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4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/. Chapitre12 : Courbes d'équation La courbe d'équation polaire ? = f(?) dans R c'est.



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?. ??. Page 34. Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polaires. Propriétés métriques d'une courbe. Étude de la fonction f. Page 35. Étude et tracé 



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

des fonctions de deux variables le long de courbes : on parle d'intégrales plan`etes sur la sonde au cours de son trajet (ce calcul est — entre autre ...



Système de coordonnées

coordonnées cylindriques qui : ? Est similaire aux coordonnées polaires. ? Donne une description simple de nombreux domaines. (surfaces



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Courbes paramétrées V Borrelli Régularité • Dans ce cours on suppose que ? est Ck avec Une courbe paramétrée est dite POLAIRE si elle s'écrit sous



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Cours 1 : Courbes paramétrées V Borrelli Régularité Giuseppe C'est la courbe paramétrée plane ? définie en polaire par r(?) = aeb?

  • Qu'est-ce qu'une courbe polaire ?

    2 Les courbes en coordonnées polaires
    ? est alors le lieu des points définis par ?=f(?) lorsque ? varie. L'équation polaire d'une courbe n'a pas toujours une forme unique, par exemple : ?=1+cos(?) et ?=?1+cos(?) représente la même courbe en effet : ?=?1+cos(?)=?(1+cos(?+?)).

  • Comment tracer une courbe en coordonnées polaires ?

    Entrez une expression en ?, la courbe polaire correspondante se trace. Manipulez le curseur pour faire varier le point. Observez le vecteur vitesse, le repère mobile de la tangente et de sa normale, puis le cercle osculateur.

  • Comment calculer les coordonnées polaires ?

    Pour déterminer la coordonnée polaire, il faut déterminer le point de départ, soit le pôle. Ce point de départ est un peu comme l'origine d'un plan cartésien. Lorsque ce point a été établi, on détermine la valeur du rayon r en mesurant la distance entre le point de départ et le point que l'on veut situer.
  • Pour étudier une courbe d'équation y = f(x) (ou simplement étudier une fonction f), le schéma est le suivant : – On commence par chercher l'ensemble de définition de la fonction f. Eventuellement, si la fonction est paire/impaire, périodique, on peut restreindre l'intervalle d'étude.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Chapitre 2

Courbes en coordonnées

polairesSébastien Pellerin http://www.sebastien-pellerin.fr sebastien.pellerin@u-psud.frJanvier 2007

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Plan du chapitre

1Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polaires

2Propriétés métriques d"une courbe

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Plan du chapitre

1Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polaires

2Propriétés métriques d"une courbe

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires Tout point du plan peut être repéré par un système decoordonnées polaires: lerayon polaireρet l"angle polaireθ.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires Tout point du plan peut être repéré par un système decoordonnées polaires: lerayon polaireρet l"angle polaireθ.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires Tout point du plan peut être repéré par un système decoordonnées polaires: lerayon polaireρet l"angle polaireθ.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires Tout point du plan peut être repéré par un système decoordonnées polaires: lerayon polaireρet l"angle polaireθ.0~{~ j xy M

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires Tout point du plan peut être repéré par un système decoordonnées polaires: lerayon polaireρet l"angle polaireθ.0~{~ j xy M

Alors :

ρ=?x

2+y2,cosθ=xρ

et sinθ=yρ

Lorsquex?=0 alors on aθ=Arctanyx

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires

Notation

Pour toutθ?R, on considère la base orthonormale?--→u(θ),--→v(θ)? définie par?--→ u(θ) =cosθ-→ı+sinθ-→j=?cosθ sinθ??--→ v(θ) =-sinθ-→ı+cosθ-→j=?-sinθ cosθ?0 1--→v( )--→u( )

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires

Notation

Pour toutθ?R, on considère la base orthonormale?--→u(θ),--→v(θ)? définie par?--→ u(θ) =cosθ-→ı+sinθ-→j=?cosθ sinθ??--→ v(θ) =-sinθ-→ı+cosθ-→j=?-sinθ cosθ?0 1--→v( )--→u( ) En tant que fonction deθ, on a---→u?(θ) =--→v(θ).

