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ECE2-B2018-2019Feuille d"exercices n°6 : Variables aléatoires discrètes

Fonction de répartition

Exercice 1.(☀)

La fonction de répartitionFXd"une v.a.r.Xest donnée par : F

X(t) =8

>>:0 sit <1 12 si16t <1 34
si16t <2 1 sit>2 a.Dessiner le graphe deFX. b.Sachant queX( ) =f1;1;2g, déterminer la loi deX.

Exercice 2.(☀)

Soit un réelp2]0;1[.

La fonction de répartitionFXd"une v.a.r.Xà valeurs dansNvérifie :

8n2N; FX(n) = 1(1p)n

Donner la loi deX.

Loi de probabilité paramétrée

Exercice 3.(☀)

SoitYune v.a.r. telle que :

1)Y( ) =kn jk2J1;nK

2)8y2Y(

);P([Y=y]) =y. Déterminerpour que l"on ait bien défini une loi de probabilité.Exercice 4.(☀) SoitXune variable aléatoire à valeurs dansNtelle que :

8k2N;P([X=k]) =a3k

a.Déterminerapour que l"on définisse bien ainsi une loi de probabilité. b.Xa-t-elle plus de chance de prendre des valeurs paires ou impaires? c.Montrer queXadmet une espérance et une variance et les calculer. d.On considère la v.a.r.Y=X(X1). Montrer queYadmet une espérance et la calculer. Loi, espérance et variance deXv.a.r. discrète finie

Exercice 5.(☀)

Pour chaque variable aléatoireXsuivante, donnerX( Si elle est discrète finie, donner la loi deXsous forme de tableau et tracer sa fonction de répartition. a.X1est le nombre de "piles» obtenus en lançant quatre pièces de monnaie. b.X2est le minimum de deux dés à six faces. c.X3est le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche (on tire sans remise des boules dans une urne contenant4boules noires et2boules blanches). d.X4est le produit de4nombres entiers tirés uniformément entre0et2.

Exercice 6.(☀)

Pour chacune des variables aléatoires de l"exercice précédent, calculer les moments d"ordre1,2et3, et donner espérance et variance.

Exercice 7.(☀)

Un paquet de10cartes contient5as,3rois et2dames. Le tirage d"un as rapporte5points, celui d"un roi2points et celui d"une dame coûte1point. Du paquet on tire simultanément et au hasard2cartes. On désigne parXla v.a.r. discrète égale au total des points marqués.

Calculer la loi deX, son espérance et son écart type.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1

ECE2-B2018-2019Exercice 8.(☀)

On considère une urne contenant1boule rouge,2boules noires et3boules jaunes. On effectue des tirages successifs jusqu"à ce qu"il ne reste plus dans l"urne que deux couleurs différentes. On noteXla variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués. Déterminer la loi deX. Calculer son espérance et sa variance.

Exercice 9.(☀)

Un plateau est constitué de25cases. Derrière deux de ces cases se cache une bouteille de champagne. On fixe un entier16n625et on retournen cases au hasard. SoitXnla variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de champagne découvertes. Déterminer la loi deXnainsi que son espérance et sa variance.

Exercice 10.(☀)

Un service après-vente dispose d"équipes de dépannage qui interviennent au- près de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu"une équipe arrive en retard à la suite d"un appel estp= 1=4.

1)Un même client a appelé le service à8dates différentes. SoitXle nombre

de retards que ce client a subi. a.Reconnaître la loi de probabilité deX. b.CalculerE(X)etV(X).

2)On considère un ensemble de8clients différents,2d"entre eux sont mé-

contents parce qu"ils ont subi un retard. On contacte4clients parmi les

8. SoitMle nombre de clients mécontents parmi les4contactés.

a.Quelle est la loi deM? L"expliciter sous forme de tableau. b.CalculerE(M).Loi hypergéométrique

Exercice 11.(☀)

Une urne contient10boules rouges et5boules vertes. On pioche simulta- nément6boules et on noteR(resp.V) le nombre de boules rouges (resp. vertes) obtenues. Déterminer la loi, l"espérance et la variance deR(resp.V).

Exercice 12.(☀)

Une urne contient2boules blanches et8boules noires. Un joueur tire suc- cessivement5boules. SoitBle nombre de boules blanches etNle nombre de boules noires.

