MATRICES EXERCICES CORRIGES
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3) Vérifier le calcul en effectuant les calculs des matrices MM-1 et M-1M. Exercice 17 – Soit M la matrice de M3(R) définie par : M =.
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2.2 Exercices . 2.5 Corrigé du devoir . ... les coefficients sont nuls sauf un qui vaut 1. L'opération la plus importante est le produit matriciel.
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2.2 Calcul matriciel élémentaire. 42. 2.3 Inverse d'une matrice carrée. 48. 2.4 Résolution de systèmes à l'aide de matrices. 49. Exercices corrigés.
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Exercice 7[Calculs d'inverses] Calculer les inverses des matrices suivantes : 1 A= 2 4 1 2 5 1 1 2 1 2 B= 1 2 3 0 1 1 0 2 3 3 C= ?1 0 2 0 0 1 0 ?1 1 Exercice 8[Diagonalisation puissance et suites] On considère les matrices : A= 4 ?2 ?2 1 0 ?1 3 ?2 ?1 et P= 1 0 1 1 ?1 0 1 1 1
Exercices corrigés : Calcul matriciel - Mathoutils
Exercice 1 Pour une matrice à une ligne et une colonne de ?1(?)on posera (????)=???? Soit =( 1 2 3)??31(?) soient ????= 1 3 (6 ?2 2 ?2 5 0 2 0 7)et ????=1 3 (2 ?1 2 2 2 ?1 ?1 2 2) 1 Calculer ???? ???????? en déduire que ???? est inversible et donner ?????1 2 Calculer ????=?????1???????? 3 Calculer ???? ???? 4
MATRICES EXERCICES CORRIGES - Maurimath
Exercice n° 10 On considère la matrice A définie par 1 2 3 x A = où x est un réel Déterminer x pour que 2 6 1 2 11 A = Exercice n° 11 Calculez et comparez A AB B2 2+ +2 et ( )A B+ 2 avec : 4 8 1 2 A = et 3 9 1 1 B = Exercice n° 12 Soit les deux matrices 1 1 5 6 A = et 2 1 0 0 1 I =
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Calculs sur les matrices - Exo7
Exo7 Calculs sur les matrices Corrections d’Arnaud Bodin 1 Opérations sur les matrices Exercice 1 Effectuer le produit des matrices : 2 1 3 2 1 1
Comment calculer les matrices ?
Montrer que les matrices (a b 0 a) et (c d 0 c) commutent. Soit A = (? 1 2 1 0 2 0 ? 3 2 3). Montrer que A2 = 2A et en déduire An pour tout entier naturel n. Soit A = ( 3 2 ? 2 ? 1) et B = A ? I2. Soit A = ( 1 ? 1 ? 1 1). Montrer par récurrence que pour tout entier n ? 1, An = ( 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1).
Comment calculer le produit matriciel ?
Le produit matriciel est distributif par rapport à l'addition : A(B + C) = AB + AC ( A prémultiplie (B + C)) (B + C)A = BA + CA ( A postmultiplie (B + C)) On considère les matrices carrées (d'ordre 2) suivantes : A = ( 1 0 ? 2 3), B = ( 0 ? 1 ? 3 2), C = (2 0 1 ? 1) Calcul de A(B + C) sachant que :
Est-ce que le produit matriciel est commutatif ?
Le produit matriciel n'est pas, en général, commutatif : A B 1 B A On donne les matrices A = (2 ? 3 ? 1 2) et B = (3 1 2 1 0 2), A B = (3 2 ? 2 ? 1 ? 1 2). B A n'existe pas car le nombre de colonnes (3) de B est différent du nombre de lignes (2) de A.
Comment calculer la trace des matrices ?
Determiner la trace des matrices suivantes. Soit A = (3 ? 1 2 5 ? 1 3) et B = (1 0 3 2 1 4). Calculer A + B, 3A ? 2B et 2 3A + 1 4B. Déterminer la valeur du réel x pour que (3x 2 ? 1)(? 5 x 3) = (12). Soit A = (1 3 ? 1 2 2 3 0 ? 3), B = ( 1 3 ? 1 0 1 0 ? 2 1 0 ? 1 3 0), C = (3 ? 2 1 7) et D = ( 3 ? 1 5).
On considère les matricesA=?1 3
2 5? , B=?2 2 0 4? etC=?2 0 7-4? CalculerA+B,2A-B,AB,BA,tBtA(vérifier l"égalité), puis3(A-2B) + 2(3B+C)-(2A+C).Exercice 2.Les matricesAetBsont celles de l"exercice1 . Résoudre les équations suivantes d"inconnueX? M2(R):
1.A-3X= 2B.
2.3X+ 2B= 5X+A.Exercice 3.
