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UCBL { L1 PCSI { UE Math 2

Fonctions de plusieures variables

et champs de vecteurs

Alessandra Frabetti

Institut Camille Jordan,

Departement de Mathematiques

Universite Claude Bernard Lyon 1

But du cours:

Champs scalaires

(lignes de niveau)Champs de vecteurs (ici, sur la sphere)Lignes de champ (dipole magnetique)et aussi potentiels, circulation, ux...

Programme et plan des cours

Partie I : Fonctions de plusieures variables

CM 1 {Coordonnees, ensembles compacts

CM 2 {Fonctions, graphes, operations

CM 3 {Derivees partielles, gradient, dierentielle

CM 4 {Jacobienne, regle de la cha^ne

CM 5 {Derivees secondes, Hessienne, Laplacien, Taylor, extrema

CM 6 {Integrales simples et doubles

CM 7 {Integrales triples. Aire, volume, centre de masse

Partie II : Champs de vecteurs

CM 8 {Champs scalaires et champs de vecteurs

CM 9 {Champs conservatifs

CM 10 {Champs incompressibles

CM 11 {Courbes et circulation

CM 12 {Surfaces et

ux

Prerequis

1.Espaces vectoriels et vecteurs deR2etR3

(produits scalaire, vectoriel et mixte).

2.Applications lineaires et matrices

(produit, determinant, matrice inverse).

3.Geometrie cartesienne du plan et de l'espace

(droites, coniques, plans, quadriques).

4.Derivees et integrales des fonctions d'une variable

(graphes, derivees, points critiques, extrema, Taylor, primitives). 5.

Equations dierentielles du 1er ordre.

Math2 { Chapitre 1

Fonctions de plusieures variables

Dans ce chapitre:

1.1 { Co ordonneesca rtesiennes,p olaires,cylindriques et sph eriques 1.2 {

Ensembles ouverts, ferm es,b orneset compacts

1.3 {

F onctionsde deux ou trois va riables

1.4 {

Graphes et lignes de niveau

1.5 { Op erations,comp ositionet changements d eco ordonnees

1.1 { Coordonnees polaires, cylindriques, spheriques

Dans cette section:

Coordonnees cartesiennes et polaires du plan

Coordonnees cartesiennes, cylindriques et spheriques de l'espace

Coordonnees cartesiennes du plan

On notepO;~;~qun repere~

i~ j

Odu plan.

Denition {SoitPun point du plan.

Lecoordonnees cartesiennesdePsont le couplepx;yq PR2 tel que ~vÝÑOPx~y~x y

Autrement dit,

x }ÝÝÑOP1}ety }ÝÑOP2} sont les longueurs des projections orthogonales de ~vdans les direc- tions ~et~. O~ v P P 1 P 2xy

Coordonnees polaires

Lescoordonnees polairesdePOsont le couple

p;'q PR r0;2rtel que"xcos' ysin' O P P 1 P 2xy'

On a donc

% }ÝÑOP} ax 2y2 't.q. tan'yx six0 ou cot'xy siy0par ex.'arctanyx six;y¡0

Exercice: coord. polairesÝÑcartesiennes

Enonce {Pour les points suivants du plan, dont on connait les coordonnes polaires, trouver les coordonnees cartesiennes : A "3 '5{4B"?2 '3{4C"0 '3{2Reponse {On dessine chaque point sur un plan, ensuite on calcule les coordonnees cartesiennes avec les formules: A# x3cosp5{4q 3?2 2 y3sinp5{4q 3?2 2 Ap3?2 2 ;3?2 2 q B# x?2cosp3{4q ?2 22
y?2sinp3{4q ?2 22

Bp1;1q

C"x0 cosp3{2q 0

y0 sinp3{2q 0Cp0;0q

Exercice: coord. cartesiennesÝÑpolaires

Enonce {Pour les points suivants du plan en coordonnes cartesiennes, trouver les coordonnees polaires : Ap2;3qBp2;0qCp0;3qReponse {On dessine chaque point sur un plan, ensuite on calcule les coordonnees cartesiennes avec les formules: A$ %?49?13 cos'2{?13 sin'3{?13 ?13 'arctan32 B$ %?402 cos'2{21 sin'0{20" 2 'arctan00 C$ %?093 cos'03 0 sin'331" 3 '{2

Coordonnees cartesiennes de l'espace

On notepO;~;~;~kqun repere~

i~ j~ kde l'espace.

Denition {SoitPun point de l'espace.

Lescoordonnees cartesiennesdePsont le tripletpx;y;zq PR3 tel que ~vÝÑOPx~y~z~k x y z

Autrement dit,

x }ÝÝÑOP1};y }ÝÑOP2}etz }ÝÑOP3} sont les longueurs des projections orthogonales de ~vdans les directions ~,~et~k:

Coordonnees cylindriques

Lescoordonnees cylindriquesdePOsont le triplet

p;';zq PR r0;2rRtel que %xcos' ysin' zzSipx;y;zq p0;0;0qon a donc '''% }ÝÑOQ} ax 2y2 'tel que#cos'x sin'y zz

Coordonnees spheriques

Lescoordonnees spheriquesdePOsont le triplet

pr;';q PR r0;2rs0;rtel que %xrcos'sin yrsin'sin zrcosSipx;y;zq p0;0;0qon a donc ''''''%r }ÝÑOP} ax 2y2z2 'tel que$ %cos'x?x 2y2 sin'y?x 2y2 arccoszax 2y2z2