1)On suppose que les tirages sont sans remise.

a.Déterminer la loi deB(resp.N). b.CalculerE(B),V(B)(resp.E(N),V(N)).

2)Refaire les questions précédentes lorsque les tirages sont avec remise.

Exercice 13.(☀)

Une urne contient2boules blanches et8boules noires. Un joueur tire suc- cessivement avec remise5boules. Chaque fois qu"il tire une boule blanche, il gagne2points, sinon il perd3points. SoitXle nombre de boules blanches tirées etYle nombre de points obtenus. a.Déterminer la loi deX, puisE(X)etV(X). b.ExprimerYen fonction deX. c.En déduire la loi deY, puisE(Y)etV(Y). d.Que deviennent les résultats précédents si le jeu est sans remise?

Lois discrètes infinies

Exercice 14.(?)

On effectue des lancers d"une pièce équilibrée. On noteXle nombre de lancers de pièces nécessaires pour obtenir pile.

Déterminer la loi deX, son espérance, sa variance.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2

ECE2-B2018-2019Exercice 15.(☀)

On joue avec deux dés équilibrés à6faces. On jette un premier dé et on note sa valeur. On jette ensuite le deuxième dé jusqu"à ce qu"il indique le même numéro que le premier. SoitXle nombre de fois qu"il faut lancer le deuxième dé pour qu"il indique le même numéro que le premier. a.Établir la loi de probabilité deX. b.Déterminer son espérance et sa variance.

Exercice 16.(☀)

On sait que la probabilité qu"une personne soit allergique à un certain médi- cament est égale à103. On s"intéresse à un échantillon de1000personnes. On appelleXla v.a.r. dont la valeur est le nombre de personnes allergiques dans l"échantillon.

1)Déterminer la loi de probabilité deX.

2)En utilisant une approximation (que l"on justifiera) calculer les probabi-

lités des événements suivants. a.Il y a exactement deux personnes allergiques dans l"échantillon. b.Il y a au moins deux personnes allergiques dans l"échantillon.

Exercice 17.(☀)

Un péage comporte 10 guichets numérotés de1à10. Le nombre de voitures N, arrivant au péage en1heure, suit une loi de Poisson de paramètre >0. On suppose de plus que les conducteurs choisissent leur file au hasard et indépendamment des autres. SoitX1la v.a.r. égale au nombre de voitures se présentant au guichet1en une heure. a.Déterminer le nombre moyen de voitures arrivant au péage en une heure. b.Quelle est la proba qu"une voiture qui arrive au péage se dirige vers le guichet1? c.CalculerP[N=n]([X1=k])pour tout06k6n. Et pourk > n? d.Justifier queP([X1=k]) =+1P n=kP[N=n]([X1=k])P([N=n])puis mon- trer queP([X1=k]) =e110 kkk!+1P n=0 910
nnn!.

e.En déduire la loi deX1, son espérance et sa variance.Connaître les caractéristiques des lois usuelles

Exercice 18.(?)

Calculer l"espérance et la variance deXdans les cas suivants : a.X ,! U(J5;10K)b.X ,! B20;37 c.X ,! G()

Transformation d"une v.a.r.X

Exercice 19.(☀)

Soientp2]0;1[etXune v.a.r. dont la loi est donnée par :

P([X=1]) =p2

;P([X= 0]) = 1p;P([X= 1]) =p2

Déterminer la loi deY=X2.

Exercice 20.(☀)

On suppose queXest une v.a.r. dont la loi est donnée par 1)X( ) =f2;1;0;1;2g

2)P([X=2]) =15

,P([X=1]) =110 ,P([X= 0]) =110

P([X= 1]) =15

, etP([X= 2]) =25

Déterminer la loi deY=X2.

Exercice 21.(☀)

On suppose queXest une v.a.r. dont la loi est donnée par : 1)X( ) =f1;1;2g

2)P([X=1]) =14

,P([X= 1]) =12 etP([X= 2]) =14

Déterminer la loi deY=X2etZ=eX.

Théorème de transfert

Exercice 22.(☀)

SoitXune v.a.r. suivant une loi géométrique de paramètrep2]0;1[.

DéterminerE1X

(on pourra utiliser la formule :8x2]1;1[;+1P n=1x nn

=ln(1x))(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 3

ECE2-B2018-2019Exercice 23.(☀)

SoitXune v.a.r. suivant une loi de Poisson de paramètre >0.

