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Math´ematiques- ECS18

Formule du binˆomeLyc´eeLaBruy`ere

30avenue deParis

78000 Versailles

c

2017, Polycopié du cours de mathématiques de première année.

8

Formule du binôme.8.1 Objectifs

Coecients binomiaux, notation n

p! Formule du triangle de Pascal.En lien avec le programme de terminale, le nombre n p! sera introduit comme le nombre de chemins réalisantpsuccès pournrépéti- tions dans un arbre binaire.

Formules n

p! =n!p!(np)!. n p! = n np! et n p! =np n1 p1!

Formule du binôme de Newton donnant (a+

b)n.Lorsqueaetbsont strictement positifs, on pourra faire le lien avec la loiB(n;aa+b).8.2 Coefficients binômiaux

Définition 1.Soitn2Netk2Ntel que 0kn.

L"expression n

k! (lire "kparmin») désigne le nombre de chemins réalisantksuccès dans l"arbre obtenu pournrépétitions d"une épreuve à deux issues.Le nombre n k! est donc un entier naturel.

Exemple 1.

n 0! =1; n n! =1; n 1! =n; n n1! =nFormule de symétrie .Soitn2Netk2Ntel que 0kn. n nk! = n k!Formule de Pascal .Soitn2Netk2Ntel que 1kn. n k! = n1 k! + n1 k1!Triangle de Pascal.La formule de Pascal permet un calcul de proche en proche des coecients binômiaux : 2

8.3 Formule du binôme3n

n 0 n 1 n 2 n 3 n 4 n 511 1

21 2 1

31 3 3 1

41 4 6 4 1

51 5 10 10 5 1

8.3 Formule du binôme

On cherche une formule donnant le développement de (a+b)n. L "expression( a+b)nest le produit denfacteurs (a+b). Lors du dév eloppement,chacun de ces f acteurscontrib uesoit à la lettre a, soit à la lettreb. Le dév eloppementde ( a+b)nfait donc apparaître des termes de la formeakbnk: si kfacteurs (a+b) ont contribué à la lettrea, c"est que lesnkautres facteurs ont contribué à la lettreb. Pour obtenir une formule complète, il reste donc à compter le nombre de termes de la formeakbnkdans le développement. Le développement de (a+b)npeut être schématisé à l"aide d"un arbre.1 baba ababab abababab Désignons par " succès » l"apparition d"un facteuraet par " échec » l"apparition d"un facteurb. Un terme de la formeakbnkest obtenu en faisant le produit des lettres rencontrées en suivant un chemin réalisantksuccès dans l"arbre associé au développement de (a+b)n. Par définition, il y an

kchemins réalisantksuccès dans un tel arbre.Formule du binôme .Soientaetbdeux nombres complexes etnun entier naturel.

(a+b)n=n X k=0 n k! a kbnk:

4Formule du binôme.

En échangeant les rôles deaetb, on obtient aussi (a+b)n=n X k=0 n k! a nkbk:

Exemple 2.Aveca=1 etb=x, on obtient

(1+x)n=n X k=0 n k! x k donc n k! est le coecient du monômexkdans le polynôme (1+x)n.

Exemple 3.Aveca=1 etb=1, on obtient

2 n=n X k=0 n k!

Exemple 4.Aveca=1 etb=1 etn2N, on obtient

0=n X k=0(1)k n k!

Autre interprétation den

k

Soitn2Netk2~0;n.

Dans l"arbre desnrépétitions, un chemin menant àksuccès est déterminé en choisis- sant les rangs des épreuves pour lesquelles l"issue est un succès. Il y a donc autant de chemins menant àksuccès que de sous-ensemble de cardinalk de~1;n.Proposition 1.Le nombre n k! est le nombre de manières de choisir k éléments (d"un

seul coup donc sans ordre) dans un ensemble qui en contient n.Définition 2.SoitEun ensemble possédant un nombre fini d"éléments. Le nombre d"

éléments deEs"appelle cardinal deEet se note cardE.Proposition 2.Soit n2Net k2~0;n.

Un ensemble de cardinal n, possèden

ksous-ensembles de cardinal k. Le nombre total de sous-ensembles d"un ensemble de cardinal n estn X k=0 n k!

=2n.Formules de calcul des coecients binômiaux.Proposition 3.Soient n et p des entiers tels que0pn n

p! =n!p!(np)!

8.4 Exercices.5

ou encore n p! =n(n1):::(np+1)p!Formule d"absorption-extraction .Soientnetpdes entiers tels que 1pn n p! =np n1 p1!8.4 Exercices.

