MATRICES EXERCICES CORRIGES
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2.2 Exercices . Calculer la matrice de l'application f ◦ g dans la base (b1b2
Feuille dexercices no 6 - Matrices
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de discuter quelques problèmes classiques du calcul matriciel que l'étudiant universitaire 6 Exercices Corrigés et on a. P =.. 1 0 0. −2 0 1. −3 1 2.
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Feuille d'exercices n°13 : Calcul matriciel. Manipulations de base sur les matrices. Exercice 1. ( ). Parmi ces matrices lesquelles sont triangulaires
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Schéma statique. (géométrie et chargement). Page 20. 20. 2.4. Exercices : 2.4.1 Exercice N° 2.1 : On considère une poutre continue (ABCD) de trois travées de
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105 Exercices et corrigés. Page 2. CAHIER D'EXERCICES. Excel 2016. 3. CAHIER D CALCULS MATRICIELS. 108. 282. CONSOLIDATION DES DONNÉES. 114. 286. CALCULS DE ...
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2.2 Calcul matriciel élémentaire. 42 L'étudiant peut ensuite vérifier qu'il maîtrise les concepts clés en résolvant les nombreux exercices corrigés ou non.
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3) Vérifier le calcul en effectuant les calculs des matrices MM-1 et M-1M. Exercice 17 – Soit M la matrice de M3(R) définie par : M =.
Calcul matriciel
2.2 Exercices . 2.5 Corrigé du devoir . ... les coefficients sont nuls sauf un qui vaut 1. L'opération la plus importante est le produit matriciel.
MATRICES EXERCICES CORRIGES
MATRICES - EXERCICES CORRIGES. CORRECTION. Exercice n°1. 1) La matrice A est de format 3 4. × puisqu'elle contient 3 lignes et 4 colonnes.
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Exercices de mathématiques. DUT 1A - S1. Feuille 6 - Calcul matriciel. 1 Opérations sur les matrices. 1. Exercice corrigé en amphi.
Chapitre 1: Calculs matriciels
Exercice 1.3 : a) Présenter les informations contenues dans le schéma sous la forme d'une matrice 2? 3 b) Quelle information
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Calcul matriciel corrections des exercices. 1 Syst`emes linéaires. Correction de l'exercice 1.1 (Syst`eme linéaire paramétrique). x + 2y = 1.
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Mathématiques pour
2.2 Calcul matriciel élémentaire. 42. 2.3 Inverse d'une matrice carrée. 48. 2.4 Résolution de systèmes à l'aide de matrices. 49. Exercices corrigés.
Feuille dexercices n°13 : Calcul matriciel
2015-2016. Feuille d'exercices n°13 : Calcul matriciel. Manipulations de base sur les matrices. Exercice 1. ( ) Équations matricielles. Exercice 7. ( ).
Compléments : applications du calcul matriciel 1 Calcul matriciel par
2 Utilisation du calcul matriciel pour résoudre des récurrences li- Exercice 2.1. Pertinence du formalisme matriciel ... Corrigé de l'exercice 1.1.