DéterminerE1X+ 1

Exercice 24.(☀)

SoitXune v.a.r. de loiB(n;p), avecn2Netp2]0;1[.

Déterminer la loi deY=nX.

Exercice 25.(☀)

SoitXune v.a.r. suivant une loi binomialeB(n;p).

CalculerE2XetE11 +X

Fonction génératrice

Exercice 26.(☀☀)

SoitXune variable aléatoire discrète. On définit lafonction génératriceG associée àXpar :

G(t) =P

k2X( )P([X=k])tk pour tous les réelsxtels que la série converge (si convergence il y a). Déterminer la fonction génératrice deXdans les cas suivants : a.X ,! B(1;p)oùp2]0;1[. b.X ,! U(J1;nK)oùn2N. c.X ,! B(n;p)oùn2Netp2]0;1[. d.X ,! G(p)oùp2]0;1[.

e.X ,! P()où2R+.Exercice 27.(☀☀☀)(Fonction génératrice d"une variable aléatoire)

Soienta,b, etNtrois entiers supérieurs ou égaux à 2 tels queN=a+b. On considère une urne contenant initialementaboules blanches etbboules noires. On effectue des tirages successifs dans cette urne, au hasard et avec remise en procédant de la façon suivante : si la boule tirée est blanche, elle est remise dans l"une avant de procéder au tirage suivant; si la boule tirée est noire, elle n"est pas remise dans l"urne, mais remplacée par une boule blanche dans cette urne, et l"on procède au tirage suivant. On noteYla variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires à l"obtention d"une première boule blanche.

1.Déterminer la loi deY. Montrer alors que :

8k2J1;bK;P([Y=k]) =b!N

b

Nbk+1(bk+ 1)!Nbk(bk)!

2.SoitGla fonction définie surRpar :

8x2R; G(x) =P

k2Y( )P([Y=k])xk On dit queGest la fonction génératrice de la variable aléatoireY. a)Justifier l"égalité :G(x) =ExY. b)Quelle est la valeur deG(1)? c)ExprimerE(Y)en fonction deG0(1). d)Exprimer la variance deYen fonction deG0(1), et deG00(1).

3.Montrer que :8x2R,G(x) = 1 +b!N

b(x1)bP k=0N bk(bk)!xk.

4.En déduire l"espérance deY.

On laissera le résultat sous forme d"une somme.

5.De même calculer la variance deYà l"aide de la fonction génératriceG.

On laissera le résultat sous forme d"une somme.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 4

ECE2-B2018-2019Exercice 28.(☀☀☀)(ECRICOME 2008) Un joueur lance successivementnboules au hasard dansNcases numérotées de1àN(avecN>2), chaque boule ayant une probabilité1=Nde tomber dans chacune desNcases (et les lancers de boules étant indépendants les uns des autres). On cherche à étudier la variable aléatoireTn, égale au nombre de cases non vides aprèsnlancers. a.Déterminer en fonction denet deNles valeurs prises parTn. b.Donner les lois deT1et deT2. c.Déterminer, lorsquen>2, les probabilitésP([Tn= 1]),P([Tn= 2])et

P([Tn=n])(en distingant suivant quen6Noun > N).

d.À l"aide de la formule des probabilités totales, prouver que si16k6n:

P([Tn+1=k]) =kN

P([Tn=k]) +Nk+ 1N

P([Tn=k1])

e.On considère dans les questions qui suivent le polynôme : G n(x) =nP k=1P([Tn=k])xk

Quelle est la valeur deGn(1)?

f.ExprimerE(Tn)en fonction deG0n(1). g.En utilisant la relation démontrée à la questiond., montrer que G n+1(x) =1N (xx2)G0n(x) +xGn(x) h.Dériver l"expression précédente et en déduire que

E(Tn+1) =

11N

E(Tn) + 1

i.Prouver enfin que :E(Tn) =N 1 11N n

et déterminer la limite deE(Tn)quandntend vers+1.Utilisation de la formule des probabilités totales

Exercice 29.(☀☀)

Une pièce de monnaie est déséquilibrée de telle sorte que la probabilité d"ap- parition de Pile est égale à13 . On effectue avec cette pièce une suite de lancers indépendants et on considère, pour toutn>2, l"événement : A n:"la séquence Pile-Face apparaît pour la première fois aun1èmeetnèmelancer» Pour toutn>2, on noteanla probabilité de l"événementAn.

