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Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2

Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 1

CHAPITRE N° Partie : Géométrie

TRIGONOMETRIE - Cours

I - Radian et cercle trigonométrique

1) Le radian

Définition :

Soit un cercle C de centre O.

On appelle radian, noté rad, la mesure de l"angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur est égale à son rayon R.

Remarque :

Cette définition ne dépend pas du rayon R de l"arc. En effet, sur la figure ci-contre le rapport de la longueur de l"arc par le rayon correspondant est constant :

Propriété :

• La longueur d"un arc de cercle intercepté par un angle a, exprimé en radian, est donné

par : l Ra= • La mesure en radian d"un angle plein (tour complet) est de 2p radians.

2) Cercle trigonométrique

Définition :

Sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d"une montre. 1 2 1 2 l l r r= Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2

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Définition :

Dans le plan muni d"un repère orthonormé (); ;O i j et orienté dans le sens direct, le cercle

trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1.

3) Enroulement d"une droite autour du

cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé(); ;O i j , on

considère le cercle trigonométrique et une droite (d) tangente au cercle en A et orientée telle

que ();A j soit un repère de la droite. Si l"on " enroule » la droite autour du cercle, on associe à tout point N d"abscisse x de la droite orientée (d) un unique point M du cercle.

La longueur de l"arc

AMest ainsi égale à la

longueur AN.

Exemple :

Sur le schéma ci-contre le point N(x) d"abscisse 3 4 p sur la droite orientée (d), se retrouve, après " enroulement » (d) sur le cercle trigonométrique, en

M tel que la longueur de l"arc

AM est égale à

AN soit 2,35∼.

Propriété :

Un angle plein (tour complet) mesure 2p radians.

Démonstration :

La longueur du cercle trigonométrique est égale à 2p. En effet, son rayon est 1 donc P = 2pR = 2p x 1 = 2p. Or la longueur d"un arc et la mesure de l"angle qui l"intercepte sont proportionnelles. Comme 1 radian est la mesure de l"angle qui intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle trigonométrique, on en déduit que la mesure de l"angle plein est égale à 2p radians.

4) Correspondance degrés et radians

(d) 3N4 Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2

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Ainsi, à 2p radians (tour complet), on fait correspondre un angle de 360°. Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes :

Méthode :

Passer des degrés aux radians et réciproquement

1) Donner la mesure en radians de l"angle a de mesure 33°.

2) Donner la mesure en degrés de l"angle b de mesure

3p

8 rad.

2p ? 3p 8

360°

33° ?

1) a=33´2p

360=11p

60 2)

b=3p

8´360

2p=135°

5) Plusieurs enroulements de la droite

A plusieurs points de la droite orientée on peut faire correspondre un même point du cercle. La droite orientée peut en effet s"enrouler plusieurs fois autour du cercle.

Exemples :

- Ci-contre, les points N et P d"abscisses 3p 4et -5p 4 correspondent tous les deux au point M.

En effet :

3p

4-2p= -5p

4 - On pourrait poursuivre le processus dans l"autre sens en effectuant deux tours successifs.

Ainsi, les points d"abscisses

3p 4 et 19p

4 correspondent

au point M.

En effet :

3p

4+4p=19p

4. Mesure en degrés 0 30° 45° 60° 90° 180° 360°

Mesure en radians 0

p 6 p 4 p 3 p

2 p 2p

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II. Mesure d"un angle orienté et mesure

principale

1) Cas d"angles orientés de vecteur de

norme 1

On munit le plan d"un repère orthonormé

(); ;O i j et orienté dans le sens direct. On considère le cercle trigonométrique de centre O.

Au point d"abscisse x de la droite d"enroulement,

on fait correspondre le point M du cercle.

Au point d"abscisse y de la droite d"enroulement,

on fait correspondre le point N du cercle. u et v sont les vecteurs de norme 1 tels que u OM= et v ON= . Définition : Une mesure de l"angle orienté ();u v est la différence y - x. Propriété : On note a une mesure de l"angle orienté();u v . Toute mesure de l"angle orienté ();u v est de la forme a+2kp où k est un entier relatif.

Démonstration :

On fait correspondre le point M du cercle à deux points d"abscisses x et x" de la droite d"enroulement.

On a :

x"=x+2k1p où k1 est un entier relatif. On fait correspondre le point N du cercle à deux points d"abscisses y et y" de la droite d"enroulement.

On a :

y"=y+2k2p où k2 est un entier relatif. Alors y - x et y" - x" sont deux mesures de l"angle orienté ();u v .

Et on a :

()2 1" " 2 2y x y x k k y x kp p- = - + - = - + en posant k=k2-k1.

2) Cas d"angle orientés quelconques (et non nuls)

Soit

U et V deux vecteurs non nuls.