Effectuer tous les produits possibles de deux des matrices suivantes :A=?2 1
3 2?B=?1-1
1 2?C=?1 2 0
3 1 4?
D=( (-1-1 0 1 4-12 1 2)
)X=?1 2? Y=( (1 2 3) )Exercice 4. On reprend les matrices de l"exercice précédent. 1.Donner
tA,tC,tXettY. 2.Calculer
tXA,tY D,tXXetXtXExercice 5.Calculer, lorsque c"est possible,ABetBA.
1.A=?3 0
1-2? etB=( (1 2 0-1 5 8) 2.A=? -1 0 2? etB=( (3 -2 1) )3.A=( (3 1 0 1-1 00 0 3)
)etB=tA 4.A=( (1 2 3 2 3 13 1 2)
)etB=( (1 1 1 1 2 11 1 3)
)Exercice 6.(Voir la correction ici)0sii+jest impair
1. (*) Écrire la matrice M. (Demandez l"indication si vous n"y arrivez pas) 2.Calculer M2,M3,M4.
3.Conjecturer la fo rmede Mnpuis démontrer le résultat par récurrence.Exercice 7.(Voir la correction ici)
Déterminez les matrices triangulaires supérieuresTtelles queT2=I2.ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o6Exercice 8.SoientA,B? Mn(R). Développer et simplifier :
1.S= (2A)(3B)-(A+ 2B)2+ (A-B)(A+B)
2.T= (A+B)(2A2-2B)-2A2(A+B) + (-A+B)2.Exercice 9.
SoitA=(
(5 2 1 0 5 20 0 5)
1. Déterminer la matrice Bet le réelatels queA=aI3+B. 2.Calculer B3.
3. En déduire la fo rmegénérale d eAnen fonction deI3,BetB2. Reprendre la même démarche pour déterminer les puissances deA=( (2 0 0 -1 2 03 1 2)
).Exercice 10.SoitJ? M3(R)telle que?i,j?J1,3K,Ji,j= 1.
1.Écrire Jet vérifier queJ2= 3J.
2.Écrire les matrices suivante ssous la fo rmeA=aI3+bJet à l"aide du binôme de Newton, calculerAn
pour toutn?N. (a)A=( (3 1 1 1 3 11 1 3)
)(b)A=( (1-2-2 -2 1-2 -2-2 1) )(c)A=( (-3-1-1 -1-3-1 -1-1-3) )Exercice 11.Calculez pour tout entiern,AnoùA=(
(2 2 2 2 2 22 2 2)
)Exercice 12.(?)Une généralisation de l"exercice10 (Voir la correction ici)Soitn?N?etJ? Mn(R)telle que?i,j?J1,nK,Ji,j= 1.
1.Déterminer J2
2. En déduire une exp ressionde Jmpour tout entierm≥1.Exercice 13.SoientAetXdeux matrices deMn(K).
1.Montrer que la matrice
tAAest symétrique. 2. Montrer que si Xest symétrique, alorstAX+XAest symétrique. 3. Montrer que si Xest antisymétrique, alorstAX+XAest antisymétrique.ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o62 Matrices inversibles, inverse d"une matriceExercice 14.
Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et, pour les matrices de taille2qui le sont, déterminer leur
inverse et vérifier votre calcul en calculantAA-1.1.A=?1 2
3 4?2.A=?0-1
1 0?3.A=?1-2
2-4?4.A=?2-1
-3 2? 5.A=( (((1 0 0 00 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4)
)))6.A=( (1 2 4 0 0 50 0 7)
7.A=( (1 14 6 0 7 00 0 8)
(8 0 033 2 0
-12 2-3) )Exercice 15. Montrer queAest inversible et déterminer son inverse en fonction des puissances deAetIn.1.A2+ 3A-2In= 02.A2+ 6A+ 8In= 03.A12+In= 04.A3-4A2+3In= 0Exercice 16.(Voir la correction ici)
SoitA=(
(0 1 0 -1 2 01 0-1)
1. Montrez que A3-A2-A+I3= 0et déduisez en queAest inversible et donnezA-1. 2. V érifiezpa run calcul que la matrice A-1trouvée est bien l"inverse deA.Exercice 17. 1.Soit A=(
(1 2 3 1-1 1 -2 1 1) (a)Montrer que A3-A2+ 2A+ 11I3= 0.