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires

Définition

?Une courbeΓdu plan est définie en coordonnées polaires s"il existefetgtelles que les points deΓsoient les points de

coordonnées polaires?ρ=f(t),θ=g(t)?.?Le cas le plus fréquent est celui où il existeftelle que les points

deΓsoient les points de coordonnées polaires?f(θ),θ?. On dit alors queρ=f(θ)est uneéquation polairedeΓ.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires

Définition

?Une courbeΓdu plan est définie en coordonnées polaires s"il existefetgtelles que les points deΓsoient les points de

coordonnées polaires?ρ=f(t),θ=g(t)?.?Le cas le plus fréquent est celui où il existeftelle que les points

deΓsoient les points de coordonnées polaires?f(θ),θ?. On dit alors queρ=f(θ)est uneéquation polairedeΓ.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires

Définition

?Une courbeΓdu plan est définie en coordonnées polaires s"il existefetgtelles que les points deΓsoient les points de

coordonnées polaires?ρ=f(t),θ=g(t)?.?Le cas le plus fréquent est celui où il existeftelle que les points

deΓsoient les points de coordonnées polaires?f(θ),θ?. On dit alors queρ=f(θ)est uneéquation polairedeΓ.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires

Définition

?Une courbeΓdu plan est définie en coordonnées polaires s"il existefetgtelles que les points deΓsoient les points de

coordonnées polaires?ρ=f(t),θ=g(t)?.?Le cas le plus fréquent est celui où il existeftelle que les points

deΓsoient les points de coordonnées polaires?f(θ),θ?. On dit alors queρ=f(θ)est uneéquation polairedeΓ.Exemple Un cercle centré en O et de rayon R admetρ=R pour équation polaire.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires

Définition

?Une courbeΓdu plan est définie en coordonnées polaires s"il existefetgtelles que les points deΓsoient les points de

coordonnées polaires?ρ=f(t),θ=g(t)?.?Le cas le plus fréquent est celui où il existeftelle que les points

deΓsoient les points de coordonnées polaires?f(θ),θ?. On dit alors queρ=f(θ)est uneéquation polairedeΓ.Exemple Une droite passant par O est définie par une équationθ≡αmodπ.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Représentation d"une courbe en coordonnées polaires

Exemple

La courbeΓdéfinie parρ=θpourθ?[0,6π]est la suivante :0 2 2

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude locale d"une courbe

SoitΓd"équation polaireρ=f(θ)oùfest " suffisamment » dérivable. On noteM(θ)le point de coordonnées polaires?f(θ),θ?.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude locale d"une courbe

SoitΓd"équation polaireρ=f(θ)oùfest " suffisamment » dérivable. On noteM(θ)le point de coordonnées polaires?f(θ),θ?.Théorème SiΓpasse par l"origine en M(α)alors la tangente en ce point est la droite d"équation polaireθ=α.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude locale d"une courbe

SoitΓd"équation polaireρ=f(θ)oùfest " suffisamment » dérivable. On noteM(θ)le point de coordonnées polaires?f(θ),θ?.Théorème SiΓpasse par l"origine en M(α)alors la tangente en ce point est la droite d"équation polaireθ=α.0M( ) u( )

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude locale d"une courbe

SoitΓd"équation polaireρ=f(θ)oùfest " suffisamment » dérivable. On noteM(θ)le point de coordonnées polaires?f(θ),θ?.Théorème SiΓpasse par l"origine en M(α)alors la tangente en ce point est la droite d"équation polaireθ=α.0M( ) u( ) u( )

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude locale d"une courbe

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude locale d"une courbe

Théorème

Soit M(α)un point deΓdistinct de l"origine i.e. tel que f(α)?=0.?La courbeΓadmet une tangente en M(α).?Soit V la mesure de l"angle entre

--→u(α)et la tangente en M(α).M( ) !u( )VAlorstanV=f(α)f

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude locale d"une courbe

Théorème

Soit M(α)un point deΓdistinct de l"origine i.e. tel que f(α)?=0.?La courbeΓadmet une tangente en M(α).?Soit V la mesure de l"angle entre

--→u(α)et la tangente en M(α).M( ) !u( )VAlorstanV=f(α)f

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude locale d"une courbe

Exemple

SoitΓd"équation polaireρ=1+cosθ, oùθ?[0,2π].

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude locale d"une courbe

Exemple

SoitΓd"équation polaireρ=1+cosθ, oùθ?[0,2π]. Tangente àΓau point A de paramètreθ=π2AO- j?

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude locale d"une courbe

Exemple

SoitΓd"équation polaireρ=1+cosθ, oùθ?[0,2π].

Tangente àΓen l"origine O du repère.AO-

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Plan d"étude : domaine d"étude

On considèreΓd"équation polaireρ=f(θ). On commence par déterminer l"ensemble de définition def.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Plan d"étude : domaine d"étude

On considèreΓd"équation polaireρ=f(θ). On commence par déterminer l"ensemble de définition def. SifestT-périodique alors on restreint l"étude au cas oùθappartient

à un intervalle de longueurT.

