cours trigonométrie
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TRIGONOMÉTRIE
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Nom : TRIGONOMETRIE 2nde
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Chapitre 8 – Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
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Angles orientés et trigonométrie I. Cercle trigonométrique radian
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CHAPITRE I TRIGONOMETRIE - Lycée Michel Rodange
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Trigonométrie - Classe de 2nde - CdPMaths
II - Sinus et cosinus Dé?nitions : Soit M un point du cercle trigonométrique et x la mesure de l’angle IOM† en radians On appellecosinus de x l’abscisse du point M etsinus de x l’ordonnée du point M
Chapitre I : Géométrie et trigonométrie - univ-angersfr
I 5 b a c Nous avons remarqué : - qu'une surface est toujours le produit de deux longueurs; si ces derni ères sont exprimées en mètre (m) (ou en cm
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CHAPITRE N° Partie : Géométrie
TRIGONOMETRIE - Cours
I - Radian et cercle trigonométrique
1) Le radian
Définition :
Soit un cercle C de centre O.
On appelle radian, noté rad, la mesure de l"angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur est égale à son rayon R.Remarque :
Cette définition ne dépend pas du rayon R de l"arc. En effet, sur la figure ci-contre le rapport de la longueur de l"arc par le rayon correspondant est constant :Propriété :
• La longueur d"un arc de cercle intercepté par un angle a, exprimé en radian, est donné
par : l Ra= • La mesure en radian d"un angle plein (tour complet) est de 2p radians.2) Cercle trigonométrique
Définition :
Sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d"une montre. 1 2 1 2 l l r r= Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 2
Définition :
Dans le plan muni d"un repère orthonormé (); ;O i j et orienté dans le sens direct, le cercle
trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1.3) Enroulement d"une droite autour du
cercle trigonométriqueDans un repère orthonormé(); ;O i j , on
considère le cercle trigonométrique et une droite (d) tangente au cercle en A et orientée telle
que ();A j soit un repère de la droite. Si l"on " enroule » la droite autour du cercle, on associe à tout point N d"abscisse x de la droite orientée (d) un unique point M du cercle.La longueur de l"arc
AMest ainsi égale à la
longueur AN.Exemple :
Sur le schéma ci-contre le point N(x) d"abscisse 3 4 p sur la droite orientée (d), se retrouve, après " enroulement » (d) sur le cercle trigonométrique, enM tel que la longueur de l"arc
AM est égale à
AN soit 2,35∼.
Propriété :
Un angle plein (tour complet) mesure 2p radians.
Démonstration :
La longueur du cercle trigonométrique est égale à 2p. En effet, son rayon est 1 donc P = 2pR = 2p x 1 = 2p. Or la longueur d"un arc et la mesure de l"angle qui l"intercepte sont proportionnelles. Comme 1 radian est la mesure de l"angle qui intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle trigonométrique, on en déduit que la mesure de l"angle plein est égale à 2p radians.4) Correspondance degrés et radians
(d) 3N4 Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 3
Ainsi, à 2p radians (tour complet), on fait correspondre un angle de 360°. Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes :Méthode :
Passer des degrés aux radians et réciproquement1) Donner la mesure en radians de l"angle a de mesure 33°.
2) Donner la mesure en degrés de l"angle b de mesure
3p8 rad.
2p ? 3p 8360°
33° ?
1) a=33´2p360=11p
60 2)
b=3p8´360
2p=135°
5) Plusieurs enroulements de la droite
A plusieurs points de la droite orientée on peut faire correspondre un même point du cercle. La droite orientée peut en effet s"enrouler plusieurs fois autour du cercle.Exemples :
- Ci-contre, les points N et P d"abscisses 3p 4et -5p 4 correspondent tous les deux au point M.En effet :
3p4-2p= -5p
4 - On pourrait poursuivre le processus dans l"autre sens en effectuant deux tours successifs.Ainsi, les points d"abscisses
3p 4 et 19p4 correspondent
au point M.En effet :
3p4+4p=19p
4. Mesure en degrés 0 30° 45° 60° 90° 180° 360°Mesure en radians 0
p 6 p 4 p 3 p2 p 2p
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II. Mesure d"un angle orienté et mesure
principale1) Cas d"angles orientés de vecteur de
norme 1On munit le plan d"un repère orthonormé
(); ;O i j et orienté dans le sens direct. On considère le cercle trigonométrique de centre O.Au point d"abscisse x de la droite d"enroulement,
on fait correspondre le point M du cercle.Au point d"abscisse y de la droite d"enroulement,
on fait correspondre le point N du cercle. u et v sont les vecteurs de norme 1 tels que u OM= et v ON= . Définition : Une mesure de l"angle orienté ();u v est la différence y - x. Propriété : On note a une mesure de l"angle orienté();u v . Toute mesure de l"angle orienté ();u v est de la forme a+2kp où k est un entier relatif.Démonstration :
On fait correspondre le point M du cercle à deux points d"abscisses x et x" de la droite d"enroulement.On a :
x"=x+2k1p où k1 est un entier relatif. On fait correspondre le point N du cercle à deux points d"abscisses y et y" de la droite d"enroulement.On a :
y"=y+2k2p où k2 est un entier relatif. Alors y - x et y" - x" sont deux mesures de l"angle orienté ();u v .Et on a :
()2 1" " 2 2y x y x k k y x kp p- = - + - = - + en posant k=k2-k1.2) Cas d"angle orientés quelconques (et non nuls)
SoitU et V deux vecteurs non nuls.