Exercice1.Calculer les e xpressionssui vants:

7 2! ; 6 4! ; 10 3! ; 9 7! 5 2 6 3 ; 7 5! 5 3! 3

1!Exercice2.Montrer que pour tout entier n3;n+2

3n

3=n2Exercice3.Quel est le coe cient dex9dans le polynôme112

x

13?Exercice4.Soient metndeux entiers positifs non nuls. On appelle chemin du plan toute

suite de déplacements d"une unité vers la droite ou vers le haut. Combien de chemins

du plan mènent de l"origine (0;0) au point (m;n)?Exercice5.Soient netkdes entiers tels que 1kn. Montrer que

k n k! =(nk+1) n k1!Exercice6.Soient netrdeux entiers tels quen>r1. Montrer que n1 r1! n r+1! n+1 r! = n1 r! n r1! n+1 r+1!

6Formule du binôme.Exercice7.Soient netkdes entiers positifs tels quekn1:Montrer que

1 n+1 k +1 n+1 k+1 =n+2(n+1)n kExercice8.Dans un jeu de 32 cartes, on appelle main un sous-ensemble formé de huit cartes. - Combien de mains ne comportant pas l"as de pique peut on former? - Combien de mains comportant au moins un as peut-on former?

- Combien de mains comportant au plus un pique peut on former?Exercice9.Simplifier les sommes sui vantes:

7 X k=02 k 7 k! ;12 X k=0i k3k2 12 k! ;15 X k=0(1)k 15 k! e 2ik3 Exercice10.Soit x2R. Linéariser cos6x:Exercice11.Soit n2Net2R. Simplifier la sommen X k=0 n k! cos(k).Exercice12.Montrer l"ég alité: 2n n=22n2n1X k=0 2n k!Exercice13.Montrer que pour tout entier n3, X

0knkpair

n k! =X

0knkimpair

n k!Exercice14.Soit n2N. Montrer quen X k=1k

2= n+1

2! +2n X k=2 k 2!

8.4 Exercices.7Exercice15.Soit ( an) une suite arithmétique. Montrer que pour tout entiern3

n X k=0(1)k n k! a k+1=0:Exercice16.Montrer pour tout entier n2, l"inégalité4nn+1 2n n!Exercice17.Soient netpdes entiers positifs tels quen1 et 0pn. Montrer que pX k=0(1)k n k! =(1)p n1 p!Exercice18.En calculant (1 +i)npourn2N;n1, déterminer pourp2Nles valeurs des sommes suivantes pX k=0(1)k 2p 2k! ;p1X k=0(1)k 2p

2k+1!Exercice19.Pour n2N, on pose!=e2in

. Calculer la somme double : n1X p=0n1X q=p q p! p+qExercice20.Montrer que quelque soient les entiers naturels i;k;n n i! i k! = n k! nk ni! lorsque les coecients ci-dessus sont définis. En déduire la somme double n X k=0n X i=k n i! i k! :Exercice21.Déterminer la suite ( an) pour laquelle

8n2N;n

X k=1 n k! a k=nn+1

8Formule du binôme.Exercice22.Soit n2Ntel quen2. Simplifier les sommes suivantes :

S 1=n X k=01k+1 n k! ;S4=p X k=0 n k! m pk! S 2=n X k=02 kk+1 n k! ;S5=r X k=0 n+k k! S 3=n X k=11(2k1)!(2n2k+1)!;Exercice23.Soit n2N. Simplifier la sommen X k=0 n k 2n1 kExercice24.Soit 2Retn2N. En combinant les formules de Moivre et du binôme,

exprimer le polynômeTntel queTn(cos)=cosn.Exercice25.Pour n2, calculer (1+1)n;(1+j)net (1+j2)nde deux façons diérentes.

En déduire les sommes

[n=3]X k=0 n 3k! ;[(n1)=3]X k=0 n 3k+1! ;[(n2)=3]X k=0 n

3k+2!Exercice26.A partir de n1X

k=0(1t)k, montrer quen X i=1(1)i1 n i! 1i =n X i=11i

Exercice27.Pour tout n2N;on poseSn=b

n2 cX k=0(1)k nk k! (1)

Montrer que, pour tout n2N;Sn+1=SnSn1.

(2) Etablir que la suite ( Sn) est périodique de période 6.Exercice28.Soit x2i2 ;2 hetn2N. Montrer que cosnxcos n(x)=b n2 cX k=0(1)k n 2k! (tanx)2ketsinnx(cos n(x)=b n12 cX k=0(1)k n 2k+1! (tanx)2k+1

8.5 Indications pour les exercices9Exercice29.Soit x2Retm2N:Montrer que

2

2m(cosx)2m= 2m

m! +2m1X k=0 2m k! cos(2(mk)x) et 2

2m(sinx)2m= 2m

m! +2m1X k=0(1)m+k 2m k! cos(2(mk)x)

Trouver des formules analogues pour 2

2m(cosx)2m+1et 22m(sinx)2m+1Exercice30.Soit x2Retn2N:Montrer que

(1+x2)n=0

BBBBBBB@b

n2 cX p=0(1)p n 2p! x n2p1CCCCCCCA2 +0quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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