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Exercice 7[Calculs d'inverses] Calculer les inverses des matrices suivantes : 1 A= 2 4 1 2 5 1 1 2 1 2 B= 1 2 3 0 1 1 0 2 3 3 C= ?1 0 2 0 0 1 0 ?1 1 Exercice 8[Diagonalisation puissance et suites] On considère les matrices : A= 4 ?2 ?2 1 0 ?1 3 ?2 ?1 et P= 1 0 1 1 ?1 0 1 1 1
Exercices corrigés : Calcul matriciel - Mathoutils
Exercice 1 Pour une matrice à une ligne et une colonne de ?1(?)on posera (????)=???? Soit =( 1 2 3)??31(?) soient ????= 1 3 (6 ?2 2 ?2 5 0 2 0 7)et ????=1 3 (2 ?1 2 2 2 ?1 ?1 2 2) 1 Calculer ???? ???????? en déduire que ???? est inversible et donner ?????1 2 Calculer ????=?????1???????? 3 Calculer ???? ???? 4
MATRICES EXERCICES CORRIGES - Maurimath
Exercice n° 10 On considère la matrice A définie par 1 2 3 x A = où x est un réel Déterminer x pour que 2 6 1 2 11 A = Exercice n° 11 Calculez et comparez A AB B2 2+ +2 et ( )A B+ 2 avec : 4 8 1 2 A = et 3 9 1 1 B = Exercice n° 12 Soit les deux matrices 1 1 5 6 A = et 2 1 0 0 1 I =
Feuille de TD 6 : Normes matricielles subordonnées rayon
L3Mathématiques2020/2021 CalculMatriciel: FeuilledeTD6 Exercice 3 DéterminerlerayonspectraldesmatricesdeM 3pRq A: 3 1 0 4 1 0 4 8 2 B: 1 0 0 2 0 2
Calculs sur les matrices - Exo7
Exo7 Calculs sur les matrices Corrections d’Arnaud Bodin 1 Opérations sur les matrices Exercice 1 Effectuer le produit des matrices : 2 1 3 2 1 1
Comment calculer les matrices ?
Montrer que les matrices (a b 0 a) et (c d 0 c) commutent. Soit A = (? 1 2 1 0 2 0 ? 3 2 3). Montrer que A2 = 2A et en déduire An pour tout entier naturel n. Soit A = ( 3 2 ? 2 ? 1) et B = A ? I2. Soit A = ( 1 ? 1 ? 1 1). Montrer par récurrence que pour tout entier n ? 1, An = ( 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1).
Comment calculer le produit matriciel ?
Le produit matriciel est distributif par rapport à l'addition : A(B + C) = AB + AC ( A prémultiplie (B + C)) (B + C)A = BA + CA ( A postmultiplie (B + C)) On considère les matrices carrées (d'ordre 2) suivantes : A = ( 1 0 ? 2 3), B = ( 0 ? 1 ? 3 2), C = (2 0 1 ? 1) Calcul de A(B + C) sachant que :
Est-ce que le produit matriciel est commutatif ?
Le produit matriciel n'est pas, en général, commutatif : A B 1 B A On donne les matrices A = (2 ? 3 ? 1 2) et B = (3 1 2 1 0 2), A B = (3 2 ? 2 ? 1 ? 1 2). B A n'existe pas car le nombre de colonnes (3) de B est différent du nombre de lignes (2) de A.
Comment calculer la trace des matrices ?
Determiner la trace des matrices suivantes. Soit A = (3 ? 1 2 5 ? 1 3) et B = (1 0 3 2 1 4). Calculer A + B, 3A ? 2B et 2 3A + 1 4B. Déterminer la valeur du réel x pour que (3x 2 ? 1)(? 5 x 3) = (12). Soit A = (1 3 ? 1 2 2 3 0 ? 3), B = ( 1 3 ? 1 0 1 0 ? 2 1 0 ? 1 3 0), C = (3 ? 2 1 7) et D = ( 3 ? 1 5).
Lycée Pierre de Fermat2019/2020
MPSI 1TD
Compléments : applications du calcul matriciel
1 Calcul matriciel par blocs
1.1 Calcul par blocs
?Exercice1.1. Inverse d"une matrice diagonale par blocsSoient (A,B)?GLn(K)×GLp(K). Montrer queM=?A
0n,p0p,nB?
? M n+p(K) est une matrice inversible et préciser son inverse. ?Exercice1.2. Inverse d"une matrice triangualire supérieure par blocs Soient (A,B,C)?GLn(K)×GLp(K)× Mn,p(K). Montrer queM=?A C0p,nB?
? M n+p(K) est une matrice inversible et préciser son inverse. ?Exercice1.3. Transposée d"une matrice par blocs Soient (A,B,C,D)? Mn(K)× Mn,p(K)× Mp,n(K)× Mp(K). PosonsM=?A B CD? ? M n+p(K)1. Exprimer
tMen fonction des transposées de chaque bloc.2. Donner une CNS portant sur les blocs pour queM? Sn+p(K) (resp.M? An+p(K)).