Soit u et v deux vecteurs unitaires, c"est-à-dire de norme 1, respectivement de U et de V Avec UuU= et VvV= Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 5
Définition : Une mesure de l"angle orienté ();U V est égale à une mesure de l"angle orienté();u v .3) Mesure principale d"un angle orienté
Définition : La mesure principale d"un angle orienté est la mesure, qui parmi toutes les autres,
se situe dans l"intervalle -p;pExemple :
Une mesure d"un angle orienté est 5p.
D"autres mesures sont : 5p - 2p ; 5p - 4p ; 5p - 6p ; ... soit : 3p ; p ; -p ; ... p est donc la mesure principale de cet angle orienté.III. Propriété des angles orientés
1) Angle nul, angle plat
Propriétés : Pour tout vecteur unon nul, on a :1) (); 0u u= 2) ();u up- =
2) Relation de Chasles
Propriété : Pour tous vecteurs u, v et w non nuls, on a : ()()(); ; ;u v v w u w+ = Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 6
IV. Cosinus et sinus d"un angle
1) Définitions :
Dans le plan muni d"un repère
orthonormé (); ;O i j et orienté dans le sens direct, on considère un cercle trigonométrique de centre O.Pour tout nombre réel x
, considérons le point N de la droite orientée d"abscisse x. À ce point, on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique. On appelle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires à l"axe des abscisses et à l"axe des ordonnées passant par M.Définitions :
- Le cosinus du nombre réel x est l"abscisse de M et on note cos x. - Le sinus du nombre réel x est l"ordonnée de M et on note sin x. Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus : x 0 p 6 p 4 p 3 p 2 p cosx 1 2 3 2 2 21 0 -1
sinx 0 2 1 2 2 2 3 1 0 Soit u et v deux vecteurs non nuls et x une mesure de l"angle ();u v .On a :
()cos ; cosu v x= et ()sin ; sinu v x= .Définitions :
Le cosinus (respectivement le sinus) de l"angle orienté ();u v est le cosinus (respectivement le sinus) d"une de ses mesures. Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 7
2) Propriétés
Propriétés :
Pour tout nombre réel x, on a :
1) -1£cosx£1 2) -1£sinx£1 3) cos2 x + sin2 x = 1
4) ()cos cos 2x x kp= + où k entier relatif 5) ()sin sin 2x x kp= + où k entier relatif
Démonstrations :
1) 2) 3) Propriétés démontrées en classe de 2
nde4) 5) Aux points de la droite orientée d"abscisses
x et x+2kp ont fait correspondre le même point du cercle trigonométrique.3) Cosinus et sinus d"angles associés
Définition : Deux angles sont dits associés s"ils admettent des cosinus et des sinus égaux ou
opposés.Propriétés :
Pour tout nombre réel x, on a :
1) cos(-x)=cosx et sin(-x)=-sinx
2) ()cos cosx xp+ = - et ()sin sinx xp+ = -
3) ()cos cosx xp- = - et ()sin sinx xp- =
Démonstrations :
Par symétries, on démontre les résultats :1) 2)
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3) 4)
5)V. Equations trigonométriques
1) Equation cos x = cos a
Propriété : Soit a un nombre réel.
L"équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels a+2kp et -a+2kp où k est un
nombre relatif.Démonstration :
Par symétrie, on démontre qu"il existe deux points M et N du cercle dont les abscisses sontégales à cos a.
Ces points sont tels que
(); 2i OM a kp= + et (); 2i ON a kp= - + avec k un nombre relatif. Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 9
2) Equation sin x = sin a
Propriété : Soit a un nombre réel.
L"équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels a+2kp et p-a+2kp où k est un
nombre relatif.Démonstration :
Par symétrie, on démontre qu"il existe deux points M et N du cercle dont les ordonnées sontégales à sin a.
Ces points sont tels que
(); 2i OM a kp= + et (); 2i ON a kp p= - + avec k un nombre relatif. Méthode : Résoudre une équation trigonométrique Résoudre dans ℝ les équations suivantes : a) cosx=cosp6 b) sinx=-0,5
a) L"équation cosx=cosp6 a pour solution
p6+2kp et
-p6+2kp où k est un entier relatif.
L"équation a pour solution
-p6+2kp et
p+p6+2kp=7p
6+2kp où k est un entier relatif.