Coordonnees de l'espace

Exercice: coord. cylindriquesÝÑcartesiennes

Enonce {Pour les points suivants, dont on connait les coordonnes cylindriques, trouver les coordonnees cartesiennes : A %3 '{3 z2B$ %?2 '{4 z 3Reponse {On dessine chaque point sur un plan, ensuite on calcule les coordonnees cartesiennes avec les formules: A$ %x3cosp{3q 32 y3sinp{3q 3?3 2 z2Ap32 ;3?2 2 ;2q B$ %x?2cosp{4q ?2 22
1 y?2sinp{4q ?2 22
1 z 3Bp1;1;3q

Exercice: coord. spheriquesÝÑcartesiennes

Enonce {Pour les points suivants, dont on connait les coordonnees spheriques, trouver les coordonnees cartesiennes : C %r?2 '{2 3{4D$ %r1 '{3 {6Reponse {On dessine chaque point sur un plan, ensuite on applique les formules: C$ %x?2 cosp{2qsinp3{4q 0 y?2 sinp{2qsinp3{4q 1 z?2 cosp3{4q 1Cp0;1;1q D$ %xcosp{3qsinp{6q 14 ysinp{3qsinp{6q ?3 4 zcosp{6q ?3 2Dp14 ;?3 4 ;?3 2 q

Exo: cartesiennesÑcylindriques et spheriques

Enonce {Pour les points suivants en coordonnees cartesiennes, trouver les coordonnees cylindriques et spheriques:

A p1;1;1qBp3;0;0qCp0;1;1qReponse {

A$ '%?11?2 tan' 1 r?111?3 cos1?3 ?3 3 %?2 '3{4 z1$ %r?3 '3{4 arccos?3 3 B$ '%?903 tan'03 0 r?9003 cos03 0$ %3 '0 z0$ %r3 '0 {2 C$ '''%?011 cos'0 sin'1 r?011?2 cos1?2?2 2$ %1 '{2 z1$ %r?2 '{2 {4

Notations des points

Conclusion {

Un point geometriquedu plan ou de l'espace est noteP.

Un point en coordonneesdansR2ouR3est note~x.

Cela signie doncpx;yq,p;'q,px;y;zq,p;';zqoupr;';q

selon le contexte. Dans la suiteRnest l'un des trois espacesR,R2ouR3.

1.2 { Ensembles ouverts, fermes, bornes, compacts

Dans cette section :

Intervalles, disques, boules

Bord d'un ensemble

Ensembles ouverts et fermes

Ensembles bornes et compacts

Intervalles

Denitions {

DansR, on appelle

intervalle ouvertIaprq sar;arr intervalle fermeI aprq rar;ars bord de l'intervalleBIaprq ar;ar(s|rrar ouvertr|srar ferme||| araarbord

Disques

DansR2, on appelle

disque ouvert D pa;bqprq px;yq | pxaq2 pybq2 r2( disque fermeD bord du disque(= cercle)

BDpa;bqprq px;yq | pxaq2 pybq2r2(

pa;bqpa;bqpa;bqrrr ouvertfermebord

Boules

DansR3, on appelle

boule ouverte B pa;b;cqprq px;y;zq | pxaq2 pybq2 pzcq2 r2( boule fermeeB bord de la boule(= sphere)BBpa;b;cqprq px;y;zq | pxaq2 pybq2 pzcq2r2(xyz

Bord d'un ensemble

Denition {SoitD€Rnun sous-ensemble.

Un pointPest unpoint interieuraD, s'il existe une boule ouverteBPcontenue dansD. Un pointPest unpoint exterieuraDil existe une boule ouverteBPqui n'intersecte pasD.

Un pointPPRnest unpoint du borddeDsi touteboule

ouverteBPcentree enPcontient a la fois des points deDet de son complementaireRnzD:

LeborddeDest l'ensemble

des points du bord, noteBD.

Attention {Un point deBD

peut ^etre dansDou non! bordinterieur exterieur

Ensembles ouverts et fermes

Denition {SoitD€Rnun sous-ensemble.

Destouverts'il ne contient aucunde ses points de bord.

Destfermes'il contient tousses points de bord.

ouvertferme Propriete {Le complementaire d'un ouvert est ferme, le complementaire d'un ferme est ouvert. Par convention, l'ensemble videHetRnsont a la fois ouverts et fermes dansRn.

Attention {Il existe

des ensembles qui ne sont ni ouverts ni fermes!ni ouvert ni ferme

Ensembles bornes et compacts

Denition {SoitD€Rnun sous-ensemble.

Destbornes'il existe un disque ouvertBqui le contient.

Destcompacts'il est ferme et borne.bornecompact

Exemples: non bornes fermes et ouverts

Exemples {

Droites, demi-droites, plans et demi-plans sont non bornes. Les droites et les plans sont fermes. Les demi-droites et les demi-plans sont fermes s'ils contiennent leurs point ou droite extreme.

Les quadrantsRRetRRsont non bornes.

Le premier est aussi ferme. Le deuxieme est ouvert dansR2mais ne l'est pas dansR3(car tout le quadrant est son propre bord dans R 3).R RRquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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