?Exercice1.4. Puissances d"une matrice par blocsSoientA? Mn(K) . PosonsM=????0
n,nA0n,n0n,n
0n,n0n,nA0n,n
0n,n0n,n0n,nA
0n,n0n,n0n,n0n,n????
? M4n(K) etU=??2In A0n,n0n,n2InA
0n,n0n,n2In??
M3n(K).
1. Montrer queMest nilpotente.
2. Exprimer les puissances deUcomme une matrice par blocs en fonction deA.
?Exercice1.5. Puissances d"une matrice triangulaire supérieure parblocsSoitA? Mn(K).
PosonsM=??I
n A0n,n0n,n2InA
0n,n0n,n3In??
? M3n(K). Exprimer les puissances deMcomme une matrice par blocs en fonction deA. ?Exercice1.6. Commutant d"une matrice par blocsPosonsL=?0n,n
In0n,n0n,n?
? M2n(K) ,M=?In
0n,n -In0n,n? ? M2n(K) etN=?Ip
0p,q0q,p3Iq?
? M p+q(K).Déterminer les commutants respectifsC(L),C(M) etC(N) des matricesL,MetN. On précisera également
leurs dimensions.1.2 Rang d"une matrice par blocs
?Exercice1.7.Soient (A,B)? Mn(K)× Mp(K). NotonsM=?A0Mn,p(K)
0Mp,n(K)B?
1. Montrer que rg(M) = rgA+ rgB.
2. En déduire queM?GLn+p(K) si et seulement si (A,B)?GLn(K)×GLp(K).
?Exercice1.8. Soient (A,B,C)? Mn(K)× Mp(K)× Mn,p(K). NotonsM=?AC0Mp,n(K)B?
1. Montrer que, si rgA=n, alors rg(M) = rgA+ rgB.
2. La formule rg(M) = rgA+ rgBest elle encore vraie si rgA < n?
3. Montrer queM?GLn+p(K)??(A,B)?GLn(K)×GLp(K).
4. Dans le cas oùM?GLn+p(K), expliciterM-1.
11.3 Interprétation géométrique d"une matrice par blocs
?Exercice1.9.1. SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie,E1,E2etE3des sous-espaces vectoriels deEde
dimensionsn1,n2etn3vérifiantE1?E2?E3=E. Soitu? L(E) tel queE1est stable paru,u(E2)?E3 etu(E3)?E1+E2. On noteB1,B2etB3des bases respectives deE1,E2etE3etBla base deEobtenue par concaténation des basesB1,B2etB3. Quelle est la forme de mat(u,B)? En déduire la dimension deH={u? L(E)|u(E1)?E1, u(E2)?E3, u(E3)?E1+E2}.2. SoitMmatrice par blocs??-2In1
0n1,n20n1,n3
BIn20n2,n3
0n3,n10n3,n2C??
? Mn(R). Que peut-on en déduire sur les entiers n1,n2,n3etnet sur l"endomorphisme?m? LK(Rn) canoniquement associé àM?
2 Utilisation du calcul matriciel pour résoudre des récurrences li-
néaires couplées et des systèmes différentiels linéaires ?Exercice2.1. Pertinence du formalisme matricielSoientn?2 un entier etx1,...,xn-1des réels.
On poseu0=v0= 0,u1=v1= 1 puis, pour touti? {1,...,n-1}, u i+1=xiui+ui-1etvi+1=xn-ivi+vi-1Prouver (sans calcul) queun=vn.
?Exercice2.2. D"où l"intérêt de rechercher des bases dans lesquellesla matrice d"un endomor-
phisme est diagonale.SoientP=((
1 1 0 1-1 11 0 1))
,A=(( 2-4 3 -3 3-3 -2 4-3)) etB=(( 2-1 1 -1 2-10 1 1))
1. Résoudre le système linéaireP((x
y z)) =((a b c))2. En déduire quePest inversible et donner son inverse.