Soit u et v deux vecteurs unitaires, c"est-à-dire de norme 1, respectivement de U et de V Avec UuU= et VvV= Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2

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Définition : Une mesure de l"angle orienté ();U V est égale à une mesure de l"angle orienté();u v .

3) Mesure principale d"un angle orienté

Définition : La mesure principale d"un angle orienté est la mesure, qui parmi toutes les autres,

se situe dans l"intervalle -p;p

Exemple :

Une mesure d"un angle orienté est 5p.

D"autres mesures sont : 5p - 2p ; 5p - 4p ; 5p - 6p ; ... soit : 3p ; p ; -p ; ... p est donc la mesure principale de cet angle orienté.

III. Propriété des angles orientés

1) Angle nul, angle plat

Propriétés : Pour tout vecteur unon nul, on a :

1) (); 0u u= 2) ();u up- =

2) Relation de Chasles

Propriété : Pour tous vecteurs u, v et w non nuls, on a : ()()(); ; ;u v v w u w+ = Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2

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IV. Cosinus et sinus d"un angle

1) Définitions :

Dans le plan muni d"un repère

orthonormé (); ;O i j et orienté dans le sens direct, on considère un cercle trigonométrique de centre O.

Pour tout nombre réel x

, considérons le point N de la droite orientée d"abscisse x. À ce point, on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique. On appelle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires à l"axe des abscisses et à l"axe des ordonnées passant par M.

Définitions :

- Le cosinus du nombre réel x est l"abscisse de M et on note cos x. - Le sinus du nombre réel x est l"ordonnée de M et on note sin x. Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus : x 0 p 6 p 4 p 3 p 2 p cosx 1 2 3 2 2 2

1 0 -1

sinx 0 2 1 2 2 2 3 1 0 Soit u et v deux vecteurs non nuls et x une mesure de l"angle ();u v .

On a :

()cos ; cosu v x= et ()sin ; sinu v x= .

Définitions :

Le cosinus (respectivement le sinus) de l"angle orienté ();u v est le cosinus (respectivement le sinus) d"une de ses mesures. Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2

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2) Propriétés

Propriétés :

Pour tout nombre réel x, on a :

1) -1£cosx£1 2) -1£sinx£1 3) cos2 x + sin2 x = 1

4) ()cos cos 2x x kp= + où k entier relatif 5) ()sin sin 2x x kp= + où k entier relatif

Démonstrations :

1) 2) 3) Propriétés démontrées en classe de 2

nde

4) 5) Aux points de la droite orientée d"abscisses

x et x+2kp ont fait correspondre le même point du cercle trigonométrique.

3) Cosinus et sinus d"angles associés

Définition : Deux angles sont dits associés s"ils admettent des cosinus et des sinus égaux ou

opposés.

Propriétés :

Pour tout nombre réel x, on a :

1) cos(-x)=cosx et sin(-x)=-sinx

2) ()cos cosx xp+ = - et ()sin sinx xp+ = -

3) ()cos cosx xp- = - et ()sin sinx xp- =

Démonstrations :

Par symétries, on démontre les résultats :

1) 2)

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3) 4)

5)

V. Equations trigonométriques

1) Equation cos x = cos a

Propriété : Soit a un nombre réel.

L"équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels a+2kp et -a+2kp où k est un

nombre relatif.

Démonstration :

Par symétrie, on démontre qu"il existe deux points M et N du cercle dont les abscisses sont

égales à cos a.

Ces points sont tels que

(); 2i OM a kp= + et (); 2i ON a kp= - + avec k un nombre relatif. Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2

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2) Equation sin x = sin a

Propriété : Soit a un nombre réel.

L"équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels a+2kp et p-a+2kp où k est un

nombre relatif.

Démonstration :

Par symétrie, on démontre qu"il existe deux points M et N du cercle dont les ordonnées sont

égales à sin a.

Ces points sont tels que

(); 2i OM a kp= + et (); 2i ON a kp p= - + avec k un nombre relatif. Méthode : Résoudre une équation trigonométrique Résoudre dans ℝ les équations suivantes : a) cosx=cosp

6 b) sinx=-0,5

a) L"équation cosx=cosp

6 a pour solution

p

6+2kp et

-p

6+2kp où k est un entier relatif.

L"équation a pour solution

-p

6+2kp et

p+p

6+2kp=7p

6+2kp où k est un entier relatif.

M N M N Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2

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CHAPITRE N° Partie : Géométrie

TRIGONOMETRIE - Exercices

" Il faut essayer de faire ces exercices sans coup d"oeil aux éléments de réponses »

Le radian

Le radianLe radianLe radian

Le radian est l"unité du " système international d"unité » (SI) pour la mesure des angles. Le

nom radian vient du mot radius qui signifie " rayon ». Ce terme a été introduit en 1873 par l"ingénieur James Thomson (1822 - 1892).

