques
partie 3 Racine d'un polynôme factorisation Tout polynôme de degré n admet n racines complexes Tout polynôme est donc une somme finie de monômes
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7 fév 2014 · Cette somme de polynômes est associative ((P+Q)+R = P+(Q+R)) commutative (P + Q = Q + P) admet pour élément neutre le polynôme nul (noté
Relations entre coefficients et racines dun polynôme de K[X] scindé
On peut trouver des relations entre les coefficients d'un polynôme scindé et ses racines Par exemple si l'on a un polynôme de degré 2 scindé dans K [ X ]
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Les degrés de la somme et du produit de deux polynômes s'expriment en fonction Définition 3 20 Un scalaire r ? K est dit racine ou zéro d'un polynôme P
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Si ? = 0 : une racine réelle double x0 = -b 2a Si ? < 0 : deux racines complexes 1 / 5 Isabelle Gil - Racines d'un polynôme
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notion de polynôme irréductible puisqu'on s'intéresse aux racines exemple: calculer une somme de tangente équations dont les racines forment un
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Trouver les racines dans C du polynôme X4 + 12X ? 5 sachant qu'il possède deux racines dont la somme est 2 Exercice 65 [ 02177 ] [Correction] Donner une
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racines des polynômes dérivés ? Utiliser les coefficients d'un polynôme scindé pour calculer la somme ou le produit de ses racines
Comment calculer la somme des racines ?
Si le trinôme ax2+bx+c admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme S et leur produit P vérifient : S=a?b et P=ac.Comment déterminer la somme des racines d'un polynôme de degré 3 ?
Recherche de racine(s) et signe d'un polynôme : Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée ? qu'on appelle le discriminant. ? = b² - 4ac.Comment calculer les racines d'un polynôme ?
– Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ? K est appelé un polynôme constant. Si a0 = 0, son degré est 0.
Exemple : Le polynôme caractéristique de
a b c d est ab c d = (a)(d)cd=2(a+d)+adbc:§7.7 Trace, déterminant et valeurs propres
Rappel. Les valeurs propre d"une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique. Définition. On appelle latrace de Ala somme des éléments sur la diagonale. Définition. On appelle latrace de Ala somme des éléments sur la diagonale.Exemples.tra b
c d =a+d,tr0 1 11 tr 0 @1 2 3 21 00 2 41
A Théorème.La trace deAest égale à la somme des valeurs propres deAet le déterminant deAest le produit des valeurs propres deA.Proof. Dans le casA=a b
c d ,det(A) =adbc,tr(A) =a+d et2(a+d)+adbc=det(AI) = (1)(2) =212+12=2(1+2)+12:
Donc1+2=a+d=tr(A)et12=adbc=det(A). Le
cas général se démontre de manière similaire. §7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
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1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
§7.8. Théorème de Caylay-Hamilton, calcul deA1. Théorème.Pour le polynôme caractéristique d"une matriceA, si l"on substituepar la matriceA, on obtient une expression matricielle qui est la matrice des zéros.Exemple. SoitA=1 2 3 4 . Alors det(AI) =2tr(A)+det(A) =252.Le Théorème de Caylay-Hamilton affirme queA25A2Idoit êtrela matrice zéro, c"est-à-direA25A2I=0:Vérifier-le!A quoi ça sert?Ca aide a calculer
1. la matrice inverseA1: PuisqueA25A2I=0, on a
A25A=2I, etA(A5I) =2I. DoncA12
(A5I) =I. Donc A 1=12 (A5I).2. les puissances :A3=A2A= (5A+2I)A=5A2+2A==5(5A+2I) +2A=27A+10I, etA
4==145A+52I.
Retour à la diagonalisation
A quoi ça sert de diagonaliser une matrice? c"est-à-dire exprimerAsous la formePMP1avecMdiagonale?Ça sert en particulier de faciliter le calcul d"une puissance de la
matrice, par exempleA3=PM3P1. A quoi ça sert de calculer des puissances d"une matrice? Ça sert par exemple de calculer le cumul d"intérêt : Avecneuros de capital, et 0;3%d"intérêt annuel, comment calculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans? Avecxeuros d"action A etyeuros d"actionB, les valeurs après un an sontx+0;3yet 0;25x+yrespectivement. Comment calculer les valeurs après 3 ans, après 10 ans?Retour à la diagonalisation
A quoi ça sert de diagonaliser une matrice? c"est-à-dire exprimerAsous la formePMP1avecMdiagonale?Ça sert en particulier de faciliter le calcul d"une puissance de la
matrice, par exempleA3=PM3P1. A quoi ça sert de calculer des puissances d"une matrice? Ça sert par exemple de calculer le cumul d"intérêt : Avecneuros de capital, et 0;3%d"intérêt annuel, comment calculer le capital au bout de 3 ans, de 10 ans? Avecxeuros d"action A etyeuros d"actionB, les valeurs après un an sontx+0;3yet 0;25x+yrespectivement. Comment calculer les valeurs après 3 ans, après 10 ans?Critères de diagonalisabilité
Théorème 1 (facile)Sitoutes les racines du p olynôme caractéristique deAsont simples, alorsAest diagonalisable. (sinon,Apeut être ou ne pas être diagonalisable).