3. CalculerA1=PAP-1etB1=PBP-1.
4. En déduire les matricesAnetBnpour toutn?N?.
5. Résoudre les systèmes de suites récurrentes
?x n+1= 2xn-4yn+3zn y n+1=-3xn+3yn-3zn z n+1=-2xn+4yn-3znet???x n+1= 2xn-yn+zn y n+1=-xn+2yn-zn z n+1=yn+znen fonction des données initiales (x0,y0,z0). Donner une CNS sur les données initiales pour que la suite
(xn)n?Nconverge.6. Considérons les systèmes différentiels
?x ?(t) = 2x(t)-4y(t) +3z(t) y ?(t) =-3x(t) +3y(t)-3z(t) z ?(t) =-2x(t) +4y(t)-3z(t)et???x ?(t) = 2x(t)-y(t) +z(t) y ?(t) =-x(t) +2y(t)-z(t) z ?(t) =y(t) +z(t)PosonsX(t) =((
x(t) y(t) z(t))) etY(t) =PX(t). On suppose que les fonctions cherchées sont définies surR. (a) Montrer que?t?R, X?(t) =AX(t) si et seulement si?t?R, Y?(t) =A1Y(t). De même,?t? R, X?(t) =BX(t) si et seulement si?t?R, Y?(t) =B1Y(t). (b) RésoudreY?(t) =A1Y(t) etY?(t) =B1Y(t). (c) En déduire les solutions des systèmes différentiels initiaux.?Exercice2.3.Considérons leR-espace vectoriel des suites réellesRN. NotonsFl"ensemble des suites deRN
qui satisfont la relation de récurrence ?n?N, un+2=un+1+un.(1) Soit (an)n?Nla suite définie de manière unique par la relation de récurrence (1) et les conditions initiales
(a0,a1) = (0,1) (cette suite s"appelle la suite de Fibonacci). De même, (bn)n?Ndésigne la suite deFcaractérisée
par b0= 1,?n?N, bn+1=an.
21. (a) Montrer queFest un sous-espace vectoriel deRN.
(b) Montrer que les suites (an)n?Net (bn)n?Nforment une base deFet en déduire la dimension deF.2. (a) Définissons les nouvelles suites (cn)n?Net (dn)n?NdeFvérifiant les conditions initiales (c0,c1) =
(1,1-⎷ 52) et (d0,d1) = (1,1 +⎷
52). Montrer que ces deux suites forment une base deF.
(b) Montrer que les suites (cn)n?Net (dn)n?Nsont des suites géométriques (on pourra procéder par récur-
rence) dont on déterminera l"expression du terme général enfonction den. (c) En décomposant toute suite (un)n?NdeFdans la base{(cn)n?N,(dn)n?N}, donner l"expression duterme général de (un)n?Nen fonction denet des conditions initialesu0etu1. En déduire l"expression
du terme général de la suite (an)n?Nen fonction den.3. Soit (un)n?Nune suite deF.
(a) Montrer qu"il existe une matrice 2×2Aindépendante den, dont on précisera les coefficients, telle
que pour toutn?N, on a?u2n+2 u 2n+3? =A?u2n u 2n+1? (b) SoitPla matrice(( 1 11 +⎷
521-⎷
5 2)) .Montrer quePest inversible et déterminer son inverse. En déduire queD=P-1APest une matrice diagonale que l"on déterminera. (c) Montrer par récurrence surnque le vecteur?u2n u 2n+1? s"exprime en fonction des matricesP,P-1, D net du vecteur?u0 u 1? . Retrouver l"expression obtenue en 2. (c) deanen fonction den.3 Formalisme matriciel et dénombrement
?Exercice3.1.Sur le plan d"une ville, on observencarrefours notésC1,C2,...,Cn(n?N?). On définit
une matriceV? Mn(R) en posant, pour tout (i,j)?[[1,n]]2,Vi,j= 1 si une rue mène directement du carrefour
C iau carrefourCjsans passer par un autre carrefour,Vi,j= 0 sinon. On convient que la diagonale deVest constituée de zéros.1. Que dire deVsi toutes les rues sont à double sens?