M N M N Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 10
CHAPITRE N° Partie : Géométrie
TRIGONOMETRIE - Exercices
" Il faut essayer de faire ces exercices sans coup d"oeil aux éléments de réponses »Le radian
Le radianLe radianLe radian
Le radian est l"unité du " système international d"unité » (SI) pour la mesure des angles. Le
nom radian vient du mot radius qui signifie " rayon ». Ce terme a été introduit en 1873 par l"ingénieur James Thomson (1822 - 1892).Radian et cercle trigonométrie
EXERCICES 1
Convertir en radians les mesures d"angles.
a.30 ; 120 ; 135a b g= ° = ° = °
b.75 ; 170 ; 1a b g= ° = ° = °
Convertir en degrés les mesures d"angles.
c.7rad ; rad ; rad4 5 18
p p pa b g= = = d.1771 rad ; 3,14 rad ; rad144a b g= = =
EXERCICES 2
ABCDE est un pentagone régulier de contre O.
a. Déterminer en radians les mesures d"angles OAB. b. Déterminer en radians les mesures d"angles ABC. (On pourra considérer le triangle OCB.) c. Déterminer en radians les mesures d"angles ABD. (On pourra considérer le triangle BCD.) Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 11
Mesure d"un angle orienté, mesure principale
EXERCICES 3
A, B, C et D sont des distincts deux à deux.
Simplifier les sommes suivantes :
()()1AC, AD AD, ACS= + ()()2AD, AB AC, ADS= + ()()3AD, AB BA, DAS= +EXERCICES 4
a. Dans le plan orienté muni du repère (), , O i j , on donne le point A(1 ; 0).Représenter les points M
1, M2, ....., M6 du cercle trigonométrique tels que les angles ()OA, OMi
aient comme mesures respectives :9 7 11 193 ; , - , , 20 , 2 2 4 3
p p p pp p b. Déterminer la mesure principale de chacun de ces angles orientés de vecteurs.EXERCICES 5
a. Indiquer, parmi les nombres suivants, ceux qui correspondent aux mesures d"un même angle de vecteurs.3 7 3 7 5; , , , , , 2 2 2 2 2 2 2
p p p p p p p- - - b. Dans l"intervalle []0 ; 8p, combien de mesure différentes existe-t-il pour un angle de vecteurs ayant comme mesure 2 p ? Justifier.Cosinus et sinus d"un angle
EXERCICES 6
Le plan orienté est muni d"un repère orthonormé direct (), , O i j .Détermioner :
a. sin ( , )i j b. cos (2 , 3 )i j c. sin ( , 5 )i j- d. cos ( , + )i i j e. cos ( , )i j j- - f. cos (42 7 , 6 )i j j i- - Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 12
EXERCICES 7
Calculer :
2 3 4 5A sin0 sin sin sin sin sin3 3 3 3 3
p p p p p= + + + + +2 3 4 5B cos0 cos cos cos cos cos3 3 3 3 3
p p p p p= + + + + +EXERCICES 8
Simplifier les expressions suivantes où xest un nombre réel quelconque. a. ()cos cosx x+ - b. ()()sin sin cos cosx x x xp p- + + - + c. d. ()()()()()sin sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5x x x x x xp p p p p+ + + + + + + + + +Equations trigonométriques
EXERCICES 9
Résoudre dans
ℝ les équations trigonométriques suivantes : a. sin sin4xp= b. cos cos4xp= c.1sin2x=
d.3cos2x= -
EXERCICES 10
a. Montrer que3cos sin5 10
p p=. b. Résoudre dans ℝ les équations trigonométriques : 3cos sin10xp=EXERCICES 11
Résoudre dans
ℝ les équations d"inconnue x. a.22cos 1 0x- =
b.24sin 3 0x- =
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TRIGONOMETRIE - Eléments de réponses
EXERCICES 1
Rappel : 180p= °
a. 30180 6
p pa= = ; 2 3 pb= ; 3 4 pg= b. 75 5
180 12
p pa= = ; 17 18 pb= ; 180 pg= c. 454pa= = ° ; 36b= ° ; 70g= ° d.
18057,3ap°= = ° ; 2826179,95bp°= = ° ; 38530,64gp°= = °
EXERCICES 2
a. Mesure de l"angle OAB : 2 5 p (Vérifier les propriétés du pentagone régulier). b. Mesure de l"angle OBC : 2 352 10 pp p
Mesure de l"angle
ABC : 3 3210 5
p p´ =. c. Mesure de l"angle BDC : 3 5 2 5 pp pMesure de l"angle
ABD : 3 2
10 5 5
p p p- =. EXERCICES 3 ()1AC, ACS= où tout autre angle de mesure nulle. ()()()2AC, AD AD, AB AC, AB 2Skp= + = +3AD, AB BA, AB AB, DA
AD, DA BA, AB
AD, DA DA, AD AD, AD
S= + +
où tout autre angle de mesure nulle.EXERCICES 4
a. b. 3; , , , 0, 2 2 4 3quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19[PDF] activité d introduction coordonnées d un vecteur
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