Théorème 2 (difficile)SiAest une matriceréelle et symétrique , alors toutes les valeurs propres deAsont réelles etAest diagonalisable. Exo. Pour chacune des trois matrices suivantes, déterminer si elle est diagonalisable, et la diagonaliser si possible : 2 1 1 2 ;1 1 0 1 ;51 1 3 ;0 @2 0 0 1 3 12 8 11
A ;0 @1 0 0 1 3 12 8 11
A Pour 2 1 1 2 , on voit qu"elle est symétrique, donc par le théorème2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme
caractéristique21 1 2 = (1)(3). De là on voit qu"il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres...Pour 1 1 0 1 , on n"a qu"une seule valeur propre=1. Calculer une base de son sous espace propre :AI=0 1 0 0 . On trouve Ker(AI) =h~e1i. DoncP=~e1n"est pas une matrice carrée.A n"est pas diagonalisable.Pour 511 3 , le polynôme caractéristique est(4)2. Donc 4 est une valeur propre double. Son sous espace propre est de dimension un.An"est pas diagonalisable. Pour 2 1 1 2 , on voit qu"elle est symétrique, donc par le théorème
2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme
caractéristique21 1 2 = (1)(3). De là on voit qu"il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres...Pour 1 1 0 1 , on n"a qu"une seule valeur propre=1. Calculer une base de son sous espace propre :AI=0 1 0 0 . On trouve Ker(AI) =h~e1i. DoncP=~e1n"est pas une matrice carrée.A n"est pas diagonalisable.Pour 511 3 , le polynôme caractéristique est(4)2. Donc 4 est une valeur propre double. Son sous espace propre est de dimension un.An"est pas diagonalisable. Pour 2 1 1 2 , on voit qu"elle est symétrique, donc par le théorème
2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme
caractéristique21 1 2 = (1)(3). De là on voit qu"il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres...Pour 1 1 0 1 , on n"a qu"une seule valeur propre=1. Calculer une base de son sous espace propre :AI=0 1 0 0 . On trouve Ker(AI) =h~e1i. DoncP=~e1n"est pas une matrice carrée.A n"est pas diagonalisable.Pour 511 3 , le polynôme caractéristique est(4)2. Donc 4 est une valeur propre double. Son sous espace propre est de dimension un.An"est pas diagonalisable. Pour 2 1 1 2 , on voit qu"elle est symétrique, donc par le théorème
2, elle est diagonalisable. On peut aussi calculer son polynôme
caractéristique21 1 2 = (1)(3). De là on voit qu"il y a deux valeurs propres distinctes. On peut donc appliquer Théorème 1 pour conclure que la matrice est diagonalisable. On peut bien sur commencer à chercher les vecteurs propres...Pour 1 1 0 1 , on n"a qu"une seule valeur propre=1. Calculer une base de son sous espace propre :AI=0 1 0 0 . On trouve Ker(AI) =h~e1i. DoncP=~e1n"est pas une matrice carrée.A n"est pas diagonalisable.Pour 511 3 , le polynôme caractéristique est(4)2. Donc 4 est une valeur propre double. Son sous espace propre est de dimension un.An"est pas diagonalisable. Pour 0 @2 0 0 1 3 1
2 8 11
A , son polynôme caractéristique est(2) (3)(1)8 .Il faut surtout garder le facteur (2), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3)(1)8. Donc les valeurs propres sont1=5,2=2 et
3=1.Pour trouver les vecteurs propres correspondants,
0 BBBBBB@1 0 0
0 1 0 24 013 0 0 0 0 1 13 12 1 C
CCCCCA;0
BBBBBB@0 0 0
1 0 00 1 00 01
19 19 13 8919 231
C
CCCCCA;0
BBBBBB@1 0 0
0 1 0 0 2 0 13 0 0 0 0 1 13 141C
CCCCCA
DoncA=PMP1, avecM=0
@5 0 0 0 2 0 0 011AetP=0
@0 3 0 13 1 2241A. Pour 0 @2 0 0 1 3 1
2 8 11
A , son polynôme caractéristique est(2) (3)(1)8 .Il faut surtout garder le facteur (2), on obtient que les valeurs propres sont 2 et les racines de (3)(1)8. Donc les valeurs propres sont1=5,2=2 et
3=1.Pour trouver les vecteurs propres correspondants,
0 BBBBBB@1 0 0
0 1 0 24 013 0 0 0 0 1 13 12 1 C
CCCCCA;0
BBBBBB@0 0 0
1 0 00 1 00 01
19 19 13 8919 231
C
CCCCCA;0
BBBBBB@1 0 0
0 1 0 0 2 0 13 0 0 0 0 1 13 141C
CCCCCA
DoncA=PMP1, avecM=0
@5 0 0 0 2 0 0 011AetP=0
@0 3 0quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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