(b) En déduire que Aest inversible et déterminer son inverse. 2. soit A= (ai,j)? M4(R)la matrice carrée définie parai,j=?0sii=j1sinon
(a) Quelle est la matrice A+I4? Calculer alors(A+I4)2. (b) En déduire que Aest inversible et déterminer son inverse. 3.Soit A=(
(5-2 1 -2 2 21 2 5)
).Montrer queA2= 6A. En déduire queAn"est pas inversible.Exercice 18. 1. Soient AetBdeux matrices deMn(K)telles queAB= 0. Montrer que niA, niBn"est inversible. 2. Soit Cune matrice telle queC2+C= 0,Cest-elle inversible?ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o6Exercice 19.(Voir la correction ici)Montrez que les matricesA=(
(3-2 1 1 0 12-2 0)
)etB=( (((1-1 2-20 0 1-1
1-1 1 0
1-1 1 0)
)))ne sont pas inversibles.3 Exercices d"entrainement et d"approfondissementExercice 20.
On note(un)et(vn)les suites définies paru0= 2,v0= 1et : ?u n+1=un+ 8vn v n+1= 2un+vn . Pour tout entiern≥0, on poseXn=?u n v n? 1.V érifierque Xn+1=AXnavecA=?1 8
2 1? . En déduire un expression deXnen fonction deAet de X 0. 2.On p oseP=?2-2
1 1? (a) Calculer P-1, puis vérifier queP-1APest une matrice diagonale que l"on noteraD. (b)Démontrer que p ourtout entier n?N,An=PDnP-1.
(c) Calculer AnpuisXn. En déduire l"expression deunetvn.Exercice 21.(?) SoitA,B? Mn(R)tel queAB=A+B. Montrez queAetBcommutent.Exercice 22.(?)Soitn?N?etU=(
((((u 1 u 2... u n) ))))etV=( ((((v 1 v 2... v n) ))))deux matrices deMn,1(C). 1.Calculer
tUVetVtU 2.On note λ=n?
k=0ukvk. Démontrer que(VtU)n=λn-1VtUExercice 23. (HHH)(Voir l"indication ici) a i,j=? ??-1sii < j1sii=j
0sii > j.
1.Écrire la matrice A.
2. Démontrer que Aest inversible et déterminer son inverse.ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o6Exercice 24. (HHH)(Voir l"indication ici) a i,j=?1sii?=j0sii=j.
1.Écrire la matrice A.
2.Calculer A2, en déduire queAest inversible et déterminer son inverse.Exercice 25. (H)(Voir l"indication ici)
On considère la matriceA=?-1-2
3 4? et on noteIla matrice identité d"ordre2:I=?1 0 0 1? 1. Calculer A2, puis montrer qu"on peut l"exprimer en fonction deAet deI. 2. En déduire un p olynômeannulateur PdeA. On donneraPexplicitement. 3. En déduire que Aest inversible et exprimerA-1en fonction deAet deI. 4. Démontrer qu"il existe deux suites (an)et(bn), que l"on déterminera, telles que : ?n?N, An=anA+bnI. 5.Démontrer que (an)est une suite linéaire d"ordre2. Puis donner son expression ainsi que celle de(bn).
6.En déduire l"exp ressionde Anen fonction deAet deI. Vérifiez si cette expression est aussi vraie pour
n=-1. 7.Déterminer le reste de la division euclidienne de XnparP(X). Retrouvez alors l"expression deAndonnée
à la question6.
8.Application :On considère les suites(un)et(vn)définies paru0= 2etv0=-1et :
?n?N,?u n+1=-un-2vn v n+1= 3un+ 4vn. Déterminer l"expression de(un)et de(vn).ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o6Exercice 26. (HH)(Voir l"indication ici)Pour tout réelt, on pose :
A(t) =(
(1-t-t0 -t1-t0 -t t1-2t)On noteEl"ensemble des matrices de cette forme.
1.Donner A(1)et montrer queQ=(
(12 -12 0 12 12 0 12 12 0) )? E. 2.Soient settdeux réels. Démontrez queA(s)A(t)? E. Déterminer le réelutel queA(s)A(t) =A(u).
En déduire queA(s)etA(t)commutent.
3. (a) T rouverune matrice X? M3,1(R)non nulle telle queQX= 0. En déduire queQn"est pas inversible. (b)Montrer que si t?=12
,A(t)?GL3(R). 4.Déterminer les ma tricesSdeEsolutions deS2=A?
-32 5.On p oseJ=A(-1).
(a)Montrer qu"il e xisteune suite (tn)telle que :
?n?N, Jn=A(tn). (b) Déterminer alo rsune relation de récurrence entre tn+1ettn. (c) En déduire Jn, en donnant ses coefficients.ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o64 Indication Exercice 23 - Indication.(retour à l"exercice 23) 1.V ousdevez trouve rque Aest une matrice triangulaire supérieure avec des1sur la diagonale et des-1
au-dessus de la diagonale : A=( (((((1-1··· -1 0 1quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] 1er cours anglais 4e
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