Le second degré

Le second degré - Lycée dAdultes

3 Factorisation du trinôme somme et produit des racines. 3.1 Factorisation du trinôme. Si le discriminant est positif. Nous avons vu que le trinôme se.

Relations entre racines et coefficients dun polynôme du second degré

Sans calculer ses racines on sait que leur somme vaut S = 5 et que leur produit vaut P = 6. Si l'on remarque que 2 est racine

Sans titre

Mots-clés : équation somme et produit des racines d'un trinôme. Exercice A-3. Déterminer le signe de m² – 1 en fonction de m puis résoudre l'équation.

Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 +3x?5 car 2(1)2 +3(1)?5 = 0. dont la somme S est égale à 6 et dont le produit P est égal à 1

Compléments sur le calcul algébrique

Feb 27 2017 1.1 Somme et produit des racines. Propriété 1 : Si un trinôme T(x) = ax. 2. + bx + c admet deux racines

Chapitre 3 - Racines dun polynôme

racine de A si l'application polynomiale A : K ! K x 7 ! Pour k 2 {1

ÉQUATIONS – INÉQUATIONS– SYSTÈMES

Trouver les racines en utilisant la somme S et le produit P. alors le trinôme du second degré est du signe de a à l'extérieur des racines et.

Mathématiques - Pré-calcul secondaire 3 - Programme détudes

utiliser la somme et le produit de racines pour écrire l'équation quadratique Pour quelle valeur de k le trinôme x2 + 6x + k est un trinôme.

Le second degré - Lycée dAdultes

Oct 6 2015 Dans chaque cas

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3 Factorisation du trinôme somme et produit des racines 3 1 Factorisation du trinôme Si le discriminant est positif Nous avons vu que le trinôme se

Équations du second degré - Utiliser les propriétés sur la somme et

Démonstration : somme et produit des racines Si ? > 0 on note x1 et x2 les deux racines du polynôme Démontrer que la somme de x1 et x2 notée S vaut

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Dire que deux nombres réels ont pour somme S et pour produit P équivaut à dire qu'ils sont solutions dans R de l'équation du second degré : x2 ?Sx+P = 0

6 Expression de la somme et du produit des racines dun trinôme du

Calcul des racines d'un trinôme du second degré connaissant leur somme et leur produit Théorème 5 Soient x et y deux nombres réels dont la somme est égale

somme et produit des racines • équation du second degré ax²+bx+c

Soient x et y réels tels que {x+y=sxy=p où s et p sont des réels Montrer que x et y sont racines de X2?sX+p En déduire les solutions du système

Somme et produit des racines - Mathematiques faciles

Somme et produit des racines Soit le polynôme du second degré P(x)= ax²+bx +c où a est différent de 0 et abc sont des réels SI P admet deux racines

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Le polynôme A(x) = x² – 3x + 2 admet 1 pour racine Retrouver l'autre solution en utilisant la somme ou le produit des racines b Le polynôme B(x) = x² –

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ax2 ?aSx +aP où S est la somme et P le produit des deux racines on a alors : S = ? b a et P = c a Utilisation : L'équation x2 ?5x +6 a deux racines

[PDF] Chapitre 1 - ~ Analyse

Mots-clés : équation somme et produit des racines d'un trinôme Exercice A-3 Déterminer le signe de m² – 1 en fonction de m puis résoudre l'équation

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Le seul polynôme ayant une infinité de racines est le polynôme nul Pour k 2 {1··· n} on note ?k la somme des produits k `a k des racines de

Comment calculer la somme des racines d'un Trinome ?
Si le trinôme ax2+bx+c admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme S et leur produit P vérifient : S=a?b et P=ac.
Comment trouver les racines d'un Trinome ?
Si r 1 et r 2 sont les racines distinctes ou égales du trinôme T ( x ) = a x 2 + b x + c , celui se factorise ainsi : T ( x ) = a ( x ? r 1 ) ( x ? r 2 ) . Si le trinôme n'a pas de racine, il ne se factorise pas. Exemple générique. Pour factoriser le trinôme , on calcule ses racines.
Si nous avons un polynôme dont le coefficient dominant est 1 (donc il est en x2 seul) ou si nous nous y ramenons en mettant le coefficient en facteur, alors nous savons que : le coefficient de x est la somme de ses racines. le monôme constant est le produit de ses racines.

Table des matières

1 La forme canonique du trinôme

1.1 Le trinôme du second degré

1.2 Quelques exemples de formes canoniques

1.3 Forme canonique du trinôme

2 Racines du trinôme

2.1 Définition

2.2 Le discriminant est positif

2.3 Le discriminant est nul

2.4 Le discriminant est négatif

2.5 Conclusion

3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines

3.1 Factorisation du trinôme

3.2 Somme et produit des racines

3.3 Application

4 Signe du trinôme et inéquation du second degré

4.1 Le discriminant est positif

4.2 Le discriminant est nul ou négatif

4.3 Conclusion

5 Représentation du trinôme

6 Équation paramètrique

7 Équation ou inéquation se ramenant au second degré

7.1 Équation rationnelle

7.2 Inéquation rationnelle

7.3 Équation bicarrée

7.4 Équation irrationnelle

7.5 Somme et produit de deux inconnues

8 Quelques problèmes résolus par une équation du second degré

8.1 Problème de résistence équivalente

8.2 Un problème de robinet

8.3 Une histoire de ficelle

19 Paul Milan 1 sur21 Première S

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

1Laformecanoniquedutrinôme

1.1Letrimômeduseconddegré

Définition 1 :

