Le second degré - Lycée dAdultes
3 Factorisation du trinôme somme et produit des racines. 3.1 Factorisation du trinôme. Si le discriminant est positif. Nous avons vu que le trinôme se.
Relations entre racines et coefficients dun polynôme du second degré
Sans calculer ses racines on sait que leur somme vaut S = 5 et que leur produit vaut P = 6. Si l'on remarque que 2 est racine
Sans titre
Mots-clés : équation somme et produit des racines d'un trinôme. Exercice A-3. Déterminer le signe de m² – 1 en fonction de m puis résoudre l'équation.
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 +3x?5 car 2(1)2 +3(1)?5 = 0. dont la somme S est égale à 6 et dont le produit P est égal à 1
Compléments sur le calcul algébrique
Feb 27 2017 1.1 Somme et produit des racines. Propriété 1 : Si un trinôme T(x) = ax. 2. + bx + c admet deux racines
Chapitre 3 - Racines dun polynôme
racine de A si l'application polynomiale A : K ! K x 7 ! Pour k 2 {1
ÉQUATIONS – INÉQUATIONS– SYSTÈMES
Trouver les racines en utilisant la somme S et le produit P. alors le trinôme du second degré est du signe de a à l'extérieur des racines et.
Chapitre 12 : Polynômes
Feb 7 2014 De plus
Mathématiques - Pré-calcul secondaire 3 - Programme détudes
utiliser la somme et le produit de racines pour écrire l'équation quadratique Pour quelle valeur de k le trinôme x2 + 6x + k est un trinôme.
Le second degré - Lycée dAdultes
Oct 6 2015 Dans chaque cas
[PDF] Le second degré - Lycée dAdultes
3 Factorisation du trinôme somme et produit des racines 3 1 Factorisation du trinôme Si le discriminant est positif Nous avons vu que le trinôme se
Équations du second degré - Utiliser les propriétés sur la somme et
Démonstration : somme et produit des racines Si ? > 0 on note x1 et x2 les deux racines du polynôme Démontrer que la somme de x1 et x2 notée S vaut
[PDF] 2 Factorisation racines et signe du trinôme - Xm1 Math
Dire que deux nombres réels ont pour somme S et pour produit P équivaut à dire qu'ils sont solutions dans R de l'équation du second degré : x2 ?Sx+P = 0
6 Expression de la somme et du produit des racines dun trinôme du
Calcul des racines d'un trinôme du second degré connaissant leur somme et leur produit Théorème 5 Soient x et y deux nombres réels dont la somme est égale
somme et produit des racines • équation du second degré ax²+bx+c
Soient x et y réels tels que {x+y=sxy=p où s et p sont des réels Montrer que x et y sont racines de X2?sX+p En déduire les solutions du système
Somme et produit des racines - Mathematiques faciles
Somme et produit des racines Soit le polynôme du second degré P(x)= ax²+bx +c où a est différent de 0 et abc sont des réels SI P admet deux racines
[PDF] Calculer -b a et c a puis la somme et le produit des racines
Le polynôme A(x) = x² – 3x + 2 admet 1 pour racine Retrouver l'autre solution en utilisant la somme ou le produit des racines b Le polynôme B(x) = x² –
[PDF] Relations entre racines et coefficients dun polynôme du second degré
ax2 ?aSx +aP où S est la somme et P le produit des deux racines on a alors : S = ? b a et P = c a Utilisation : L'équation x2 ?5x +6 a deux racines
[PDF] Chapitre 1 - ~ Analyse
Mots-clés : équation somme et produit des racines d'un trinôme Exercice A-3 Déterminer le signe de m² – 1 en fonction de m puis résoudre l'équation
[PDF] Chapitre 3 - Racines dun polynôme
Le seul polynôme ayant une infinité de racines est le polynôme nul Pour k 2 {1··· n} on note ?k la somme des produits k `a k des racines de
Comment calculer la somme des racines d'un Trinome ?
Si le trinôme ax2+bx+c admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme S et leur produit P vérifient : S=a?b et P=ac.Comment trouver les racines d'un Trinome ?
Si r 1 et r 2 sont les racines distinctes ou égales du trinôme T ( x ) = a x 2 + b x + c , celui se factorise ainsi : T ( x ) = a ( x ? r 1 ) ( x ? r 2 ) . Si le trinôme n'a pas de racine, il ne se factorise pas. Exemple générique. Pour factoriser le trinôme , on calcule ses racines.- Si nous avons un polynôme dont le coefficient dominant est 1 (donc il est en x2 seul) ou si nous nous y ramenons en mettant le coefficient en facteur, alors nous savons que : le coefficient de x est la somme de ses racines. le monôme constant est le produit de ses racines.