1.Calculera2,a3eta4.

2.Montrer que, pour toutn>2,an=n1P

k=12 k3 n. Calculeran, pour toutn>2.

3.Calculer la probabilité que la séquence Pile-Face n"apparaisse jamais.

4.On considère alors la variable aléatoireXégale au nombre de lancers

nécessaires pour qu"apparaisse pour la première fois la séquence Pile-Face.

Déterminer la loi deXet son espérance.

5. a) Écrire un programme enScilabqui simule la v.a.r.X. b)Comment obtenir, informatiquement, une valeur approchée deE(X)? 6. a) Soit, pour toutn>2,Bnl"événement B n:"la séquence Pile-Face apparaît pour la première fois aun1èmeetnèmelancer, et il n"y a pas eu avant de séquence Face-Pile» Pour toutn>2, on notebnla probabilité de l"événementBn.

Calculerbn, pour toutn>2.

b)En déduire la probabilité pour que la première séquence Pile-Face

apparaisse avant la première séquence Face-Pile.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 5

ECE2-B2018-2019Exercice 30.(☀☀)(d"aprèsHEC 1982 Maths III) On considère deux pièces de monnaie notéesA1etA2. Lorsqu"on lance la pièceA1;la probabilité d"obtenir " face » estp1(avec

0< p1<1), celle d"obtenir " pile » estq1= 1p1:

De même, lorsqu"on lance la pièceA2;la probabilité d"obtenir " face » est p

2(avec0< p2<1), celle d"obtenir " pile » estq2= 1p2:

On effectue une suite de parties de la façon suivante : à la première partie, on choisit une pièce au hasard (avec la probabilité12 et on joue avec cette pièce; si le résultat est " face », on joue la deuxième partie avecA1, si le résultat est " pile », on joue la deuxième partie avecA2; ensuite, pour tout entiern>1: si on a obtenu " face » à lanèmepartie, on joue la(n+ 1)èmeavecA1, si on a obtenu " pile » à lanèmepartie, on joue la(n+ 1)èmeavecA2.

1.Pour tout entiern>1;on noteunla probabilité d"avoir " face » à lanème

partie. a)Exprimeru1;puisu2en fonction dep1etp2. b)Montrer que, pour toutn>1,un+1= (p1p2)un+p2. c)Montrer que la suite(un)n>1tend, quandntend vers l"infini, vers une limiteuque l"on calculera.

Dans quels cas a-t-onu=12

2.Pour tout entiern>1, on noteXnla variable aléatoire, associée à lanème

partie, qui prend la valeur1si le résultat de lanèmepartie est " face », la valeur0si le résultat de lanèmepartie est " pile ». a)Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoiresX1etX2et calculer leurs espérances. b)Les variables aléatoiresX1etX2sont-elles indépendantes?Exercice 31.(☀☀☀) Une puce se déplace sur un axe gradué d"origineOpar bonds successifs d"une ou de deux unités vers la droite suivant la procédure suivante : au départ la puce est enO; si, à un instant, la puce est sur la case d"abscissek, à l"instant d"après elle sera soit sur la case d"abscissek+1, avec la probabilité12 , soit sur la case k+ 2, avec la probabilité12 les sauts sont indépendants.

1.On noteSnla variable aléatoire égale au nombre de sauts de deux unités

effectués par la puce au cours desnpremiers sauts. Déterminer la loi deSn, son espérance et sa variance.

2.On noteXnla v.a.r. égale à l"abscisse de la puce aprèsnsauts.

ExprimerXnen fonction deSn.

En déduire la loi deXn, son espérance et sa variance.

3.On note, pour toutn2N,Ynla variable aléatoire égale au nombre de

sauts qu"il a fallu à la puce pour atteindre ou dépasser la case d"abscisse nau cours desnpremiers sauts. a)DéterminerYn( b)Montrer que, pour tout entiern>3et pour tout entierk>1:

P([Yn=k]) =12

P([Yn1=k1]) +12

P([Yn2=k1])

c)Montrer que, pour tout entiern>3

E(Yn) =12

E(Yn1) +12

E(Yn2) + 1

4.Déterminer un réelatel que la suite(un)n>1définie par :

u n=E(Yn)na vérifie une relation récurrente linéaire d"ordre2.

Déterminer alors, pour toutn2N,un, puisE(Yn)en fonction den.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 6

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