On passe deM(θ)àM(θ+T)par larotation de centreOet d"angle T. On obtientΓen la traçant pourθ?[0,T]puis en effectuant les rotations de centreOet d"anglesT,2T,...

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Plan d"étude : domaine d"étude

On peut utiliser des symétries.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Plan d"étude : domaine d"étude

On peut utiliser des symétries.

Sif(-θ) =f(θ)alors on étudieΓ

pourθ?0 puis on effectue la symétrie par rapport à(x?x);OM(f(θ);θ)

M(f(θ); θ)

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Plan d"étude : domaine d"étude

On peut utiliser des symétries.

Sif(-θ) =f(θ)alors on étudieΓ

pourθ?0 puis on effectue la symétrie par rapport à(x?x);OM(f(θ);θ)

M(f(θ); θ)

θSif(-θ) =-f(θ)alors on étudie

Γpourθ?0 puis on effectue la

symétrie par rapport à(y?y);

OM(f(θ);θ)M( f(θ); θ)

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Étude de la fonctionf

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude de la fonctionfQuand la courbe passe-t-elle parO?

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude de la fonctionfQuand la courbe passe-t-elle parO? (i.e.résoudref(θ) =0).

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude de la fonctionfQuand la courbe passe-t-elle parO? (i.e.résoudref(θ) =0).

Quel est le signe def?

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Étude de la fonctionfQuand la courbe passe-t-elle parO? (i.e.résoudref(θ) =0). Quel est le signe def? Quelles sont ses limites aux bornes?

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude de la fonctionfQuand la courbe passe-t-elle parO? (i.e.résoudref(θ) =0). Quel est le signe def? Quelles sont ses limites aux bornes? Étudier les variations defet dresser le tableau de variation.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude de la fonctionfQuand la courbe passe-t-elle parO? (i.e.résoudref(θ) =0). Quel est le signe def? Quelles sont ses limites aux bornes? Étudier les variations defet dresser le tableau de variation.Exemple SoitΓd"équation polaireρ=1+cosθ.On a f(θ) =1+cosθ.θ0 f0(θ)0-0 f(θ)2 0

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude de la fonctionfQuand la courbe passe-t-elle parO? (i.e.résoudref(θ) =0). Quel est le signe def? Quelles sont ses limites aux bornes? Étudier les variations defet dresser le tableau de variation.Exemple SoitΓd"équation polaireρ=1+cosθ.On a f(θ) =1+cosθ.θ0 f0(θ)0-0 f(θ)2 0

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude de la fonctionfQuand la courbe passe-t-elle parO? (i.e.résoudref(θ) =0). Quel est le signe def? Quelles sont ses limites aux bornes? Étudier les variations defet dresser le tableau de variation.Exemple SoitΓd"équation polaireρ=1+cosθ.On a f(θ) =1+cosθ.θ0 f0(θ)0-0 f(θ)2 0

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude géométrique

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude géométrique

SiΓpasse parO, quelle est la tangente? (oulestangentes)

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude géométrique

SiΓpasse parO, quelle est la tangente? (oulestangentes)

Y a-t-il des branches infinies?

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude géométrique

SiΓpasse parO, quelle est la tangente? (oulestangentes)

Y a-t-il des branches infinies?

Y a-t-il des points multiples? Quelles sont les tangentes en ces points?

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude géométrique

SiΓpasse parO, quelle est la tangente? (oulestangentes)

Y a-t-il des branches infinies?

Y a-t-il des points multiples? Quelles sont les tangentes en ces points?

TracerΓ.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude géométrique

Exemple

SoitΓd"équation polaireρ=1+cosθ.La tangente àΓen O est horizontale et celle en A(0,1)est la droite

d"équation y=x+1.Soit B de paramètreθ=0, la tangente en ce point est verticale.Soit C de paramètreθ=π3

, la tangente en ce point est horizontale.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

Étude géométrique

Exemple

SoitΓd"équation polaireρ=1+cosθ.

La fonction f est bornée et strictement décroissante sur[0,π]donc il

n"y a ni branche infinie, ni point double (sur cet intervalle).La tangente àΓen O est horizontale et celle en A(0,1)est la droite

d"équation y=x+1.Soit B de paramètreθ=0, la tangente en ce point est verticale.Soit C de paramètreθ=π3

, la tangente en ce point est horizontale.

Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polairesPropriétés métriques d"une courbe

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