Chapitre3
Racinesd'unpolynˆom e
3.1Fonction polynˆome
D´efinition3.1SoitA=a
0 +a 1X+···+a
n X n unp olynˆomedeK[X].Onappellefonction polynˆomeassoci´ee`aAl'application A:K!Kqui`ato utxdeKfaitcorre spondrel'´el´ementA(x)=a
0 +a 1 x+···+a n x n deK. Remarque.Commeonleverra plu sloin, laconfusionentreu npolynˆomeets afonction polynˆomeassoci´een'a,dan slecaso`ulecorpsKestinfini(etdoncenp articulier lorsqu eK=R ouC)pas decons´ equenc efˆacheuse.Danslapratique,onconfondra doncsouventAet A. C'estparcontretout autrec hoselorsqueKestuncorps fini.Par exemple,siK=Z/2Z,le polynˆomeA=X+X 2 n'estpasnul(tous sescoe cientsnesontpasnuls )etpour tantlafonc tion polynˆomeassoci´eex7!x+x 2 estlafonc tionnul le...Proposition3.2Soient(A,B)2(K[X])
2 et2K.Ona• A+B= e A+ eBet•
g AB= e A e B. D´emonstration:Celar´esulte demani`ereimm´ediatedesd´ efiniti onsdesop´erationssurlesSch´emadeH¨orner
Gardonslesnotations pr´ec´ede ntesete
ectuonslecalculdeA(a)pou runcertain a2K.Leco ˆutenmultiplicat ionsdu calculdea
0 +a 1 a+···+a n a n parlam´ ethod e"naturelle»est den1mu ltiplicationspourcalculerlespuissancesa 2 ,···,a n ,plusnmultiplicationspour calculerlestermesa 1 a,···,a n a n ,soi tautotal2n1.Les ch ´emadeH¨ornerconsiste `acalculer successivement p n =a n a n p n1 =(a n1 +p n )a=a n1 a+a n a 2 p 2 =(a 2 +p 3 )a=a 2 a+a 3 a 2 +···+a n a n1 p 1 =(a 1 +p 2 )a=a 1 a+···+a n a n etenfin A(a)=a 0 +p 1 ,ce quifai tseulemen tnmultiplications. Th´eor`eme3.3(FormuledeTaylor) Onsuppose lecorpsKdecar act´eristiquenulle 1 .Pour toutpolynˆ omeA= n X k=0 a k X k ett outscalair eadeK,ona:A(X)= n X k=0 A (k) (a) k! (Xa) k1.Cett ehypoth`esen'es tl`aquepourgarantirquel'onpuissedivi serparlesk!.Q,RetCsontdescorpsde
caract´eristiquenulle. 1718CHAPITRE3.RACINESD'UNP OLYN
OMED´emonstration:
EcrivonsA(X)=
n X k=0 a k (Xa+a) k .Siond´ eve loppechaqueterme(Xa+a) k parlaf ormuled ubinˆome(Xa+a) k k X i=0 k i a ki (Xa) i ,onobt ient,enr´eordonnantsuiv ant lespuissa ncesde(Xa), A(X)= n X k=0 b k (Xa) k avecdesc oe cientsb k quel'onva explicite rautrem ent. OnaA (0) (a)=A( a)=b 0 et,pour`2[[1,n]],parlin´ earit´e delad´erivation`al'ordre` A (X)= n X k=0 b k (Xa) k `1 X k=0 b k (Xa) k |{z} =0 n X k=` b k (Xa) k n X k=` b k k(k1)···(k`+1)( Xa) k` =b n X k=`+1 b k k(k1)···(k`+1)( Xa) k` En´eval uantcettequantit´eena,nou sobtenonsA (a)=b `!c'est`adireb A (a)·On
trouvedoncbienfin alementA(X)= n X k=0 A (k) (a) k! (Xa) kExemple.PourA=X
3 +Xeta=1on obti ent :X 3 +X=2+4( X1)+3(X1) 2 +(X1) 3 Remarque.Lasp ´ecificit´edecetteformuledeTaylordansl ecaspoly nomialestqu'iln'y apas derest e. Exercice3.1TrouverunpolynˆomeA2R[X]ded egr´ein f´erieurou´egal`at roistelqueA(0)=0 etA(1)=A 0 (1)=A 00 (1)=2.3.2Racines, ordred'uneracine
D´efinition3.4SoientAunpo lynˆomedeK[X]etaun´e l´ementdeK.Onditqueaestune racinedeAsil'applic ationpolynomialeA:K!K,x7!A(x)s'annuleena:A(a)=0. Proposition3.5SoientAunpoly nˆomedeK[X]etaun´e l´ementdeK.aestune racinedeA siet seulement siXadiviseA. D´emonstration:SupposonsqueXadiviseA,soitA=(Xa)Q.Onobti entauss itˆotA(a)=(aa)Q(a)=0.