Radian et cercle trigonométrie

EXERCICES 1

Convertir en radians les mesures d"angles.

a.

30 ; 120 ; 135a b g= ° = ° = °

b.

75 ; 170 ; 1a b g= ° = ° = °

Convertir en degrés les mesures d"angles.

c.

7rad ; rad ; rad4 5 18

p p pa b g= = = d.

1771 rad ; 3,14 rad ; rad144a b g= = =

EXERCICES 2

ABCDE est un pentagone régulier de contre O.

a. Déterminer en radians les mesures d"angles OAB. b. Déterminer en radians les mesures d"angles ABC. (On pourra considérer le triangle OCB.) c. Déterminer en radians les mesures d"angles ABD. (On pourra considérer le triangle BCD.) Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2

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Mesure d"un angle orienté, mesure principale

EXERCICES 3

A, B, C et D sont des distincts deux à deux.

Simplifier les sommes suivantes :

()()1AC, AD AD, ACS= + ()()2AD, AB AC, ADS= + ()()3AD, AB BA, DAS= +

EXERCICES 4

a. Dans le plan orienté muni du repère (), , O i j , on donne le point A(1 ; 0).

Représenter les points M

1, M2, ....., M6 du cercle trigonométrique tels que les angles ()OA, OMi

aient comme mesures respectives :

9 7 11 193 ; , - , , 20 , 2 2 4 3

p p p pp p b. Déterminer la mesure principale de chacun de ces angles orientés de vecteurs.

EXERCICES 5

a. Indiquer, parmi les nombres suivants, ceux qui correspondent aux mesures d"un même angle de vecteurs.

3 7 3 7 5; , , , , , 2 2 2 2 2 2 2

p p p p p p p- - - b. Dans l"intervalle []0 ; 8p, combien de mesure différentes existe-t-il pour un angle de vecteurs ayant comme mesure 2 p ? Justifier.

Cosinus et sinus d"un angle

EXERCICES 6

Le plan orienté est muni d"un repère orthonormé direct (), , O i j .

Détermioner :

a. sin ( , )i j b. cos (2 , 3 )i j c. sin ( , 5 )i j- d. cos ( , + )i i j e. cos ( , )i j j- - f. cos (42 7 , 6 )i j j i- - Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2

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EXERCICES 7

Calculer :

2 3 4 5A sin0 sin sin sin sin sin3 3 3 3 3

p p p p p= + + + + +

2 3 4 5B cos0 cos cos cos cos cos3 3 3 3 3

p p p p p= + + + + +

EXERCICES 8

Simplifier les expressions suivantes où xest un nombre réel quelconque. a. ()cos cosx x+ - b. ()()sin sin cos cosx x x xp p- + + - + c. d. ()()()()()sin sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5x x x x x xp p p p p+ + + + + + + + + +

Equations trigonométriques

EXERCICES 9

Résoudre dans

ℝ les équations trigonométriques suivantes : a. sin sin4xp= b. cos cos4xp= c.

1sin2x=

d.

3cos2x= -

EXERCICES 10

a. Montrer que

3cos sin5 10

p p=. b. Résoudre dans ℝ les équations trigonométriques : 3cos sin10xp=

EXERCICES 11

Résoudre dans

ℝ les équations d"inconnue x. a.

22cos 1 0x- =

b.

24sin 3 0x- =

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TRIGONOMETRIE - Eléments de réponses

EXERCICES 1

Rappel : 180p= °

a. 30
180 6
p pa= = ; 2 3 pb= ; 3 4 pg= b. 75 5

180 12

p pa= = ; 17 18 pb= ; 180 pg= c. 454
pa= = ° ; 36b= ° ; 70g= ° d.

18057,3ap°= = ° ; 2826179,95bp°= = ° ; 38530,64gp°= = °

EXERCICES 2

a. Mesure de l"angle OAB : 2 5 p (Vérifier les propriétés du pentagone régulier). b. Mesure de l"angle OBC : 2 35
2 10 pp p

Mesure de l"angle

ABC : 3 3210 5

p p´ =. c. Mesure de l"angle BDC : 3 5 2 5 pp p

Mesure de l"angle

ABD : 3 2

10 5 5

p p p- =. EXERCICES 3 ()1AC, ACS= où tout autre angle de mesure nulle. ()()()2AC, AD AD, AB AC, AB 2Skp= + = +

3AD, AB BA, AB AB, DA

AD, DA BA, AB

AD, DA DA, AD AD, AD

S= + +

où tout autre angle de mesure nulle.

EXERCICES 4

a. b. 3; , , , 0, 2 2 4 3quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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