2. Pour toutk?N?, montrer que le coefficient (i,j) deVkcorrespond au nombre d"itinéraires distincts
permettant de relierCiàCjen empruntantkrues non nécessairement distinctes.3. Supposons qu"il existeN?N?tel queVN= 0. Montrer que, pour tout (i,j)?[[1,n]], le nombre total de
chemins reliantCiàCj, notéγi,j, est fini. Posons Γ = (γi,j)1?i?n1?j?n. Montrer que (In+ Γ) = (In-V)-1.
?Exercice3.2.1. Soientβ?R?+et (αi)i?[[1,n]]?Rn(n?N?\ {1}) tels que?i?[[1,n]], αi?βet tel qu"il existe au plus un
indicei?[[1,n]] vérifiantαi=β. Montrer que la matrice, de terme d"indices (i,j) égal àβsii?=jetαi
sii=j, est inversible.2. SoitEun ensemble fini de cardinalp?N?\ {1}:E={ei|i?[[1,p]]}. Soit (Ak)1?k?nune famille den
parties (n?N?) deE, deux à deux distinctes telles que ?β?N?:?(i,j)?[[1,n]]2, i?=j? |Ai∩Aj|=β.Montrer quen?p.
Indication : On pourra introduire la matriceM? Mp,n(R) dont le terme d"indice (i,j) vaut 1 ou 0 selon
queeiappartient àAjou non, et appliquer la première question à une matrice construite à partir deM.
4 L"indispensable : complétez, démontrez ou infirmez les assertions
suivantes. ?Exercice4.1.1. Peut-on trouver deux matrices (A,B)? Mn(K)2telles queAB-BA= 2In?2. Soit une matriceA? Mn(K) non nulle telle queA3?= 0 etA4= 0. La matriceIn-7Aest-elle inversible?
Si oui, donner son inverse.
3. L"application deMn(K) dansMn(K)?,A?→(M?→Tr(AM)) est un isomorphisme d"espaces vectoriels.
4. SiAest une matrice symétrique/antisymétrique, que dire deAnsin?N?
5. Soient (A,B)? Mn(K)2telles queA3+B3= 7In. À quelle condition suffisante portant surAetB,
A+Best elle inversible?A2-AB+B2est-elle alors inversible aussi? 36. Soient (A,B)? Mn(K)2fixées quelconques. Existe-t-il un lien entre les rangs deABetBA? la réponse
est-elle modifiée si l"une des deux matrices est inversible?7. Deux matrices semblables ont même trace, mais deux matrices de même trace sont-elles équivalentes?
8. Les matrices((
3 1 0 0-1 00 0 1))
et(( -2 0 0 4-1 00 0 4))
sont-elles équivalentes? et(( 3 1 0 0 0-30 0 1))
et(( -2 1-1 4-1 3 -1 0-1)) 4Correction des exercices
?Corrigé de l"exercice 1.1PosonsD=?A-10n,p
0p,nB-1?
? M n+p(K).Calculons par blocsM×DetD×M:
M×D=?A
0n,p0p,nB?
×?A-1
0n,p0p,nB-1?
=?In 0n,p0p,nIp?
D×M=?A-1
0n,p0p,nB-1?
×?A
0n,p0p,nB?
=?In 0n,p0p,nIp?
doncM×D=D×M=In+pdoncM?GLn+p(K) etM-1=D.Remarque :le calculM×D=In+psuffit pour conclure à condition de rappeler que, pour une matrice carrée,
l"existence d"un inverse à droite (resp. à gauche) permet deconclure à l"inversibilité et l"inverse est égal à l"inverse
à droite (resp. à gauche).
?Corrigé de l"exercice 1.2 ?Corrigé de l"exercice 1.3 ?Corrigé de l"exercice 1.41.M2=????0
n,n0n,nA20n,n
0n,n0n,n0n,nA2
0n,n0n,n0n,n0n,n
0n,n0n,n0n,n0n,n????
,M3=????0 n,n0n,n0n,nA3
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