R´eciproquement,supposonsqueA(a)=0. Onp eut fairela divisioneucl idiennedeApar Xa: A=Q(Xa)+R ,o `ulede gr´edeRest strict ementinf´erieu r`a1=d eg( Xa)don cRestune constantec.En ´evaluan tcetterelationena,onob tie nt0=A(a)=c.Ain si,A=(Xa)Qet3.2.RACI NES,ORDRED'UNERACINE19
Remarque.Lad´ emonstrationmetenlumi`erelefaitquel erestedans ladivi sioneuclidienne deApar Xan'estautrequeA(a).Exemple.Ilex isteQtelqueX
4 2X 3 +X 2X2=(X2)Qcar2 estraci ned e
X 4 2X 3 +X 2X2.On trouveX
4 2X 3 +X 2X2=(X2)(X
3 +X+ 1). Proposition3.6Unpoly nˆomenonnuldedegr´endeK[X]aauplusnracinesdistinctes. D´emonstration:Par r´ecu rrencesurn.Pou rn=0,u npol ynˆomec onstantnonnulposs`ede´evidemmentz´eroracine.
Soitnfix´e,supposonsler ´esultatvraipourlespolyn ˆomesde degr´en;soi tmaintenant Aun polynˆomededegr´en+1. SiA n'aaucu ner acine,ler´ esultatestvraipou rA;sinonsoitaune racinedeA;parlapr opositi onpr´ec ´edent eonpeut ´ecrireA=(Xa)Qpouru npolynˆomeQ , quiestcl airementde degr´en.Mai ntenant,sibestuneraci nedeA,alors0 =A(b)=(ba)Q(b) doncb=aoubestunerac inedeQ(onu tilisel'hypoth` esed'i nt´ egrit´e deK);orQaau plu sn Cons´equence.Lese ulpolynˆomeay antuneinfinit´ederacine sestlepolynˆom enul. Exercice3.2Onsupp oselecorpsKinfini.Montrerquesid euxpolynˆomesdeK[X]d´efi nissent lamˆem efonctionpolynˆomed eKdansKalorsilsson t´egaux.D´efinition3.7SoientA2K[X],r2N
eta2K.Onditqueaestracin ed'ordrerdeAs'il existeunpolynˆ omeQtelqueA=(Xa) rQavecQ(a)6=0.Autrementdit,aestraci ned'ordre
rdeAsiAestdivi siblepar(Xa) r maispas par(Xa) r+1Vocabulaire
Uneracin eestditesimplesielle estd'ordre1,doublesielle estd'ordre2,.. . D'unemani`ereg´e n´erale,l'entierrestappel´e ordredemultipl icit ´edelarac ine.Exemple.A=X
5 9X 4 +25X3 9X 2
54X+54, a=3.
A=(X3)(X
4 6X 3 +7X 2 +12X18) =(X3) 2 (X 3 3X 2 2X+6) =(X3) 3 (X 2 2)3es tdoncracin ed'ordre3d upolynˆomeA.
Exercice3.3SoitAunpol ynˆ omenoncon stantdeK[X].Montrer quesia 1 ,···,a p sontdes racinesdeAd'ordresre spect ifs k 1 ,···,k p alorsAestdi vis iblepar(X a 1 k 1···(Xa
p kp End´ed uirequ'unpolynˆomenonnulde degr´endeK[X]aaupl us nracines(compt´eesave c multiplicit´e).Th´eor`eme3.8Soientr2N
,A2K[X]eta2K.aestracine d'ordrerdupol ynˆomeAsiet seulementsiA(a)=A
0 (a)=...=A (r1) (a)=0etA (r) (a)6=0. D´emonstration:Parlafor mulede Taylor,ennotantd=de gA,onaA= d X k=0 A (k) (a) k! (Xa) k •SiA(a)=...=A (r1) (a)=0etA (r) (a)6=0,on an´ ece ssai rementd>ret A= d X k=r A (k) (a) k! (Xa) k =(Xa) r d X k=r A (k) (a) k! (Xa) kr |{z} Q(X)20CHAPITRE3.RACINESD'UNP OLYN
OME etdoncaestracined 'ordrerdeApu isqueQ (a)= A (r) (a) r! 6=0. •R´eciproquement,siaestracined 'ordrerdeA,onad>ret: A= r1 X k=0 A (k) (a) k! (Xa) k |{z} R +(Xa) r d X k=r A (k) (a) k! (Xa) kr |{z} Q L'´ecritureci-dessusestcelle(u nique)deladivisioneuclidien nedeApar( Xa) r .Puisquequotesdbs_dbs8.pdfusesText_14[PDF] vincent niclo aimer est un voyage
[PDF] youtube vincent niclo dernier album
[PDF] youtube vincent niclo all by myself
[PDF] vincent niclo 5 ø titres
[PDF] vincent niclo ave maria
[PDF] ma vision du monde du travail
[PDF] atout professionnel exemple
[PDF] coefficient binomial exercice corrigé
[PDF] symbole somme clavier
[PDF] symbole somme powerpoint
[PDF] symbole somme excel
[PDF] symbole produit
[PDF] symbole somme exercices
[PDF] répondre aux critiques