On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynômeP(x), à coefficients réels, de la forme : P(x)=ax2+bx+caveca,0Exemples : Les trois polynômes suivants sont des trinômes P

1(x)=x2+2x8

2(x)=2x2+3x14

3(x)=x2+4x5

1.2Quelquesexemplesdeformescanoniques

La forme canonique d"un trinôme est une forme à partir de laquelle on peut savoir si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme est obtenue à partir d"une "astuce" qui consiste à rajouter un terme

puis à l"oter de façon à obtenir le début d"un carré parfait.Exemple1 : SoitP1(x)=x2+2x8

Les deux premiers termes sontx2+2xqui est le début de (x+1)2=x2+2x+1. On ajoute1puis on le soustrait, ce qui donne : P

1(x)=x2+2x+118

=(x+1)29forme canonique deP1(x) on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =(x+1)232 =(x+13)(x+1+3) =(x2)(x+4)Exemple2 : SoitP2(x)=2x2+3x14 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici2. P

2(x)=2

x 2+32 x7!Paul Milan 2 sur21 Première S

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

on considère que x 2+32 x! est le début de x+34 2 =x2+32 x+916

Cela donne :

=2 x 2+32 x+916 916
7! =2266664 x+34 2 916

7377775

=2266664 x+34 2 12116
3

77775forme canonique deP2(x)

on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =2266664 x+34 2 114

2377775

=2 x+34 114
x+34 +114
=2(x2) x+72 !Exemple3 : SoitP3(x)=x2+4x5 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici1. P

1(x)=x24x+5

on considère que x24xest le début de(x2)2=x24x+4. Cela donne : =x24x+44+5 =h(x2)24+5i =h(x2)2+1iforme canonique deP2(x) on ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés 1.3

Forme canonique du trinôme

Soit un trinôme du second degré :P(x)=ax2+bx+c

On factorise para, cela donne :

P(x)=a

x 2+ba x+ca !Paul Milan 3 sur21 Première S

2 RACINES DU TRINÔME

on considère quex2+ba xest le début de x+b2a! 2 =x2+ba x+b24a2.

Cela donne :

=a" x 2+ba x+b24a2! b24a2+ca =a266664 x+b2a! 2 b24a2+ca 3 77775
=a266664 x+b2a! 2 b24ac4a23

77775Théorème 1 :

La forme canonique d"un trinôme du second degré est de la forme :

P(x)=a266664

x+b2a! 2 b24ac4a23

77775Attention : Dans un cas concrêt, on n"utilise pas cette formule

un peu difficile à mémoriser, mais on retient l"astuce qui consiste à ajouter puis soustraire un terme comme nous l"avons vu dans les exemples précédents.

2Racinesdutrinôme

2.1Définition

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Comment calculer la somme des racines d'un Trinome ?

Comment trouver les racines d'un Trinome ?

Le second degré

Table des matières

1 La forme canonique du trinôme

1.1 Le trinôme du second degré

1.2 Quelques exemples de formes canoniques

1.3 Forme canonique du trinôme

2 Racines du trinôme

2.1 Définition

2.2 Le discriminant est positif

2.3 Le discriminant est nul

2.4 Le discriminant est négatif

2.5 Conclusion

3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines

3.1 Factorisation du trinôme

3.2 Somme et produit des racines

3.3 Application

4 Signe du trinôme et inéquation du second degré

4.1 Le discriminant est positif

4.2 Le discriminant est nul ou négatif

4.3 Conclusion

5 Représentation du trinôme

6 Équation paramètrique

7 Équation ou inéquation se ramenant au second degré

7.1 Équation rationnelle

7.2 Inéquation rationnelle

7.3 Équation bicarrée

7.4 Équation irrationnelle

7.5 Somme et produit de deux inconnues

8 Quelques problèmes résolus par une équation du second degré

8.1 Problème de résistence équivalente

8.2 Un problème de robinet

8.3 Une histoire de ficelle

19 Paul Milan 1 sur21 Première S

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

1Laformecanoniquedutrinôme

1.1Letrimômeduseconddegré

Définition 1 :

1(x)=x2+2x8

2(x)=2x2+3x14

3(x)=x2+4x5

1.2Quelquesexemplesdeformescanoniques

1(x)=x2+2x+118

2(x)=2

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

Cela donne :

7377775

77775forme canonique deP2(x)

2377775

1(x)=x24x+5

Forme canonique du trinôme

On factorise para, cela donne :

P(x)=a

2 RACINES DU TRINÔME

Cela donne :

77775Théorème 1 :

P(x)=a266664

77775Attention : Dans un cas concrêt, on n"utilise pas cette formule

2Racinesdutrinôme

2.1Définition